Трех тел задача точки

Классическим примером ограниченной задачи является ограниченная задача трех тел (материальных точек), возникшая первоначально при изучении движений малых планет или комет. Так как массы этих небесных тел весьма малы по сравнению с массами Солнца и больших планет, то влияние астероида или кометы на остальные тела Солнечной системы совершенно ничтожно и им можно полностью пренебречь. Таким образом, мы приходим к задаче о движении материальной точки под действием притяжений двух других материальных точек — Солнца и Юпитера, причем можно считать, что Юпитер движется вокруг Солнца по законам Кеплера. [c.179]

Теперь мы переходим к главному предмету этого параграфа— к ограниченной задаче трех тел (материальных точек), предполагая, что одна из трех точек, — пусть это будет точка [c.213]

Уравнения общей ограниченной задачи трех тел (материальных точек) (5.11), (5.14) или (5.20) при произвольно заданных законах действующих сил не допускают никакого простого алгебраического или даже выражаемого в квадратурах элементарных функций, первого интеграла. [c.224]

В общей ограниченной задаче трех тел (материальных точек) уравнения движения пассивно действующей точки Мг могут быть преобразованы к виду (5.20), и эти уравнения, как было показано в предыдущем параграфе, могут допускать при из- [c.240]

Теперь выведем из уравнений (8.31) и (8.32) уравнения общей задачи трех тел в той форме, которую придал им А. М. Ляпунов в своих исследованиях по задаче трех тел. [c.350]

Мы покажем теперь, что аналогичные решения может допускать и общая задача трех тел (материальных точек ), если законы действующих сил удовлетворяют некоторым условиям. [c.357]

В предыдущих параграфах мы рассматривали общую, или неограниченную, задачу трех тел (материальных точек ), где на три массы то, Шь мы не накладывали никаких ограничений. Однако во многих случаях астрономической практики встречаются задачи, где масса одного из трех тел весьма мала по сравнению с двумя другими массами. Такова, например, задача о движении малой планеты или кометы под действием притяжения Солнца и Юпитера, или задача о движении космического корабля под действием притяжений Земли и Луны и т. д. В этих случаях малая масса практически не оказывает никакого влияния на две конечные массы, как если бы она была равна нулю, но сама ими, конечно, притягивается. [c.752]

Следовательно, в каждом таком частном решении ограниченной задачи трех тел (материальных точек) точка нулевой массы Мг также остается неподвижной в плоскости ( т)), образуя вместе с точками Мо и некоторую неизменную конфигурацию. [c.766]

Глава 6 посвящена изложению задачи трех тел. Рассмотрение начинается с общей постановки и получения интегралов задачи. Далее более подробно исследуется круговая ограниченная задача трех тел, определяются точки либрации и проводится анализ их устойчивости. Для упрощенной постановки задачи трех тел обсуждаются понятия сфер действия, притяжения и влияния. [c.8]

Применим теперь метод малого параметра к ограниченной задаче трех тел. Пусть точки Р, Р2, Р3 имеют массы mi = д, Ш2 = 1 — д, [c.196]

Как пример рассмотрим ограниченную задачу трех тел. Пусть точки Pi, Р2, Рз имеют опять массы ц, 1 — i, О при О < // < 1 пусть материальные точки Pi, Р2 обращаются с угловой скоростью, равной 1, около их общего центра инерции и пусть координаты трех материальных точек в соответствующей системе вращающихся координат будут равны (1 —/LI, 0), (—/LI, 0), х, Х2)- Уравнения движения (19 28) легко можно записать в канонической форме, если ввести вместо жз, х переменные [c.231]

В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. Полное исследование устойчивости будет проведено в главах 7 и 8, а здесь мы остановимся только на доказательстве давно известного утверждения [22] в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные — устойчивы в первом приближении, если отношение масс тел 8 ж достаточно мало более точно, если выполнено следующее неравенство [c.24]

Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большинства в смысле жры Лебега) начальных условий при всех ц из области устойчивости в первом приближении (значения и исключаются). [c.134]

Применение таких методов и численное интегрирование показало, что наличие промежутков и сгущений орбит астероидов в местах, соответствующих соизмеримостям, в самом деле обусловлено возмущающим действием Юпитера. В гл. 5 мы уже имели дело с Троянца.ми как с практическим случаем реализации одного из решений задачи трех тел — треугольных точек Лагранжа. Это решение устойчиво, так что астероиды группы Троянцев совершают колебания около треугольных точек либрации. [c.266]

Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, таковы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены, Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее. [c.64]

Заметим, наконец, что когда в поле тяготения тела 5 (Солнца) движется одновременно несколько тел Я, (планет), то точное решение задачи требует учета не только сил притяжения между телами и телом S, но и взаимного притяжения тел Pj. Точное решение возникающей отсюда задачи и тел, т. е. задача о движении п материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, связано с большими математическими трудностями, и его не удалось пока найти с помощью известных в анализе функций даже для случая трех тел. [c.396]

Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850—1891), однозначное решение только в трех случаях 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера — Пуансо) 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежаш,ей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем). [c.16]

Для нахождения движения механической системы по заданным силам и начальным условиям для каждой точки системы нужно проинтегрировать, гь следовательно, систему дифференциальных уравнений. Эту задачу не удается точно решить в общем случае даже для одной точки. Она исключительно трудна в случае двух материальных точек, которые движутся только под действием сил взаимодействия по закону всемирного притяжения (задача о двух телах) и совершенно неразрешима в случае трех взаимодействующих точек (задача о трех телах). [c.255]

Чтобы сделать неподвижным твердое тело, достаточно закрепить три его точки, не лежащие на одной прямой линии. Если закрепления осуществить, например, при по.мощи трех сферических шарниров, то в уравнения статики войдут девять неизвестных проекций реакций и задача будет статически неопределенной. [c.53]

О задаче трех и более тел. Задача п тел (п 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. [c.205]

Ограниченная задача трех тел (К. Г. Якоби, 1835 г.). Вектор I (см. задачу 3.3.7) описывает окружность (рис. 2.9а>. Найти ограниченное решение уравнений движения в окрестности треугольных точек Лагранжа [56, 65]. [c.142]

Вторая основная трудность состоит в том, что даже если бы мы точно знали силы взаимодействия между нуклонами, то все равно еще оставалась бы проблема математического решения квантовой задачи многих тел, причем вследствие громоздкости, в общем случае непреодолимой даже с помощью современной машинной техники, эта трудность носит не технический, а принципиальный характер. Известно, что уже неквантовая задача трех тел является сложной математической проблемой. При переходе от классической задачи многих тел к задаче о движении нуклонов в ядре необходимый здесь учет квантовых свойств приводит к колоссальным усложнениям. Действительно, в рантовой теории система из А нуклонов описы [c.80]

Приложение к задаче трех тел. Приложим общие теоремы к следующей задаче найти движение трех совершенно свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. [c.53]

Как и можно ожидать, полное решение такой задачи обычно представляет большие трудности. Например, основная задача астрономии, а именно задача о трех телах , которая заключается в определении движения трех взаимно притягивающихся одна к другой материальных точек (например Солнце, Земля и Луна), может быть решена только при помощи сложных приближенных методов. [c.124]

Современная теория годографов ньютоновой механики позволяет произвести полный анализ годографа траекторий в векторном пространстве любого порядка. Теория годографов для баллистических траекторий включает в себя уравнения движения, функции преобразования годографов и годографические отображения для пространств ускорений и скоростей. Одно из основных направлений дальнейшей работы состоит в выводе и применении определяющих уравнений годографа для активных участков траектории, а также в разработке методов синтеза, главным образом с помощью дифференциальной и инверсивной геометрий. Другим не менее важным направлением является распространение теории годографов на траектории, определяемые присутствием более чем одного притягивающего тела (ограниченная задача трех тел, задача п тел). Оба направления, по-видимому, в достаточной степени перспективны как с аналитической (новые методы небесной механики), так и с инженерной (новые принципы построения систем управления и наведения) точек зрения. [c.40]

Исследование гомоклинических структур и выяснение их роли в образовании сложных хаотических и стохастических движений детерминированных динамических систем. Кривые, названные А. Пуанкаре гомоклиническими и гетероклиническими [312], были обнаружены им в ограниченной проблеме трех тел — задаче о движениях трех притягивающихся по закону Ньютона материальных точек в предположениях, что это движение плоское и что одна из масс исчезающе мала и не оказывает влияния на движение двух остальных. (Эта проблема и после Пуанкаре неоднократно привлекала внимание многих исследователей.) [c.86]

Как уже было указано в предисловии, идеи Вейнберга близки к идеям Фаддеева [2], развитым Лавли [4] для задачи трех тел, с той только разницей, что в уравнения Фаддеева не входит непосредственно двухчастичный потенциал, так как задача для двух частиц решается заранее (для сингулярных потенциалов это важно). Уравнений у Фаддеева больше, они сложнее, и, самое главное, не видно, как можно непосредственно обобщить их и получить эффектив- [c.258]

Из теоремы Пуанкаре следует, что в планетном варианте задачи трех тел т, то, тг то) не существует других однозначных интегралов, кроме интеграла энергии и интегралов площадей. Результаты Пуанкаре были распространены Пенлеве на задачу п тел. Подробно эти вопросы изложены в учебнике Г. П. Дубошина [5]. [c.815]

Регуляризация тройного столкновения, подобная проделанной Сун-дманом для случая парных столкновений, оказывается невозможной. Аналитические свойства решений задачи трех тел вблизи точки тройного соударения исследовались рядом авторов [50], [37], [32]. Наиболее полно этот вопрос был, по-видимому, изучен К. Зигелем, изложение результатов которого приведено в новом издании его известных Лекций по небесной механике , дополненных Ю. Мозером [6]. Не останавливаясь на подробном изложении, упомянем лишь о двух интересных фактах. [c.37]

Задача трех тел в случае притяжения, определяемого ньютоновским законом, наиболее важна для космодинамики. Важнейшей разновидностью этой задачи является так называемая ограниченная задача трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу т и, следовательно, не оказывает влияния на движение двух других тел (с массами ту и т . В ограниченной задаче трех тел конечные массы т и т движутся по кеплеров-ским орбитам, определяемым задачей двух тел. Со многих точек зрения удобно изучать движение т в системе координат, связанной с и т . В этой вращающейся системе координат упомянутым выше пяти точным решениям задачи трех тел соответствуют точки-положения равновесия. Точки, лежащие на прямой, проходящей через т и т , обозначают и Ьд, а точки, образующие равно- [c.9]

В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных притягивающих тел S ж J предполагается круговой, но на тело Р бесконечно малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел S и /. Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы следует положить только е = О, а координата и импульс Рз нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения равновесия = Рг = О в атономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5. [c.132]

В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость треугольных точек либрации пространственной эллиптической задачи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна, характерная только для этой задачи, особенность имеет место тождественный (т. е. существующий при всех е и [д.) резонанс, возникающий из-за равенства периода кенлеровского движения основных притягивающих тел 8 ж I ч периода линейных колебаний тела Р бесконечно малой массы по направ.т1ению, перпендикулярному плоскости их орбиты. [c.173]

Пример 2.5. Точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Рассмотрим три материальные точки 5, . 1 и Р с массами Шх, т , т , движущиеся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Предпола1ается, что Щз мала по сравнению с конечными массами т, и гп2 (Щ] >/ 2 Шз), т.е. рассматривается ограниченная задача трех тел. )Хяя случая простр)ан-ственной круговой задачи трех тел, когда тела. У и. / движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс, а тело Р в своем движении выходит из плоскости орбит тел Б я J, функция Г амильтона задачи имеет вид [18] [c.97]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Решение, а) Рассматриваемая материальная система, как это следует из условия задачи, состоит из трех тел. Для решения задачи эту систему можно заменить системой трех точек. Первая точка совпадает с центром и))ерции мотора, вторая — с центром инерции стержня, третья — с центром инерции груза (рис. 4, а). [c.47]

Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифферепци-альиые уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные транс-цепдентные функции координат и скоростей точек. [c.205]

К проекциям движения на три координатные плоскости. Если через центр тяжести системы и касательные к траекториям каждой точки провести плоскости, то обе эти плоскости пересекутся по прямой, лежащей в неизменяемой плоскости (т. е. перпендикулярной к Ga, п. 350) (Пуансо). Якоби использовал это свойство в задаче трех тел (Journal de Grelle, т. 26, стр. 115) (Журнал Крелля). [c.79]

Задача двух тел, как мы видели, непосредственно интегрируема, но уже случай л- -1=3 представляет аналитические трудности значительно более высокого порядка. Этот случай (задача трех тел), начиная с XVII в. до наших дней, является предметом многочисленных исследований, осветивших его с различных точек зрения ). В известном смысле можно даже сказать, что теперь [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...