Мультипликатор периодического движения

Этот множитель называют мультипликатором периодического движения он является удобной характеристикой усиления или затухания возмущений этого движения. Периодическому движе- [c.156]

Местная сверхзвуковая зона 641 Мультипликатор периодического движения 156 [c.732]

При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной окружности в точках ехр( га) при а ф Отг, тг/2, 2тг/3 из периодического решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор — по образному выражению А. А. Андронова с цикла слезает шкура (см. рис. 15.11). При этом движение из периодического становится квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в режим биений (см. гл. 16). [c.321]

Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим движением путем прохождения мультипликатора через значение —I или +1. [c.169]

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при прохождении мультипликатора через значение -j-1. [c.183]

Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения o t) с периодом Т1, символически в виде (Зо)7<5 = 7 /0), где Г/ — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Т1 зависящий от то для всякого возмущения о) ( ) периодического решения со (/+Т1) = /(т1)о) (/), где и г1)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения Pn(Re) называются мультипликаторами один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все Рп < 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво [c.98]

Если все п — 1 мультипликаторов по модулю меньше единицы, т. е. лежат на комплексной плоскости внутри единичного круга, то все возмущения на каждом шаге (обороте возмущенной траектории) уменьшаются и периодическое движение устойчиво. Если же хоть один из мультипликаторов находится вне единичного круга — то неустойчиво. Таким образом, бифуркации периодических движений происходят при переходе мультипликаторов через единичную окружность. [c.318]

Как мы видели, бифуркации периодических движений связаны с переходом мультипликаторов через единичную окружность. Рассмотрим следующие бифуркации а) один из мультипликаторов становится равным - -1 б) один из мультипликаторов становится равным — 1 в) пара мультипликаторов принимает значение ехр( га), где а 7 О, 7г, тг/2, 2тг/3. [c.320]

Если один из мультипликаторов устойчивого периодического движения при изменении параметра проходит через —1 (малое возмущение за один оборот по траектории просто меняет знак), то через следующий оборот возмущенная траектория, очевидно, уже замыкается (рис. 15.13) — из периодического движения рождается устойчивое периодическое движение удвоенного периода, а исходное становится неустойчивым. Родившееся периодическое движение при изменении параметра (и снова может потерять устойчивость через бифуркацию [c.320]

Значениям а = О, тг, тг/2, 2тг/3 соответствуют резонансы при потере устойчивости. Такие резонансы являются двукратным вырождением (по модулю и по аргументу), и они должны исследоваться уже в пространстве двух параметров [10] затухания вблизи периодического движения и расстройки частоты от резонанса (в данном случае расстройка — разность между аргументом мультипликатора и резонансным значением аргумента). [c.321]

При любом Ь у этого отображения имеется неподвижная точка Хк+1 = Хк = X = О, а при Ь > 1 — еще одна х = 1 — 1/Ь. Эта точка устойчива вплоть до Ь = 3. При Ь > 3 нетривиальная неподвижная точка становится неустойчивой мультипликатор (1хи+1/(1хи в этой точке переходит через значение —1 и возникает устойчивое периодическое движение периода 2. Этому соответствует появление двух действительных корней в уравнении хи+2 = хи- Однократная неподвижная точка не исчезает, но она становится неустойчивой. Двукратный цикл устойчив в интервале изменения параметра 3 < Ь < 3,45. Когда Ь и 3,45 двукратный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый четырехкратный цикл. Дальнейшее увеличение Ь приводит к тому, что он теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл периода 2 , затем периода 2 ,. .., 2", 2"+1 и т. д. Наконец, при 3,57 устойчивых периодических движений не остается и происходит переход к стохастичности. В трехмерном фазовом пространстве этому соответствует появление странного аттрактора (рис. 22.16). Обратим внимание на то, что и при Ь > 3, 57 это отображение может иметь устойчивые периодические точки например, при Ь = 3,83 существует устойчивый трехкратный цикл [14]. [c.478]

Если при этом существует функция Лагранжа (см. 94), то гамильтонова и лагранжева формы (21i) —(21г) 101 уравнений в вариациях обладают одними и теми же инвариантами группы монодромии. Действительно, переход от гамильтоновой к лагранжевой форме уравнений движения выполняется в силу изложенного в 6—8 с помощью преобразования, рассмотренного в 147. Если данное периодическое решение не представляет собой точку равновесия, то на основании сказанного в 148 можно гарантировать, что по крайней мере один, а следовательно, в силу 151 по крайней мере два из мультипликаторов si,. .., sjn равны 1. Таким образом, по крайней мере два из характеристических показателей 11,. . ., Xzn равны нулю. [c.135]

Если при Re—Re2 r один из мультипликаторов переходит через единичную окружность в точке р=—1, то i/(ti)(o ( ) =—о) ( ), т. е. малое возмущение за один оборот по траектории Uo(x)-f -f-Ui(x, t) просто меняет знак. Тогда через следующий оборот получится 0) (/-f-2Ti) =—i/(ti)(o (/) =(о (/), т. е. возмущенная траектория замкнется. Таким образом, в этом случае при Re = Re2 r происходит бифуркация удвоения периода — из периодического движения с периодом ti рождается устойчивое периодическое движение с удвоенным периодом 2ti, а исходное движение становится неустойчивым (рис. 2.10в). Таким же образом затем может произойти следующая бифуркация удвоения периода и т. д. [c.99]

Отметим еще, что периодические движения (1.2) являются решениями гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поэтому два их мультипликатора равны единице, а остальные нетривиальные мультипликаторы определяются как корни характеристического уравнения (1.14), отвечающего уравнению Хилла (1.8). Аналогичное замечание относится и к задаче о двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа. [c.89]

Проведенный анализ позволяет дать полное и наглядное описание всех невырожденных периодических движений точки т. Пусть энергия /г = 0. Тогда точка т занимает наинизшее устойчивое положение равновесия. Будем увеличивать значения Н. При малых /г>0 рождаются два различных семейства невырожденных периодических движений вертикальные подскоки и гладкое скольжение по параболе. Решения второго семейства существуют при всех /г>0, и все они устойчивы (как предельный случай решения типа 1)). Решения первого семейства также существуют при всех к. Однако при Н==тда12 (когда высота подскока равна расстоянию до фокуса параболы) мультипликаторы становятся равными единице. Это точка бифуркации при к>тца12 появляется еще одно семейство устойчивых периодических колебаний (3.7), а вертикальные периодические подскоки становятся неустойчивыми. [c.111]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Зафиксируем радиусы кривизны / ь Дч и будем изменять длину I периодической траектории от нуля до бесконечности. Полученные выше формулы позволяют проследить за динамикой мультипликаторов >.1 и к2 на комплексной плоскости С= Х при изменении I. Когда I—>-+ 0, то 1, Яг—> . Будем увеличивать длину Тогда мультипликаторы начнут двигаться по единичной окружности в разных направлениях. При 1— 1 они столкнутся в точке Х=—1. Если Я <Д2, то при дальнейшем увеличении Гмультипли-каторы продолжат движение по вещественной оси в противоположные стороны, оставаясь все время отрицательными числами. Это движение продолжается до тех пор, пока 1/ 2)/2. В [c.75]

Изложенные выше результаты позволяют получить условия устойчивости (в линейном приближении) колебаний плоского гармонического осциллятора, расположенного посредине между двумя выпуклыми кривыми одинаковой кривизны. Согласно результатам 1, гл. 3 в линейном приближении устойчивость зависит лишь от кривизны этих кривых в концевых точках прямолинейной траектории, но не от их формы. Пусть U—длина периодической траектории осциллятора, R — радиус кривизны в концевых точках этой траектории. Рассматриваем движения с ударами. Если с>0, то движение устойчиво лищь при выполнении неравенства 1<2R (см. (4.1)). Сравнивая этот результат с предложением 4 гл. 2, получаем, что наличие притягивающей упругой силы не влияет на устойчивость колебаний с ударами. Пусть теперь с<0. Если 1<2R, то движение устойчиво, когда 4h> l(R—l/2). Если же 1>2R, то условие устойчивости выражается неравенством 4h< l(R—l/2), При выполнении равенства t=2R периодическое колебание вырождено его мультипликаторы равны единице. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...