Семейства уравнений на торе

Семейства уравнений на торе. Аналогичная теорема справедлива для дифференциальных уравнений на торе [c.51]

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

В качестве примера вихря с ненулевой спиральностью можно привести сферический вихрь Хикса (см. п. 3.2). Течение в вихре Хикса - осесимметричное с закруткой и описывается функцией тока, удовлетворяющей уравнению (1.57). Линии тока и вихревые линии лежат на поверхностях тока, образующих семейство вложенных торов. Течение обладает отличными от нуля и сохраняющимися со временем спиральностью, импульсом,. моментом импульса и кинетической энергией. [c.83]

Следствие. Рассмотрим произвольную деформацию семейства d, то есть двупараметрическое семейство v уравнений с параметрами е, ц, которое при ц = 0 совпадает с d. Тогда малому ненулевому значению параметра ц соответствует однопа-раметричесое семейство v , (с параметром е) и значения (ц) и + ц) такие, что при < (ц) все уравнения семейства задают системы Морса—Смейла при 8> +(ц) все уравнения семейства имеют инвариантный тор (ц)->-Опри (рис. 57). [c.152]

Так как первая часть этого уравнения нулевого измерения относительно коордннат, то оно представляет нам некоторую коническую поверхность, по которой перемещаются радиусы-векторы частицы при ее деформации. Бкухи j, 62, е изменяются со временем, то можно сказать, что радиусы век-торы перемещаются по поверхности (16) только в продолжение времени dt. Будем называть найденное семейство поверхностей конусами девиаций ). Принимая попрежнему е, > ej > е увидим, что все конусы девиаций проходят через оси Ох и Ог (фот. 1), потому что, представив уравнение (16) в виде [c.334]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Рассмотрим класс дис х )еренциальных уравнений я = N (я), где N удовлетворяет определенным условиям дифференцируемости. Нас могут интересовать такие свойства решений я (/), которые являются правилом, а не исключением. Такие свойства называются общими (для данного класса уравнений). Вместо того чтобы пытаться уточнить определение общего , поясним его на простом примере из физики. Рассмотрим непрерывные центральные силы. Если обозначить через г расстояние от центра, то семейство функций К (г), где К есть непрерывная функция,— общее для интересующего нас класса сил. С другой стороны, сила, описываемая законом Кулона К l/r не является общей. Это — весьма специальный, частный случай ). Рюэль и Такенс исследовали, как происходят в общем случае бифуркации торов в торы более высокой размерности. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...