Точки либрации ограниченной задачи трех тел

При /3 = 0 уравнения (5), (6) переходят в уравнение ограниченной задачи трех тел с одинаковыми массами двух тяготеющих тел. Соответственно точки стягиваются при /3 —) О к точке 2(0, 0), и точки (г = 1... 5) превращаются в точки либрации ограниченной задачи трех тел (например, = у/З /2 и т. п.). [c.125]

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [c.17]

Рис. 2. Прямолинейные и тре- треугольники. Схематически рас-угольные точки либрации. положение точек либрации ограниченной задачи трех тел показано на рис. 2. Точки либрации х, 2, з> и 4, называют прямолинейными и треугольными точками либрации соответственно.

В последние годы появилось много работ (см., например, [38 — 41, 107, 125 — 133, 135, 141, 168, 174]), в которых исследуются различные вопросы, посвященные проектам использования точек либрации ограниченной задачи трех тел в космических исследованиях. Особенно много внимания уделяется проектам использования прямолинейной точки либрации системы Земля — Луна. [c.265]

Л. Эйлер [1] был первый, кто указал на симметрию (здесь имеется в виду линейная обратимость) во введенной им в рассмотрение знаменитой ограниченной задачи трех тел. Он переходит в окрестность одной из найденных им коллинеарных точек либрации и строит периодическое решение в виде тригонометрических рядов, причем абсцисса задается косинусами, а ордината — синусами. Иными словами, в работе Л. Эйлера впервые построены симметричные периодические движения в обратимой механической системе. При более внимательном рассмотрении оказывается, что построенные движения образуют семейство от одного сугцественного параметра и представляет собой локальное ляпуновское семейство периодических движений обратимой системы. Отметим, что теоретическое осмысление данного факта для обратимой системы произошло только два столетия спустя [2,3. [c.132]

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже в первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных — в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными. [c.344]

Заметим, что вычисленные нами значения (геоцентрические и селеноцентрические) скоростей прибытия в точку а следовательно, и ракетного импульса в этой точке являются приблизительными. так как учет притяжений Земли и Луны на подходе к точке либрации должен проводиться в рамках ограниченной задачи трех тел и требует численного интегрирования. Ясно, однако, что значение импульса (0,65 км/с) имеет примерно тот же порядок, что и приведенные в 2 данные о тормозных импульсах для выведения спутников на характерные окололунные орбиты. [c.250]

Глава 6 посвящена изложению задачи трех тел. Рассмотрение начинается с общей постановки и получения интегралов задачи. Далее более подробно исследуется круговая ограниченная задача трех тел, определяются точки либрации и проводится анализ их устойчивости. Для упрощенной постановки задачи трех тел обсуждаются понятия сфер действия, притяжения и влияния. [c.8]

Схема расположения всех пяти точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел приведена на рис. 6.9. [c.235]

При строгом рассмотрении вопроса об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел доказана их устойчивость для всех значений относительной массы т, удовлетворяющих условию (6.4.17), или [c.241]

Глава 1 является вводной. Здесь выводятся уравнения движения ограниченной задачи трех тел, во вращающейся системе координат находятся точки либрации (1 = 1, 2,. . ., 5) и проводится анализ их устойчивости в линейном приближении. Изложение этих вопросов мало отличается от традиционного. В этой же главе даны таблицы, определяющие положение точек либрации в Солнечной системе, и приведены графики некоторых величин, характеризующих положение точек либрации при произвольных значениях параметра [х (О < [г = тп тп1 4- Тоа) < 1/2). [c.11]

Точки либрации — частные решения ограниченной задачи трех тел [c.20]

В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. Полное исследование устойчивости будет проведено в главах 7 и 8, а здесь мы остановимся только на доказательстве давно известного утверждения [22] в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные — устойчивы в первом приближении, если отношение масс тел 8 ж достаточно мало более точно, если выполнено следующее неравенство [c.24]

Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно А. , имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации (к = 1, 2, 3) характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида а, ф, где аир— вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел. [c.26]

В главе 1 получены пять точек либрации г (1 = 1, 2,.. 5) ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследована их устойчивость в первом линейном приближении. Показано, что прямолинейные точки либрации 1, 2 и Ьз неустойчивы в линейном приближении, так как соответствующие им характеристические уравнения имеют корни с положительными вещественными частями. Отсюда следует неустойчивость точек либрации 1, и и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки либрации линейном приближении устойчивы только при достаточно малом отношении масс основных притягивающих тел 5 и / более точно, при выполнении неравенств (3.1) главы 1. [c.122]

В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех тел 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом. [c.122]

Исследования А. М. Ляпунова по устойчивости в линейном приближении точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел были продолжены в работах [19, 42, 99, 103, 104, 110, 136, 144, 152, 153, 160, 161]. На результатах этих работ мы подробнее остановимся в главе 9. [c.124]

Проведенные рассмотрения показывают справедливость сформулированной в начале параграфа теоремы об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел. [c.130]

Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большинства в смысле жры Лебега) начальных условий при всех ц из области устойчивости в первом приближении (значения и исключаются). [c.134]

Кратко сформулируем и обсудим результаты исследования устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. [c.145]

В этой главе мы проведем исследование устойчивости треугольных точек либрации для случая плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. По сравнению со случаем круговой задачи, рассмотренной в двух предыдущих главах, здесь задача очень усложняется, так как независимая переменная явно содержится в гамильтониане возмущенного движения. [c.147]

Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ляпунов в 1889 году исследовал устойчивость (в первом приближении) треугольных точек либрации для случая пространственной неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчивости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы и размеров треугольника, образованного тремя телами, в возмущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ляпунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную задачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами, от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном движении в тот же момент времени. Однако при внимательном рассмотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым в его постановке задачи, можно весьма просто получить следующие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек либрации и для случая ограниченной задачи трех тел 1) при достаточно малых значениях треугольные точки либрации устойчивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е треугольные точки либрации устойчивы, если [c.147]

В главах 7—10 подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации. По-видимому, для задач, связанных с исследованием треугольных точек либрации, следующим важным вопросом является вопрос о существовании, построении и устойчивости периодических движений, близких к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая глава. [c.205]

Задача о точках либрации имеет и самостоятельный общемеханический и математический интерес. Многочисленные исследования показали, что сами точки либрации и характер движений в их окрестности очень тесно связаны с общим характером движения в задаче трех тел, что крайне важно, так как в общем виде задача трех тел не проинтегрирована. С общетеоретической точки зрения важность задачи о точках либрации ограниченной задачи трех тел подчеркивается еще тем, что при решении ряда труднейших принципиальных вопросов о точках либрации были созданы новые качественные, аналитические и численные методы исследования сложных нелинейных гамильтоновых систем, которые применимы и применяются во многих других задачах механики и математики. [c.10]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

Начало полному строгому решению задачи об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел было положено в 1962 году в работе А. М. Леонтовича [37], в которой для случая плоской круговой задачи показано, что устойчивость точек либрации имеет место при всех ц, удовлетворяющих необхо- [c.124]

В предыдущей главе была рассмотрена задача о периодических движениях, близких треугольным точкам либрации ограниченной задачи трех тел. Однако для многих реально существующих систем задача трех тел является лишь некоторым приближением. В конкретных астрономических задачах часто необходимо учитывать еще возмущаюшие воздействия, обусловленные теми или иными факторами, не учитываемыми в ограниченной задаче трех тел. [c.237]

Пример 2.5. Точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Рассмотрим три материальные точки 5, . 1 и Р с массами Шх, т , т , движущиеся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Предпола1ается, что Щз мала по сравнению с конечными массами т, и гп2 (Щ] >/ 2 Шз), т.е. рассматривается ограниченная задача трех тел. )Хяя случая простр)ан-ственной круговой задачи трех тел, когда тела. У и. / движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс, а тело Р в своем движении выходит из плоскости орбит тел Б я J, функция Г амильтона задачи имеет вид [18] [c.97]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Глава VII посвящена актуальной для космонавтики ограниченной задаче трех тел (уравнения движения, интеграл Якоби, точки либрации, линии Хилла). Рассказано [c.10]

Таким образом, в классической ограниченной задаче трех тел имеем три точки либрации, лежащие на прямой (МоМ1). В системе координат с осями неизменного направления каждая из трех этих точек описывает в плоскости движения точки М] орбиту, подобную орбите этой точки, т. е. эллипс, параболу или гиперболу. Если орбита точки М1 есть окружность или прямая линия, то и каждая из трех эйлеровых точек либрации описывает также окружность или движется, оставаясь всегда на прямой (МоМ,). [c.240]

Однако хотя многие авторы занимались задачей об устойчивости точек либрации, но только для случая, когда в системе действует закон Ньютона и когда орбита точки М есть эллипс с фокусом в точке Мо. Такая задача называется, как уже отмечалось выше, эллиптической ограниченной задачей трех тел (конечно, трех материальных точек, из которых одна — пассивно гравитирующая). [c.260]

Лагранжевы решения ограниченной задачи трех тел принимают особенно простой вид в случае круговой задачи. Действительно, в этом случае точка Aii описывает вокруг Мо (или вокруг центра масс G) окружность, и мы имеем е = 0, р=1 и v = n. Тогда различие между системой (14.41) и системой уравнений Нехвила исчезает и все точки либрации оказываются неподвижными и в системе (Gxyz). Следовательно, в каждом из лагранжевых решений точка М2 описывает вокруг точки G окружность радиуса а с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости движения точки Ail. [c.773]

В. Г. Демин установил существование периодических орбит, замыкающихся после нескольких оборотов [18]. Семейства периодических решений конечных размеров в окрестности точек либрации найдены Мультоном [17]. А. А. Орловым найдены новые классы периодических решений в ограниченной задаче трех тел [91]. Наконец, имеется статья монографического плана Г. А. Чеботарева [19], содержащая, помимо оригинальных результатов автора, историю вопроса. [c.795]

НО ДОЛГО Исследование устойчивости точек либрации в рамках круговой ограниченной задачи трех тел показало, что прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные точки либрации устойчивы в первом приближении, если относительная масса меньше притягивающ его тела т = тп21 тп + тп2) достаточно мала (см., например, [19, 45]). Ниже приведены доказательства обоих утверждений. [c.236]

Легко видеть, что при переходе от ограниченной задачи трех тел к ее предельному варианту — задаче Хилла — исчезают две треугольные и одна коллинеарная точки либрации. Действительно, система уравнений 1 /=1 / = 0 имеет всего два решения (х, у) = ( 3" , 0). Области Хилла [c.86]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело Р бесконечно малой массы будет образовывать с телами конечных масс 8 и I треугольник, близкий к равностороннему, для большинства достаточно малых отклонений от вершины равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенному движению, и для достаточно малых относительных скоростей. И, согласно [4], для этих начальных условий, соответствующих несоизмеримым частотам, движение тела Р будет условнопериодическим. Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, треугольные точки либрации в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но каково движение тела Р для начальных условий, соответствуюпщх соизмеримым (или почти соизмеримым) частотам [c.135]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К ТРЕУГОЛЬНЫМ ТОЧКАМ ЛИБРАЦИИ КРУГОЮЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [c.205]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...