Деформируемое Уравнение статики

Для равновесия деформируемого тела кроме уравнений статики должны удовлетворяться дополнительные уравнения совместности. деформаций элементов системы. Общее число уравнений статики и уравнений деформации должно быть равно числу искомых величин. Методику решения статически неопределенных задач рассмотрим на простых примерах. [c.124]

Гипотеза о малости деформаций. Деформации малы по сравнению с размерами деформируемого тела. На этом основании при деформации пренебрегают изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и уравнения статики составляют для недеформируемого тела. Малые деформации рассматриваются как бесконечно малые величины в математическом анализе. Если в каком-либо уравнении есть слагаемые с произведениями деформаций и слагаемые с деформациями во второй и большей степени, то их отбрасывают как величины высшего порядка малости. [c.18]

Можно сказать, что под п раз статически неопределимой системой понимается такая, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на п единиц. Определение всех неизвестных сил, или, как говорят, раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и условно называются уравнениями перемещений. Для стержневых систем, показанных на рис. 1.12, уравнения перемещений должны выразить тот факт, что узел А деформированной системы должен быть общим для всех стержней. В примере, показанном на рис. 1.13, уравнения перемещений в случае, если брус АВ - жесткий, должны показать, что все нижние концы тяг после нагружения остаются на одной прямой и т.п. [c.53]

Допуш,ения о характере деформаций. Пере.че-ш,ения, возникающие в конструкции вследствие упругих деформаций, невелики. Поэтому при составлении уравнений статики исходят из размеров недеформированной конструкции — принцип начальных размеров. Перемещения отдельных точек и сечений элементов конструкции прямо пропорциональны нагрузкам, вызвавшим эти перемещения. Конструкции (системы), обладающие указанным свойством, называют линейно деформируемыми. Необходимым условием линейной деформируемости системы является справедливость закона Гука (линейной зависимости между компонентами напряжений и дефор.маций) для ее материала. В некоторых случаях, несмотря на то, что материал конструкции при деформировании следует закону Гука, зависимость между нагрузками и перемещениями нелинейна (например, при продольно-поперечном изгибе бруса, при контактных деформациях). Линейно деформируемые системы подчиняются принципу независимости действия сил и принципу сложения (принципу суперпозиции). Согласно этим принципам, внутренние силовые факторы, напряжения, деформации и перемещения не зависят от последовательности нагружения и определяются только конечным состоянием нагрузок. Результат действия (перемещение и т. п.) группы сил равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности. При рассмотрении раздельного действия на конструкцию каждой из нагрузок необходимо учитывать соответствующие этой нагрузке опорные реакции. Для бруса в большинстве случаев справедлива гипотеза плоских сечений — сечения бруса, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси и после деформации. Эта гипотеза не справедлива, в частности, при кручении брусьев некруглого поперечного сечения. Для тонких пластин и оболочек принимают гипо- [c.170]

Можно ли в рамках механики деформируемых тел для отыскания опорных реакций использовать уравнения статики абсолютно твердого тела [c.25]

Для раскрытия статической неопределимости деформируемых систем к уравнениям статики добавляют уравнения деформационные. В качестве таковых здесь естественно использовать условия сплошности [c.71]

Элементы конструкций, претерпевающие изгиб, нередко закрепляются так, что одних уравнений статики оказывается недостаточно для определения опорных реакций и выяснения распределения внутренних усилий по длине стержня. Для раскрытия статической неопределимости таких систем надо использовать методы, основанные на умении подсчитывать упругие перемещения деформируемых элементов. Одним из таких возможных подходов является метод уравнивания перемещений (метод сил), суть которого лучше всего поясняет пример, представленный на рис. 5.6. [c.121]

Две простые операции — скалярное умножение на бга и суммирование—привели нас от (4.24) к записи общего уравнения статики. Но выполняя эти операции, мы совершили качественный скачок, ибо в общем уравнении статики содержится вся статика систем с идеальными связями из (4.23) мы можем вывести уравнения равновесия любых систем, в том числе и систем деформируемых. [c.187]

Принцип отвердения. Деформируемое твердое тело может рассматриваться как изменяемая система материальных точек. Поэтому те аксиомы статики, которые относятся к изменяемой системе, сохраняются в сопротивлении материалов. В частности, к деформируемому твердому телу применима аксиома отвердения, которую формулируют так равновесие системы не нарушается от наложения лишних связей. Мысленно превращая деформируемое тело в абсолютно твердое, мы налагаем на него лишние связи. Значит, равновесие деформируемого тела не нарушается, если его превратить в абсолютно твердое. После этого для него можно составлять уравнения статики твердого тела, которые, таким образом, сохраняют силу и в сопротивлении материалов. [c.16]

Для рассмотрения равновесия произвольной плоской системы сил, статика позволяет составить только три уравнения равновесия, из которых можно определить три неизвестных величины. Если общее число неизвестных равно числу уравнений равновесия, то такая задача является статически определимой. Если же общее число неизвестных больше числа уравнений равновесия, то такая задача является статически неопределимой. Решить ее методами статики нельзя, так как для этого необходимо рассматривать не абсолютно твердые тела, а деформируемые, которые изучают в курсах сопротивления материалов, теории упругости и др. При помощи методов этих наук составляют недостающие уравнения. [c.50]

В разделе рассмотрены с позиций принципа возможных перемещений различные вариационные формулировки задач статики, устойчивости и динамики твердого деформируемого тела. В общем случае показано, как с использованием этих формулировок удается получить разрешающие дифференциальные уравнения или приближенные решения. [c.5]

Допустимость применения уравнений равновесия к деформируемому гелу следует из известной аксиомы статики равновесие нетвердого тела не нарушается от затвердения данного тела. [c.20]

Необходимое для решения задачи дополнительное уравнение можно составить, пользуясь теми представлениями о свойствах материалов, которые мы получили, переходя от теоретической механики к сопротивлению материалов. Речь идёт об учёте деформируемости материала. Дополнительное уравнение мы сможем найти, изучая те деформации, которые испытывает конструкция. Оказывается, что всегда можно найти столько дополнительных уравнений, сколько нам нужно, чтобы полное число уравнений вместе с условиями статики равнялось числу неизвестных. [c.73]

При О пределении внутренних силовых факторов к деформируемым телам применяют уравнения статики абсолютно твердого тела. Одна ко здесь же следует указать на ограниченность их применения, а яменно все приемы статики— сложение, разложение сил и их перенос — допустимы только в отношении сил, действующих по одн сторону от сечения. Иными словами, эти приемы можно применять только после проведения разреза и отбрасывания одной части бруса. [c.14]

Если говорить строго, то, составляя уравнения статики для деформируемых систем, необходимо использовать принцип отвердения применительно к системе, уже испытавшей деформацию. Однако очень часто учет деформации системы при составлении уравнений равновесия не приводит к ощутимому уточнению. Поэтому в подавляющем большинстве случаев уравнения статики для деформируемой системы составляются так, как если бы система вовсе не испытывала деформаций. Это называется расчетом по недеформи-рованной схеме. [c.39]

Простейшим примером сплошной среды служит рассмотренная в предыдущих главах модель абсолютно твердого тела. Характерная особенность статики абсолютно твердого тела заключается в отсутствии сколько-нибудь значительного внимания к вопросу о внутренних силах в такого рода телах. В 4 коротко говорилось о принципе затвердевания, который устанавливает необходимые условия равновесия деформируемых сред, сводящиеся к уравнениям равновесия соответствующих, выделенных в них, затвердевших объемов под действием приложенной совокупности внешних сил. Понятие о внутренних силах вводилось в том же 4 в связи с применением метода сечений, идея которого сохраняет свою силу и в статике сплошной деформируемой среды. Р4менно в механике сплошных сред понятие о внутренних силах раскрывается во всей своей глубине. [c.103]

Принцип возможных перемещений может быть использован для приближенного решения задач статики стерл<ней наряду с более привычным решением дифференциальных уравнений равновесия. Для этого необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем, например стержней (или в более общем случае для деформируемых систем), необходимо принимать во внимание не только работу внешних, но и работу внутренних сил, возникающих при отклонениях упругой системы от исходного состояния. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое неремещенне точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например, для стержня, показанного на рис. 4.9, любая функция бг/(е), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая тем же краевым условиям, что и функция у е), может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение бг/(е) стержня является непрерывной функцией. [c.167]

Так в механике деформируемого твердого тела рассматриваются действия сил на материальные тела, то основой этой науки служит теоретическая механика, на положения которой опи-раются н механике деформируемого твердого тела и в сопротивлении материалов, в частности. Это условия равновесия системы сил, уравнения движения, аксиомы статики, в том числе принцип отвердевания. Кроме того, используют метод сечений и метод приведения системы сил к заданному центру. Из общих положений теоретической механики можно отметить, например, принцип возможных перемещений, который в механике твердого деформируемого тела применяется как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. [c.6]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Гипотеза малых деформаций. В механике материалов рассматривают только перемещения и деформации, величины которых малы по сравнению с размерами деформируемого тела. Это дает возможность пренебрегать изменением расположения внешних нагрузок при деформировании тел и составлять уравнения равновесия статики без учета этих изменений. Кроме сформулированных общих гипотез для упрощения решения тех или иных задач вводятся и другие гипотезы. Они будут сформулированы отдельно при изучении втих задач. [c.21]

Хуторянский Н. М. Граничные интегральные н интегро-дифферен-циальиые уравнения второго рода для основной смешанной задачи теории (упругости. — Прикладные проблемы прочности и пшастичност . Статика и динамика деформируемых систем. Всесоюз. межвуз. сб./Горьк. ун .т, 1 1, с. 3—13. [c.290]

Аксиома 4. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если считать тело абсолютно твердым. Эту аксиому можно назвать принципом отвердевания. Он позволяет применить к любому телу и к любой изменяехмой конструкции условия равновесия, устанавливаемые методами статики для абсолютно твердого тела. Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то составляются дополнительные уравнения, учитывающие условия равновесия отдельных элементов конструкции или их деформации. Эта аксиома широко используется в практике инженерных расчетов проектируемых конструкций. [c.14]

В его модели учтены все основные механические свойства грунтов, существенные для динамических процессов (нелинейная и необратимая объемная деформируемость, упруго-пластический сдвиг, зависимость предела упругости при сдвиге от давления). Объемная деформация предполагается зависящей только от среднего давления (необратимым образом), тем самым игнорируются эффекты дилатансии. Сдвиговая деформируемость в допредельном состоянии описывается по линейно упругой схеме, а в предельном состоянии — по схеме Прандтля — Рейсса с условием пластичности тина Мизеса — Шлейхера — Боткина. Автором предлагается эту модель использовать как для быстрых динамических процессов, так и для статических в условиях, когда не проявляются временные эффекты, с учетом того, что для динамики и статики конкретный вид определяющих среду уравнений состояния и значения механических параметров могут быть различными. [c.224]

Однако задача расчета таких емкостей — одна из сложнейших в механике. Сложность ее определяется принимаемой расчетной схемой. Точный расчет, очевидно, должен включать совместное решение системы уравнений, описывающих статику сыпучей среды и упруго деформируемого сосуда. Однако это решение математически сложно и к тому же не может отличаться общностью, так как напряженно-деформированное состояние существенно зависит от многообразных граничных 1усло-вий (грунтовое основание или жесткий постамент), расположения емкости (в траншее или насыпи), промежуточных стадий засыпки, степени уплотнения грунта и других факторов, имеющих несимметричный характер и существенно влияющих на расчетную схему. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...