Лапласа Применение

Найдем решение этого уравнения с помощью преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к левой части (2.2.82) дает [c.74]

Здесь V = vvl —оператор Лапласа, примененный к вектору V [c.20]

В случае сил притяжения, как уже говорилось, при всех встречающихся практически типах сил взаимодействия, многомерный оператор Лапласа, примененный к потенциальной энергии i, отрицателен. Поэтому неограниченный рост производных (имеющий место, если не принимать во внимание появляющиеся при достаточно большом сближении силы отталкивания, т. е. если не учитывать конечность радиуса частиц) не может привести в этих случаях к нарушению условия б (величина — и при этом, конечно, не может стремиться к нулю, так как при притяжении гг <0) [c.198]

Передаточная функция может быть найдена без решения дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа при расчете автоматических систем изложено в литературе по теории автоматического регулирования [9], [14]. [c.102]

Легко убедиться, что обратное преобразование Лапласа, примененное к соотношению (20), при переходе к полярным координатам (г, 0) дает [c.630]

Преобразование Лапласа, примененное к этой функции, дает [c.751]

Используя первое уравнение (7.10), нетрудно получить, что rot rot = = -АЕ, где Д — оператор Лапласа, примененный к каждой компоненте поля Е. После этого (7.11) принимает вид волнового уравнения [c.82]

Предел текучести текущий 50 Предельные нагрузки 4 Предельное состояние 208 Преобразование Лапласа Применение 380 [c.392]

В квадратных скобках стоит выражение гармонического оператора Лапласа V , примененное к (V u )i т. е. в целом уже знакомый из гл. 4 бигармонический оператор VV , примененный к г/ . В результате приходим к уравнению изгиба пластины [c.156]

Использование уравнения Лапласа только для определения напряжений в стенках цилиндрических и сферических сосудов при действии избыточного давления газа не имеет смысла, так как для этих сосудов расчетные формулы легко получить и без уравнения Лапласа. Если давать это уравнение, то надо показать его применение к расчету сосудов на действие гидростатического давления, а для этого необходимо рассмотреть условия равновесия отсеченной части сосуда. [c.219]

Применение преобразования Фурье к Лапласа упрощает анализ не только линейных систем, но и нелинейных [c.99]

В то же время известны общие универсальные математические методы, позволяющие, в частности, находить решения некоторых классов задач теории упругости. Справедливость их применения в процессе получения решения базируется на существовании специальных неравенств. Естественно, что методически более оправданным является обстоятельное построение этих неравенств для упрощенных задач (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения Лапласа), рассматриваемых (вместе с общей теорией) в математической главе. С учетом этого при изложении задач теории упругости оказалось целесообразным отметить лишь специфику построения соответствующих неравенств, ограничившись при этом простейшими областями (ввиду сложности построения оценок в общем случае). Такой подход реализован, например, при рассмотрении вариационных методов. [c.7]

Более широкое применение в математической физике имеет такое направление, когда решение опять ищется в форме интеграла, но выбор ядра осуществляется таким образом, чтобы определение произвольной функции сводилось к решению классических интегральных уравнений. Соответствующие такому подходу представления называются потенциалами. Начнем изучение методов теории потенциалов с исследования уравнения Лапласа Пусть р и р — некоторые точки в пространстве, тогда можно показать, что функция [c.88]

Правая часть (2.2.82) после применения преобразования Лапласа будет выглядеть следующим образом S ( ox — Свы ) = Свх(р)—Свых(р), где Св (р) = = S ( sx( )). В результате уравнение (2.2.82) примет вид [c.74]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

Для нахождения передаточной функции W p) воспользуемся формулой (2.2.77). Применим к уравнению (3.2.13) и граничному условию (3.2.14) преобразование Лапласа по t, т. е. перейдем от v x,t) и и t) к их изображениям S x,p) и й р). Используя начальное условие (3.2.14), в результате применения преобразования Лапласа к левой части уравнения (3.2.113), получаем [c.99]

Уравнение (3.2.16), полученное из исходного уравнения (3.2.13) в результате применения преобразования Лапласа, легко решается, и передаточная функция (3.2.21) имеет очень простой вид, что позволяет полностью описать действие оператора на произвольную входную функцию и без труда найти весовую и переходную функции. В том случае, когда исходное уравнение, с помощью которого задается оператор объекта, является более сложным, чем (3.2.13), новых принципиальных трудностей в определении [c.101]

Граничные условия для этого уравнения получим после применения преобразования Лапласа по переменной t к условиям (3,2.23) [c.102]

Получить решение задачи (3.2.33), (3.2.34) уже не составляет труда. Обычно для его нахождения сводят уравнения (3.2.33) к алгебраическим уравнениям путем применения к ним преобразования Лапласа по переменной х. Эта операция требует некоторого обоснования, поскольку формально уравнения (3.2.31), а значит, и уравнения (3.2.33) и их решение vi x,p), V2 x, р) заданы только на интервале Аге[0, /], а преобразование Лапласа можно применить только к функции заданной на полуоси л е [О, оо). Однако для рассматриваемой краевой задачи с граничными условиями (3.2.34) эта трудность легко устранима достаточно рассматривать систему 2.33) и ее решение Vi(x,p), 62(х, р) при л е[0, оо). Отметим, что в том случае, когда одно или оба условия (3.2.34) заданы при х — I, этого сделать нельзя, поскольку бессмысленно рассматривать уравнения (3.2.33) при х е [О, оо) с заданным значением решения в точке внутри интервала [О, со). 104 [c.104]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Приближенное выражение для g(t) получается в этом случае после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p), а приближенное выражение для h t) после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p)/p. Очевидно, необходимо выбирать функции п(р) в разложении для W (р) такими, чтобы затем к ним было удобно применять обратное преобразование Лапласа. [c.108]

Переходную функцию h(t) = 1 —е в данном случае легко можно было получить непосредственным применением обратного преобразования Лапласа к р)1р— 1/[р(Р+ )] В более сложных случаях, когда такое непосредственное получение оригиналов функций W(p) и W p)jp невозможно, представления весовой и переходной функций степенными рядами (3.3.17) и (3.319) весьма удобно для исследования динамики технологического объекта. [c.113]

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных после применения преобразования Лапласа переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение. Граничное условие для уравнения (4.1.5) получится в результате применения преобразования Лапласа к граничному условию (4.1.2) [c.116]

Для решения этого уравнения удобно осуществить преобразование Лапласа по пространственной координате х. Формально этого сделать нельзя, поскольку преобразование Лапласа применимо к функциям, определенным на всей полуоси [О, оо), в то время как в уравнении (4.1.4), а значит и в уравнении (4.1.5) ж е [О, 1]. Для того чтобы сделать возможным преобразование Лапласа, рассмотрим уравнение (4.1.5) на всей полуоси [О, оо) (см. раздел 3.2). Обозначим через T s,p), To(s) результаты применения преобразования Лапласа по х к функциям Т х,р), Tq(x). Осуществляя в левой части уравнения (4.1.5) переход к изображениям T s,p), To s), получаем [c.116]

После получения выражений для передаточных функций нетрудно определить с их помощью соответствующие весовые и переходные функции объекта. Весовые функции й п(0 и 21 (О получаются после применения обратного преобразования Лапласа к (4.1.12) и (4.1.13) [c.119]

Граничное условие для этого уравнения получается после применения преобразования Лапласа к условию Ту х, /)1л=о=1> т. е. имеет вид [c.177]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Совместно с нулевым начальным условием (5.2.18) это уравнение при малых G i задает линейный оператор А t). После применения к (5.2.29) преобразования Лапласа находим передаточную функцию U l/iKp) г-й тарелки для канала [c.228]

Формулы приближенного обращения преобразований Лапласа. Применение интегрального преобразования Лапласа прп решении динамических задач приводит к весьма сложной проблеме обращения преобразований Лапласа. Лишь для частных видов зависимостей функции F p) от переменной р такое обращенпе возможно с помощью справочных руководств. Поэтому весьма полезны приближенные формулы обращения. [c.22]

Наиболее распространенный вид переходного дроцес-са — зто затухающие колебания, которые могут быть охарактеризованы с помощью четырех параметров величины первого отклонения, частоты, декремента затухания и установивщегося значения. Установившееся значение может быть определено точно по коэффициенту усиления объекта и характеристикам регулятора. Частота затухающих колебаний может быть найдена по частотным характе ристикам замкнутой или разомкнутой системы. Величину декремента затухания можно оценить по запасу по амплитуде или по фазе наиболее широко распространено значение декремента затухания, равное 0,25. Если бы существовал метод оценки величины первого максимального отклонения, то переходный процесс в системе можно было бы получить, не пользуясь обратным преобразованием Лапласа, применение которого зачастую бывает затруднительным. Известен целый ряд методов определения переходной характеристики по частотной [Л. 2], однако во всех случаях эта процедура более трудоемкая, чем получение частотных характеристик. Ниже приводится метод оценки величины максимального отклонения регулируемой переменной в переходном. процессе, основанный на существовании связи между максимальным отклонением н модулем частотной характеристики на резонансной частоте. Этот метод прост в применении и, как правило, обеспечивает точность не ниже 10%. [c.196]

Для исследования линейных систем во времеинбй области на основе модели типа (4.54) можно использовать два подхода. Первый подход связан с применением правил операционного исчисления и требует выполнения прямого преобразования Лапласа над входными сигналами и об- [c.188]

Математические модели на базе конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений предусматривают замену процессов в непрерывной среде дискретной моделью, которая дает достаточно подробную и отвечающую практическим требованиям картину распределения поля внутри тела в функции координат и времени. Применение данного численного метода позволяет свести оператор Лапласа У к оператору конечных разностей, а исходные уравнения - к совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных для каждого злементарного объема выделенного в каждом г-м теле [5]. [c.121]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Зависимость величины предельного перепада давлений р - q) на стенке сферической оболочки от относительных параметров оболочки Т и прослойки к представлена на рис. 4.16 Здесь же тнктирными линиями показаны кривые, полл ченные для тонкостенных сферических оболочек на основании решения Лапласа /98/. Как видно, с увеличением параметра толстостенности оболочки Т наблюдается с>тцественное расхождение в оценках (р - q) , что свидетельствует о некорректности применения решений, базир>тощихся на теории Лапласа, для анализа несущей способности толстостенных сферических оболочек, ослабленных мягкими прослойками. [c.235]

Обобщение теории удара Герца, предложенное Н. А. Кильчев-ским [23], основано на применении интегрального преобразования Лапласа—Карсона к динамическим уравнениям упругости [c.133]

Решение Г, (л , t), Гг (л , t) системы уравнений (4.2.78), (4.2.79) с граничными условиями Г, (х, О = 1. 2 (л , /) U=o = О найдем после применения обратного преобразования Лапласа к функциям Tiix, р) и Tiix, р) [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...