Эйри волна

При отсутствии аберраций доля энергии, приходящаяся на центральный кружок дифракционного изображения с радиусом б, равна 84 %. В остальных случаях она, естественно, меньше. Установим минимально допустимое значение (б), при котором изображение еще можно считать практически не отличимым от дифракционно-ограниченного, опираясь на общепринятую оценку качества изображения при наличии у системы только сферической аберрации третьего порядка. В соответствии с правилом Рэлея изображение практически не отличается от идеального, если сферическая аберрация системы в пределах зрачка не превышает четверти длины волны [61]. Расчет показывает, что в этом случае в пределах диска Эйри сконцентрировано 73 % всей энергии дифракционного изображения точки Е Ь) = (),12, примем в качестве граничного значения критерия концентрации энергии для систем с низким уровнем остаточных аберраций. Несмотря на достаточную условность, это значение, по мнению авторов, вполне обосновано и разумно. В данном случае имеются все основания распространить граничное значение критерия, полученное (или выбранное) для одного вида аберрационных искажений, на все остальные их виды, поскольку совершенно ясно, что одна и та же степень концентрации энергии в диске Эйри обеспечивает практически одинаковые условия регистрации изображения (особенно на нелинейной среде) независимо от характера аберраций. Инвариантность критерия концентрации энергии в диске Эйри относительно вида аберрационных искажений придает ему наибольшую достоверность по сравнению со всеми другими числовыми критериями. [c.85]

На фиг. 7.6 линза L2 — слабая полевая линза, которая служит для равномерного освещения диафрагмы в плоскости Р. Диаметр диафрагмы в плоскости Р должен быть приблизительно равен диаметру диска Эйри, который на интересующей нас длине волны связан с фокусным расстоянием /1 и величиной диафрагмы D. При большей диафрагме в плоскости Р достижимая разрешающая способность уменьшается, если отражательная способность пластин достаточно высока. Если коэффициент отражения и качество пластин настолько высоки, что спектральное разрешение лимитируется только дифракцией, то разрешение дается формулой [c.386]

Для плоской волны решение уравнений гидродинамики невязкой жидкости можно найти точно. Это впервые было сделано Пуассоном в 1808 г. [8] для плоской бегуньей волны (простой волны). Затем теория простых волн развивалась в работах Стокса [9], Эйри [10] и особенно Ирн-шоу [И]. Риманом в 1860 г. было дано обш ее решение одномерной системы гидродинамических уравнений для плоского возмущения в предположении, что уравнение состояния среды может быть представлено в виде Р = ф(р)- Рассмотрим это решение. [c.60]

Наконец, хотелось бы отметить возможность использования дифракции для уменьшения сферической аберрации. Идея заключается в том, чтобы рассматривать суммарный аберрационный диск, как диск Эйри, расширившийся из-за сферической аберрации, вследствие чего некоторые компоненты волны приходят к положению изображения не в фазе. Чистая дифракционная картина может быть затем восстановлена использованием зонной пластинки [160]. [c.334]

В освещенной области единичный вектор S является вещественным. Ниже при рассмотрении теории дифракции мы покажем, что поле вблизи каустики хорошо описывается функциями Эйри, асимптотика которых в освещенной области вдали от каустики имеет вид двух бегущих волн в соответствии с представлением геометрической оптики. [c.107]

Так как при z > Za существует лишь одна бегущая волна, то решение уравнения Эйри необходимо выразить в виде подходящей комбинации [c.161]

Пусть две плоские волны распространяются под углом в друг к другу и образуют дифракционную картину. Если нормализованное расстояние между соответствующими дисками Эйри равно у, то легко показать, что в параксиальном приближении выполняется соотношение [c.312]

Покажите, что поле, создаваемое на большом расстоянии объективом, освещаемым сферической волной, пропорционально полю, вычисленному в плоскости вблизи фокуса на расстоянии и = он него, где с1 — расстояние между выходным зрачком и изображением, формируемым плоской волной, и а — диаметр зрачка. Рассмотрите изменения в распределении поля в дальней области, вызываемые как сдвигом источника относительно объектива, так и изменением диаметра зрачка. При каких соотношениях между а, б/ и X центральное светлое пятно Эйри заменяется темным Для ответа используйте фотографии из гл. 9 книги Борна и Вольфа [И], указанной в литературе к гл. 1 настоящей книги. [c.335]

В предыдущем разделе мы показали, что структура поля вблизи простой каустики, создаваемая распространяющейся цилиндрической волной, имеющей сферические аберрации, зависит от кривизны каустики. При этом изменение поля в перпендикулярном каустике направлении выражается через интеграл Эйри. Вблизи острия (точки возврата) каустики (см. рис. 2.15 и 2.16 в гл. 2) из-за интерференции трех или более лучей распределение поля становится значительно более сложным. Эту ситуацию можно описать, рассматривая дифракционный интеграл, у которого три стационарные точки функции h(s) близки друг к другу. В соответствии с этим мы можем изучить поле, анализируя сравнительный интеграл [c.363]

Популярность интерферометра Фабри — Перо объясняется тем, что его пропускание Г(Хо, в) периодически изменяется с частотой и представляет собой серию пиков одинаковой амплитуды и очень малой ширины. В частности, для идеального бесконечно протяженного интерферометра Фабри — Перо, освещаемого плоской волной, пропускание Д ), в) определяется функцией Эйри (см. разд. 3.12.1) [c.562]

В соответствии с формулой Эйри кривая пропускания интерферометра Фабри — Перо состоит из серии эквидистантных по частоте (или волновому числу Х о) пиков. При нормальном падении (0 =0) минимальному ослаблению подвергастся излучение с длиной волны j = 2nd/m, где W — целое число, называемое порядком интерференции. При наклонном падении длина волны, на которой имеет место максимальное пропускание, становится равной = 2nd os в /т. При достаточно малых в положение пика, соответствующего частоте [c.563]

Поскольку мы хотим сшить волну ВКБ в разрешённой области (5.16) с выражением для функции Эйри вблизи точки поворота, используем асимптотическое разложение [c.188]

В 1838 г. Эйри получил дифракционный интеграл, который описывает изменение каждой цветовой (частотной) компоненты поля электромагнитной волны в поперечном направлении в радуге. Для действительного аргумента эта функция Эйри определяется интегралом [c.686]

Можно пренебречь членом с а , если он мал по сравнению с я, и считать разность фаз Ьр—следующих друг за другом волн постоянной и равной 64л/г /г/л, ,+ 2ф. В таком случае определяется формулой Эйри (13), и в плоскости клина наблюдаются полосы с таким же распределением интенсивности, как и у локализованных в бесконечности полос, создаваемых плоско-параллельной пластинкой (см. рис. 7.58). Положения максимумов интенсивности, соответствующие 6 — 2тя, определяются из соотношения [c.324]

Вследствие этого приближенно можно это уравнение заменить на более простое (т]о) = О, решения которого будут соответствовать искомой совокупности нормальных волн вертикальной поляризации на цилиндре. Обозначим корни приближенного уравнения где т = 1, 2, 3... Из таблиц функций Эйри имеем т]о = — 2,338, т] = = 4,088, = — 5,521. Учитывая выражение для согласно формуле (1.113), находим в конечном счете [c.77]

Предположим, что плоская волна, распространяющаяся через облако случайно распределенных рассеивателей, наблюдается посредством формирующего изображение приемника, такого, как линза или параболическая антенна. В отсутствие рассеивателей в фокальной плоскости изображение описывается функцией Эйри. В данном разделе мы рассмотрим влияние рассеивателей на это изображение. [c.54]

В неоднородных системах, таких, как звуковые волны в стратифицированной атмосфере или воздушном потоке (разд. 4.6), также возможно, чтобы лучи сходились, образуя огибающую , вне которой, согласно лучевой теории, находится зона тишины. Внутренние волны также обычно имеют каустику с двумя системами лучей ниже ее и с отсутствием лучей выше ее это может быть либо огибающая (рис. 80, б), либо геометрическое место точек возврата лучей (рис. 80, а). Во всех этих случаях исцеленный вариант лучевой теории может быть получен из свойств интеграла Эйри, на этот раз из его дифференциальных свойств. [c.466]

Заметим, что я/2 появляется в (417) в силу того, что Q достигает своего максимума непосредственно перед каждой каустикой с фазой, отстающей на я/4 от этого максимума к моменту времени, когда достигается каустика. У основной моды ге = О (для внутренних волн — моды высшей частоты, соответствующей волнообразным колебаниям океанического термоклина) эти два максимума совпадают. Теория лучей, даже когда ее залечили при помощи интеграла Эйри, в этом случае может дать только грубое представление формы волны, однако условие (417) для частоты во многих случаях оказывается довольно точным. [c.480]

Большие значения п соответствуют числу пересечений оси графиком Q (z), которое, как было подчеркнуто при обсуждении уравнения (71), различно для разных решений типа захваченных волн. Формы волн при и >> 1 часто очень хорошо выражаются при помощи двух представлений интеграла Эйри (404) [c.480]

Выражение (18.22) показывает, что, как и в случае рассеяния электромагнитных волн, угловая зависимость сечения вблизи угла, соответствующего радуге, определяется квадратом функции Эйри (эти вопросы подробно рассматривались в гл. 3, 6). Какая из сторон радуги является темной, а какая светлой, зависит от знаков С и к. Фаза амплитуды (18.22) оказывается важной лишь в том случае, когда в сечение рассеяния на некоторый угол 0 функция отклонения дает вклад при нескольких значениях прицельного параметра. [c.530]

Анализ формулы Эйри приводит к следующим выводам график зависимости изменения /.р//пад (рис. 5.53) имеет вид системы максимумов, форма которых при достаточно больших ji существенно отличается от хорошо известной кривой вида os 8 [см. (5.12)], описывающей освещенность экрана, обусловленную интерференцией двух элеи тромагнитнь1Х волн. [c.240]

В принципе изображение одиночной звезды в фокусе телескопа представляет собой дифракционное пятно (круг Эйри, рис. 3), определяемое апертурой телескопа. Чтобы наблюдать идеальную картину дифракции, необходимы исключительные атмосферные условия падающая на телескоп световая волна, идущая от звезды, должна быть плоской. В действительности обычно таких условий нет, и вследствие турбулентности атмосферы волновой фронт может быть сильно искажен. Телескоп воспринимает волну с неровностями волнового фронта, которые лежат в пределах от нескольких сантиметров до нескольких десятков сантиметров. Кривая S на рис. 117 изображает волновую поверхность, кО торая поступает в телескоп в данное мгновение. Разумеется, форма волновой поверхности изменяется очень быстро во времени. Вот почему при наблюдении в телескоп глазом изображение одиночной звезды обычно видно в виде размытого пятна, которое непрерывно изменяется и структура которого не имеет ничего общего с картиной дифракции Эйри. [c.118]

В точности проследить судьбу волн конечной амплитуды, возбужденных тем или иным способом,—задача большой трудности однако некоторые сведения можно получить приближенными методами. Такой способ был применен Эйри ) (1845) в его работе по динамической теорни приливов, где сходные вопросы возникают при исследовании приливов в море малой глубины и в устьях рек. [c.230]

II ротяженный предмет можно рас-сматривать как совокупность точечных источников, каждый из которых отображается системой в виде диска Эйри с окружающими его дифракционными кольцами. Если соседние точки предмета можно считать некогерентными источниками, то испускаемые ими волны не интерферируют и происходит сложение интенсивностей, т. е. результирующее изображение находится как простое наложение дифракционных картин от отдельных точек. Этот случай реализуется для самосветящихся (или некогерентно освещенных) объектов и важен в теории телескопа. Другой предельный случай когерентно освещенных объектов может быть реализован при наблюдении в микроскоп. Здесь для нахождения изображения требуется сложить напряженности полей в дифракционных картинах от отдельных точек предмета. [c.366]

Подобно тому, как из простейшего решения — плоской волны в однородной среде — было получено решение в виде лучевого разложения для почти плоских волн в плавно неоднородной среде, простое решение для поля вблизи плоской каустики в линейном слое подсказывает форму каустического разложения, в котором амплитуда перед произведением функции Эйри на экспоненту разлагается по обратным степеням к. Почти очевиден эвристический критерий применимости этого разложения масштаб изменения показателя преломление среды и параметров волны должен быть много больше характерного размера прикаустической зоны Л (21.58). [c.235]

В качестве простейшего примера неоднородной среды рассмотрим многослойную область (мультислой) с кусочно-постоянным (ступенчатым) законом изменения показателя преломления. В разд. 3.2 мы уже обсуждали обобщение метода геометрической оптики на неоднородный диэлектрик с непрерывным профилем показателя преломления сущностью этого анализа была основанная на свойствах функщ1й Эйри возможность сшивки асимптотических решений. При наличии у показателя преломления разрывов непрерывности можно также применить этот метод, учитывая, однако, некоторые небольшие изменения в выражениях для коэффициентов отражения и пропускания. Если же в задаче возникает большое число разрывов функции л (г), то описание многократного отражения проходящей через среду волны становится очень сложным. Для этого требуется систематическое изучение зависимости коэффициентов отражения и пропускания от числа разрывов, их характера и относительных положений разрывов непрерывности л (г). [c.170]

Начиная с первого успеха формулы Эйри, теория дифракщ1и приобретала все большую популярность, обеспечивая исследователей фундаментальными методами количественной оценки качества изображений и возможностей оптических систем формировать хорошо разрешенные изображения. Этот успех можно объяснить на известном примере. Размер центрального дифракционного диска в изображении точечного предмета не сильно зависит от точности установки плоскости наблюдения или от существования сферической аберрации. Например, вычисления показывают, что при дефокусировке на четверть длины волны размер диска охраняется практически неизменным. Это означает, что в данном случае прибор может разрешить две соседние точки так же, как и в идеальной оптической системе без аберраций. Интересно, что ситуация изменяется при наблюдении протяженных предметов. В частности, для тех же отклонений системы от идеальной наблюдается уже заметная потеря контраста в тонких деталях изображения протяженного предмета. Объяснение этому следует искать в изменении всей дифракционной картины изображения. Действительно, хотя размер центрального диска остается прежним, аберрации изменяют распределение интенсивности между центральным диском и концентрическими кольцами. Вычисления показывают, что при тех же аберрациях интенсивность колец увеличивается на 17% и соответственно уменьшается яркость центрального диска. [c.248]

Мы различаем три ситуации. Если р > Хл/пНк, то перекрытие отсутствует. Следовательно, результирующая вероятность р) обращается в ноль. Мы понимаем, однако, что -функционное представление состояния движения достоточно грубое. Более полный анализ описывает это состояние с помощью функции Эйри, которая обсуждалась в связи с проблемой равномерного асимптотического разложения. Так что вероятность в данном случае оказывается экспоненциально малой. Если р = Хл/пНк, линия импульсного состояния тангенциально касается максимумов косинусоидальной волны. Это приводит к большому перекрытию и, следовательно, к большой вероятности. Здесь есть, к тому же, и новая дополнительная особенность из-за периодичности электромагнитной волны число таких тангенциальных перекрытий велико. Вклады всех этих областей перекрытия интерферируют, так что важную роль начинают играть разности фаз. Это приводит к дискретности значений импульса, как было математически показано в предыдущей главе. Результаты интерференции из-за периодичности рассматриваемой структуры отчётливо видны в случае, когда р < Хл/пНк, и появляется ещё одна особенность на одном периоде О < < кх < 2тг косинуса есть пересечения в двух разных точках, а именно, [c.635]

Формулы (9) и (13), известные под названием формул Эйри, находятся в со-гласии с результатами, полученными ранее из обт,ей теории распространения волн в слоистой срсде (см. 1.6) ссли в уравнениях (1.6.60) положить 12= г, /"гз г, 12= и 4з= 2р =б и использовать соотношения (2) и (3), то получим [c.299]

При величинах а, соответствующих расстоянию между соседними полосами порядка 1 см или меньше, это условие строго ограничивает n h, и распределение интенсивности полос совпадает с распределением Эйри только вблизи ребра клина, где оптическая толщина составляет несколько длин волн. Например, лри а 2,5-10 (что при л 1 и >. = 5500.4 соогветствует примерно одной полосе на 1 мм) р -50 0,9) и условие (100) дает n h<< 50Xo. При большем удалении от ребра клина член с в (98) значительно возрастает и численный расчет показывает (рис. 7.74), что на значение это влияет следующим образом интенсивность максимумов становится меньше, а их полуширина больше. чем следует из фор.мулы Эйри максимумы смещаются от положений, определяемых (99), в сторону от ребра клипа полосы становятся асимметричными за счет появления вторичных максиму .юв на стороне, удаленной от ребра клина. [c.324]

В гл. 5 мы изучали эффекты аберраций, пользуясь приближением геометрической оптики. Изображением считалась размазанная фигура, образованная точками пересечения геометрически.х лучей с плоскостью изображения. Поскольку геометрическая оптика дает хорошее приближение в предельном случае очень коротких волн, сстсственчо ожидать, что геометрическая теория аберраций постепенно перестает быть справедливой при уменьшении величины аберрации. Наиример, в предельном случае идеально сферической сходящейся волны, выходящей из круглого отверстия, геометрическая оптика предсказывает бесконечную интенсивносгь в фокусе и нулевую интенсивность на всей остальной фокальной плоскости, тогда как на самом деле изображение (см. п. 8.5.2) состоит из яркого центрального пятна, окружен1Юго темными и светлыми полосами (картина Эйри,1. Было показано также, что распределение свста в непосредственной близости т фокальной плоскости значительно сложнее (см. рис. 8.39), чем следовало бы ожидать на основании предсказаний геометрической оптики. Поэтому эффекты аберраций необходимо исследовать на основе теории дифракции. [c.420]

Из предыдущего обсуждения следует, что при наличии аберраций максимальная интенсивность в дифракционном изображении меньше интенсивности в параксиальном фокусе (центре картины Эйри) оптической системы с теми же апертурой и фокусным расстоянием, но свободной от аберраций. Рэлей 11] впервые показал, что интенсивность света в параксиальном фокусе падает меньше чем на 20% (такая потеря обычно допустима), если первичная сферическая аберрация в системе такова, что волновой фронт в выходном зрачке отстоит от опорной сферы Гаусса на расстоянии, меньшем четверти длины волны. Более поздние исследователи установили, что качество изображения при наличии других обычно встречающихся аберраций существенно не ухудшается, если деформация волнового фронта не превышает четверти длины волны. Полученный результат известеи как правило четверти волны Рэлея, служащее полезным критерием допустимой величины аберраций в оптической системе, формирующей изображение. Это правило служит, конечно, лишь грубым указанием на необходимость коррекции системы, поскольку распределение света в изображе- [c.428]

На протяжении всего развития понятий групповой скорости и лучевой теории (начиная с разд. 3.6 и далее) мы до сих пор откладывали исследование локального поведения волн вблизи каустик. Здесь мы вводим это слово впервые каустика представляет собой границу между областью со сложной волновой картиной, являющейся результатом интерференции двух групп волн, и соседней областью, не содержащей ншкакжх волн. Каустики являются известными локальными особенностями многих различных конфигураций волн в жидкостях, причем все они могут быть исследованы вместе, так как ключом к их пониманию является одно математическое понятие — интеграл Эйри. Обычная лучевая теория неприменима вблизи каустики, но интеграл Эйри позволяет нам создать исцеленный вариант, в котором эта локальная трудность преодолевается. [c.465]

Звуковые волны могут распространяться значительно выше спокойного холодного озера в условиях инверсии , когда температура воздуха возрастает с высотой приблизительно по линейному закону. Причиной такого поведения может быть захваченная волна. Граничное условие, согласно которому дре дг обрап],ается в нуль на поверхности озера 2 = 0, может удовлетворяться при максимуме (X = —1,02) решения в форме интеграла Эйри (404). Это дает [c.481]

Рассмотрим резонатор, образованный двумя плоскопараллель-иыми круглыми зеркалами А я В с радиусом а, удаленными друг от друга на расстояние d. Параллельный пучок излучения с длиной волны Х, падающего ка зеркало Л, отражается и дифрагирует в угол порядка Xla диск Эйри, содержащий около 84% энергии). Половина угла, под которым видно зеркало В из центра Ag есть aid. Излучение, распространяющееся под атим [c.108]

Нелинейная акустика в ее теперешнем понимании может быть отнесена к числу молодых, быстро развиваю-ш ихся физических наук наиболее полные и интересные результаты здесь получены в течение последних десяти — пятнадцати лет. Несмотряна то, что нелинейная акустика выделилась в относительно самостоятельную ветвь сравнительно недавно, ряд работ, лен ащих в ее основе, был выполнен еще в прошлом веке. Эти работы, принадлежащие Пуассону [20, Стоксу [21], Эйри [22], Ирншоу [23], Риману [24], посвящены теории простых волн и образуют мостик между двумя традиционными разделами гидродинамики — линейной акустикой и теорией ударных волн. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...