Картина Ландау—Хопфа

Картина Ландау—Хопфа [c.306]

KAM (Колмогорова—Арнольда—Мо- зера) условия 95 Картина Ландау —Хопфа 306, 307 [c.412]

Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения СО1, со2, СО3. . . . При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2. [c.479]

До сих пор мы подробно исследовали свойства квазипериодического движения и в особенности бифуркации из одного тора в другой, в том числе бифуркации из двумерных торов в трехмерные. Причина, по которой мы уделяли столько внимания этому подходу, заключается в том, что, как экспериментально установлено, возможны переходы от двумерного тора не только к хаосу, но и к трехмерному тору. В связи с этим естественно возникает задача выяснить, почему картина Рюэля и Такенса наблюдается в одних и не наблюдается в других случаях. Из соображений, подробно изложенных в предыдущем разделе, следует, что бифуркация двумерного тора в трехмерный возможна, если выполняется условие KAM, т. е. если отношения частот аномально хорошо аппроксимируются рациональными числами. Из сказанного можно сделать вывод о разумности привлечения вероятностных соображений при оценке возможности бифуркации двумерного тора в трехмерный у данной реальной системы. Наш подход позволяет решить загадку — ответить на вопрос, почему у некоторых систем наблюдается бифуркация двумерного тора в трехмерный, несмотря на то, что соответствующие решения не являются общими в смысле Рюэля и Такенса. Оказалось, что у реальной системы в некоторых интервалах значений управляющих или каких-то других параметров может осуществляться сценарий последовательных бифуркаций торов, но по мере увеличения размерности торов вероятность переходов быстро убывает, картина Ландау—Хопфа становится неадекватной, и наступает хаос. [c.308]

С ростом некоторого характерного управляющего параметра (например, мощности накачки лазера) возбуждается все большее число гармоник с частотами oj, Og. гидродинамике этот путь перехода к турбулентности называют моделью Ландау— Хопфа. В лазерах аналогичную картину можно наблюдать, если все больше и больше несвязанных мод вступает в генерацию и при этом не происходит синхронизации частот. Согласно первоначальной модели Ландау—Хопфа, турбулентное состояние в гидродинамике характеризуется бесконечны.м числом гармоник, частоты которых взаимно иррациональны. Эта идея была отвергнута, поскольку эксперимент показал, что после возбуждения колебаний на двух или трех частотах в гидродинамике уже возникает хаос. В лазерах, однако, наблюдалось большее количество несвязанных мод. Поэтохму нужно отметить один специальный термин. [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...