Интегралы трансцендентных функций

О задаче трех и более тел. Задача п тел (п 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек. [c.244]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и соответственно —(п + 1) в показателе степени. Из положительности п следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с г", поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность — (п + 1) — п целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при г = О показателю степени п. [c.670]

При а = п первый из этих интегралов, а при а = — ( + 1) второй интеграл будут соответствовать согласно (9) нашей искомой целой трансцендентной функции, которая является однозначной. Не теряя общности, мы можем, следовательно, ограничиться одним из двух значений а. Выберем значение [c.670]

Каждый из этих интегралов определяет новую трансцендентную функцию, именно интегральный синус [c.167]

Интегралы от трансцендентных функций [c.170]

Филиппов Ю. Ф, Таблицы неопределенных интегралов от высших трансцендентных функций. Харьков, 1983. 109 с. [c.243]

Регаение интегрального уравнения теории рассеяния света тесным образом связано с теорией специального класса трансцендентных функций, определяемых интегралом оо [c.486]

Эта формула определяет физическую тень на бесконечности от предмета, расположенного в плоскости z = Zq и освещенного пучком, сформированным системой с аберрациями четвертого порядка. Очевидно, что она может быть распространена на аберрации любого порядка. Она является эквивалентом формулы преобразования (14) для освещения точечным источником, но ее нельзя записать в форме интеграла по плоскости предмета, так как интегрирование по углам нельзя здесь выполнить в трансцендентных функциях, обычно используемых в анализе. С другой стороны, этот интеграл можно без труда свести к двойному интегралу по переменным углам с помощью фурье-образа Т I, л) функции t x, у), который равен [c.249]

В этом параграфе осталось сказать несколько слов о задаче трех и более тел. В общей задаче п тел считается, что п материальных точек взаимно притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения Ньютона. Лля заданных начальных положений и скоростей этих точек требуется найти их местоположение как функций времени. Решение этой задачи не найдено до сих пор. Известно, что интегралы движения точек не выражаются в алгебраических или трансцендентных функциях их координат и скоростей. [c.415]

Это целая трансцендентная функция, которую можно выразить через интегралы Френеля С,(дг) и 8 х) (рис. 5.4) [c.356]

Система (1.23)—(1.25) обладает аналитически интегралом (4.10). Это единственный аналитический (даже непрерывный) первый интефал во всем фазовом пространстве. Если же дополнительный интефал продолжить в комплексную область, то точки, которые являются устойчивыми или неустойчивыми фокусами (узлами), станут для него существенно особыми. Действительно, в этих точках дополнительный интефал не имеет предела как функция. Кроме того, что он является трансцендентной функцией, он почти никогда не выражается через элементарные функции. [c.196]

Предложение 6. Система (20) при ап < 2 полосе (х,у) 6 7 -1<х<1 обладает первым интегралом, который одновременно является и трансцендентной функцией в полосе, и мероморфной функцией во множестве [ х,у)еК - <х< без начала координат. Последняя [c.217]

Для многих задач расчета пространственных температурных полей в телах канонической формы могут быть получены точные аналитические решения. Однако для нестационарных одномерных и любых дву- и трехмерных задач эти решения записываются в виде рядов, интегралов, часто содержат специальные функции. Во многих случаях в аналитические выражения входят параметры, являющиеся корнями трансцендентных уравнений и систем таких уравнений, которые могут быть решены лишь численно. Поэтому расчеты пространственных температурных полей на основе точных аналитических решений также требуют применения ЭВМ. [c.50]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Теорема 4,2, Система (1.18) обладает трансцендентным первым интегралом, выражающимся через элементарные функции. [c.159]

Теорема 6.1. Система (6.14) обладает полным набором первых интегралов, являющихся трансцендентными (в смысле теории функций комплексного переменного) функциями. Система (6.14),(6.15) также вполне интегрируема, два первых интеграла которой являются первыми интегралами системы [c.247]

При понижении порядка системы дифференциальных уравнений проблемы трех тел до четырех можно использовать произвольные канонические переменные р. Необходимо только выразить через эти переменные интегралы площадей, и понижение порядка будет выполняться с большими или меньшими затруднениями таким же путем, как и выше. Автор показал, как можно составить канонические уравнения движения с тремя степенями свободы для случая плоского движения, если в качестве дг-коорди-нат использовать расстояния трех тел от общего центра инерции при надлежащем выборе соответствующих канонических переменных [321. Этот метод имеет свои преимущества, так как возмущающая функция оказывается алгебраической функцией переменных, в то время как оскулирующие элементы входят в возмущающую функцию трансцендентным образом. Эти преимущества достигаются и в том случае, когда вместо расстояний трех тел от общего центра инерции в качестве координат выбираются взаимные расстояния. Вывод дифференциальных уравнений оказывается точно таким же, что и при использовании в качестве обобщенных координат расстояний от центра инерции. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения в этом случае до восьмого в изящной форме было выполнено Брунсом [33]. [c.230]

Уравнение Абеля ( ) не может иметь более двух существенно различных трансцендентных интегралов. Всякий однозначный интеграл уравнения ( ) — рациональная функция. [c.117]

Входящий в (22.9) интеграл, который мы обозначим через /,а(/о )> выражается в общем случае через известные трансцендентные функции. Он может быть назван диффрак-ционным интегралом исследуемой задачи. Ниже мы будем пользоваться следующими обозначениями для его вещественной и мнимой частей [c.211]

Интегрирование трансцендентных функций. Для интегралов тригонометрич. ф-ий J R (eos X, sin х] dx (где R — рациональная ф-ия) всегда приводит к целц подстановка г = tg тогда [c.111]

Обращает на себя внимание замечательная простота всех выведенных формул по сравнению с общеизвестными формулами для стационарного режима. Решению задачи о дифракции от края выражается через интегралы Френеля дифракционное поле круглого отверстия имеет весьма сложное выражение через шаровые и бесселевы функции даже относительно простой случай фраунго-феровой дифракции от круглого отверстия имеет решение, выраженное через бесселеву функцию первого порядка, тогда как для переходного режима решение выражается даже не трансцендентной функцией, а простым радикалом. Отсюда можно заключить, что решение данного типа задач методом интеграла Дюамеля следует предпочесть решению методом интеграла Фурье. Это заключение имеет особое значение в акустике. [c.32]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Эти построения походят на те, какие дал Эйлер, чтобы определить вид струны в любой момент времени, исходя из ее начального вида, отвлекшись при этом от скоростей, сообщенных ей в начале движения. Следует, однако, отметить, что так как эти построения основаны только на функциях, представляющих интегралы уравнений в частных дифференциалах, то они не могут иметь более широкой области применения, чем то, какое допускает природа функций, будь то алгебраические функции или трансцендентные. А так как дифференциальное уравнение для всех точек струны и для всех моментов ее движения остается одним и тем же, то выражаемое им соотношение должно постоянно и равномерно сохраняться между переменными, в какой бы области они ни изменялись отсюда следует, что хотя произвольные функции сами пй себе имеют неопределенный вид, тем не менее, когда этот вид на известном промежутке задан начальным состоянием струны, то отсюда естественно можно сделать вывод, что эта форма должна оставаться одной и Toii же во всей области функции и что ее нельзя изменять с целью подчинить условиям, связанным с принятой неподвижностью концов струны. [c.516]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

В плоской и пространственной динамике твердого тела обнаружены первые интегралы диссипативных и антидисси-пативных систем, являющиеся трансцендентными (в смысле классификации их особенностей) функциями, выражающимися в ряде случаев через элементарные функции. Введены новые определения свойств относительной грубости и относительной негрубости различных степеней, которыми обладают проинтегрированные системы. [c.9]

Следствие. Следующая система третьего порядка на S amoa2v a=Kk,keZ)xR z ,z , зависящая от 8 параметров, обладает, вообще говоря, трансцендентным (в смысле теории функций комплексного переменного) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции [c.128]

Следствие 1. Следующая система третьего порядка на 5 а той2я x7 zj, Zj , зависящая от 8 параметров, обладает полным набором (вообще говоря, трансцендентных (в смысле ТФКП)) первых интегралов, выражающихся через элементарные функции [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...