Эйри распределение

Рис. 3.2. Нормированные распределения значений лучевых критериев Qa( ), Qt 2) и интенсивности Штреля D (3) при концентрации энергии в пределах диска Эйри (б) = = 0,73 (нижний, средний и верхний ряды точек Li — Ls — значения Q4, Q3 и D соответственно для отдельных типов аберраций)

Корреляционную связь относительной энергии в диске Эйри и остальных критериев исследовали в два этапа. На первом этапе постоянным было значение (6) = 0,73. Полученные при этом по 5000 наборов аберрационных коэффициентов распределения значений лучевых критериев и интенсивности Штреля приведены на рис. 3.2. [c.100]

Рис. 3.4. Нормированные распределения значений концентрации энергии в пределах диска Эйри при D = 0,83 1) и Q4 = 0,70 (2) Д ь Д 2— ширина пика корреляции D и Q4 соответственно

Рис. 3.5. Нормированные распределения значений концентрации энергии в диске Эйри при лучевых критериях Q ==j = 0,6 1) и Qz = 0,75 (2)

Рис. 3.7. Нормированное распределение значений концентрации энергии в диске Эйри при лучевом критерии Q4 = 0,7 для симметричных оптических систем

Таким образом, зная распределение интенсивности 1(г) в фокальной плоскости, можно найти угловое распределение исходного пучка. Из теории дифракции известно [3, с. 395—398], что функция 1 г) дается формулой Эйри [c.460]

Существует аналогия, находящая свое выражение в том факте, что бигармоническое дифференциальное уравнение для функции напряжений Эйри совпадает с уравнением поперечного прогиба пластинки, изогнутой силами и парами, распределенными по кон-туру. Этой аналогией пользуются в решении двумерных задач теории упругости ). [c.476]

При монохроматическом освещении распределение интенсивности в кольцах интерферометра Фабри — Перо дается формулой Эйри [c.422]

Проще всего отыскать fo k), вероятно, при помощи функций Фогта, как говорилось в п. 1,а. Для распределения Эйри (8.41) отношение ширин на уровнях 0,1 и 0,5 равно приблизительно 3,0 (так же, как и для лоренцевой линии). Поэтому функцию Эйри можно хорошо аппроксимировать лоренцевым распределением, так что выражение (8.46) дает функцию Фогта. Поэтому способ вычислений, изложенный в общих чертах в п. 1,а, непосредственно применим для определения профиля колец Фабри — Перо [32]. [c.423]

В интерферометре Фабри — Перо (см. 5.7) распределение интенсивности при освещении монохроматическим светом описывается формулой Эйри (5.72). При высоком коэффициенте отражения R зеркал отдельные максимумы имеют лоренцевскую форму (5.75). Такую же форму будет иметь и аппаратная функция, т. е. регистрируемый в монохроматическом свете контур отдельной полосы равного наклона или сигнал фотоприемника при сканировании с использованием круглой диафрагмы очень малого диаметра (что соответствует бесконечно узкой щели в дифракционном или призменном приборе). Если ее рассматривать как функцию от Л6 = 6—2лт, т. е. отклонения разности фаз 6 от ее значения в соответствующем максимуме, то в соответствии с (5.75) [c.318]

Распределение амплитуды в плоскости (23.7) — знакопеременные полосы в двумерной ситуации и кольцевая структура в осесимметричной трехмерной (кольца Эйри). Из (23.13) при i ( , 0)1= 1 сразу получаем ( ) [c.253]

Проведем анализ выражения (3.4.15), которое получило название формулы Эйри. Изменение разности фаз может происхо-дить либо за счет изменения угла падения лучей на интерферометр г (или угла г), либо за счет изменения оптической толщины слоя диэлектрика nt. На рис. 3.4.4 показано распределение относительного пропускания двухзеркальной системы как функции разности фаз б при различных значениях параметра кТа. Из рисунка следует, что характер распределения относи- [c.138]

Проведем анализ выражения (7.12), которое получило название формулы Эйри. В общем случае изменение разности фаз может происходить либо за счет изменения оптической толщины диэлектрической прослойки dn, либо за счет изменения угла падения лучей (или угла г). На рис. 7.2 показано распределение относительного пропускания как функции б при различных значениях параметра Rt, [c.68]

Квадрат величины К (и) дает известное распределение Эйри, Таким образом, распределение интенсивности в фокальной плоскости однородно освещаемой идеальной оптической системы имеет центральное пятно, нормализованный радиус которого = 3,8 совпадает с первым нулем функции это пятно содержит около 84% всей сфокусированной энергии и называется диском Эйри, [c.312]

Покажите, что поле, создаваемое на большом расстоянии объективом, освещаемым сферической волной, пропорционально полю, вычисленному в плоскости вблизи фокуса на расстоянии и = он него, где с1 — расстояние между выходным зрачком и изображением, формируемым плоской волной, и а — диаметр зрачка. Рассмотрите изменения в распределении поля в дальней области, вызываемые как сдвигом источника относительно объектива, так и изменением диаметра зрачка. При каких соотношениях между а, б/ и X центральное светлое пятно Эйри заменяется темным Для ответа используйте фотографии из гл. 9 книги Борна и Вольфа [И], указанной в литературе к гл. 1 настоящей книги. [c.335]

В предыдущем разделе мы показали, что структура поля вблизи простой каустики, создаваемая распространяющейся цилиндрической волной, имеющей сферические аберрации, зависит от кривизны каустики. При этом изменение поля в перпендикулярном каустике направлении выражается через интеграл Эйри. Вблизи острия (точки возврата) каустики (см. рис. 2.15 и 2.16 в гл. 2) из-за интерференции трех или более лучей распределение поля становится значительно более сложным. Эту ситуацию можно описать, рассматривая дифракционный интеграл, у которого три стационарные точки функции h(s) близки друг к другу. В соответствии с этим мы можем изучить поле, анализируя сравнительный интеграл [c.363]

В 1835 г. Р. Поттер указал, что пересечение различных групп световых лучей в капле приводит к образованию каустики. На основе этих данных Эйри в 1838 г. удалось найти распределение интенсивности в монохроматической радуге, причем в своих расчетах он использовал знаменитый интеграл радуги, известный теперь как функция Эйри. Метод, которым воспользовался Эйри (рис. 6.22), состоял в применении принципа Гюйгенса к волновому фронту, огибающая которого описывается кубической функцией. [c.472]

Можно пренебречь членом с а , если он мал по сравнению с я, и считать разность фаз Ьр—следующих друг за другом волн постоянной и равной 64л/г /г/л, ,+ 2ф. В таком случае определяется формулой Эйри (13), и в плоскости клина наблюдаются полосы с таким же распределением интенсивности, как и у локализованных в бесконечности полос, создаваемых плоско-параллельной пластинкой (см. рис. 7.58). Положения максимумов интенсивности, соответствующие 6 — 2тя, определяются из соотношения [c.324]

Распределение интенсивности в плоскости изображения оказывается тогда таким же, как и при некогерентном освещении огверстий Р, и Р . Это осуществляется, например, когда т = 1, а Vl — отличный от нуля корень уравнения 1( 12) =0, т. е. когда числовые апертуры равны, а расстояние между геометрическими изображениями отверстий равно радиусу одного из темных колец картины Эйри, создаваемой объективом. [c.482]

Любой спектральный прибор, используемый для регистрации частотного распределения интенсивности излучения, характеризуется аппаратной функцией g v — V ), искажающей реальный спектр Р(у ) на каждой частоте V на величину g v — V ). Аппаратные функции типовых спектральных приборов могут иметь вид прямоугольника, трапеции, гауссовской кривой, функции Эйри, а также других форм аналитической зависимости от частоты. Экспериментально измеренная функция пропускания для излучения /о( ) определяется выражением [c.209]

Предположим, что плоская волна, распространяющаяся через облако случайно распределенных рассеивателей, наблюдается посредством формирующего изображение приемника, такого, как линза или параболическая антенна. В отсутствие рассеивателей в фокальной плоскости изображение описывается функцией Эйри. В данном разделе мы рассмотрим влияние рассеивателей на это изображение. [c.54]

Это выражение соответствует распределению Эйри для круговой апертуры. Первый нуль этого выражения отвечает значению Ра = (3,832/)/йа. [c.57]

Будем предполагать, что оптические системы идеальны в смысле геометрической оптики, т. е. дают строго точечные изображения каждой точки объекта. По волновой оптике это не так. Как показано в предыдущем параграфе, изображением светящейся точки в сопряженной плоскости является дифракционная картина, состоящая из концентрических колец, окружающих центральный светлый дифракционный кружок. Распределение интенсивности в такой картине представлено сплошной кривой на рис. 181. Основная доля энергии света (около 84%) приходится на центральный дифракционный кружок. Этот кружок и будет изображением светящейся точки, если пренебречь энергией, приходящейся на окружающие его дифракционные кол >ца. Он называется кружком Эйри по имени [c.357]

Конечный объект можно рассматривать как совокупность точечных источников, каждый из которых изображается кружком Эйри (1801—1892) с окружаюш,ими его дифракционными кольцами. Изображение объекта есть наложение таких кружков и дифракционных колец. Задача теории сводится к расчету распределения интенсивности света в такой картине. Следует различать два предельных случая 1) точечные источники некогерентны 2) точечные источники когерентны. В первом случае складываются интенсив ности волновых полей, во втором — их напряженности. Приближенно первый случай реализуется для самосветящихся, второй — для освещаемых объектов. Первый случай имеет основное значение в теории телескопа, а второй — микроскопа. [c.358]

В простейшем случае сложный объект состоит из двух точечных источников 5 и (рис. 211). Если расстояние между центрами кружков Эйри от этих точечных источников мало по сравнению с размерами самих кружков, то распределение интенсивности света [c.358]

Однако данных рис. 3.2 недостаточно для таких выводов. Причины широкого статистического распределения могут заключаться не только в плохой корреляции, но и в крутизне взаимозависимости различных критериев. Рассмотрим эту взаимозависимость на примере аберрации L4. Из графиков рис. 3.3 видно, что критерий D более резко зависит от (6) в районе (б)= 0,73, чем Q4. Аналогичные зависимости существуют и для любого другого вида аберрационных искажений, только наклон соответствующих кривых несколько, меняется. Таким образом, более широкое статистическое распределение значений критерия D вызвано не его плохой корреляцией с (6), а более резкой зависимостью от (б) в районе граничного значения, в некотором роде большей чувствительностью . Другими словами, критерии D, Q3 и Q4 — разные величины и интервалы их значений при Е(6) = = onst нельзя непосредственно сопоставлять. Для того чтобы сравнить степени их корреляции с критерием Е(6), необходимо получить статистические распределения значений относительной энергии в диске Эйри при постоянных D, Q3 и Q4, что составляет второй этап исследования корреляционной статистики критериев. [c.101]

Опираясь на результаты проведенных статистических исследований, примем в качестве граничных значений для рассматривавшихся критериев следующие Drp = 0,83 Qsrp = 0,68 Q4rp = = 0,7. Эти значения с вероятностью более 90% гарантируют концентрацию энергии в диске Эйри (6) 0,73 при любых видах аберрационных искажений. Не исключена возможность отдельных случаев резкой несогласованности критериев. Например, при наборе статистики по симметричным системам было получено сочетание аберрационных коэффициентов L = —0,35, 4 = —1,1, остальные коэффициенты малы), для которого при Q4 = 0,7 относительная энергия в диске Эйри (б) =0,59. Нетрудно убедиться, что эта точка лежит далеко за пределами статистического распределения, приведенного на рис. 3.7. Однако верояуность возникновения таких ситуаций мала (один [c.103]

В случае формирования субъективной спекл-картины функция Бесселя первого порядка в (6.2) описывает распределение интенсивности в изображении точечного источника света, сфомированном оптической системой с круглой апертурой. Это изображение, являющееся дифракционной кар-шной на бесконечности (ее часто называют кругом или диском Эйри), имеет круговую симметрию. Т рактерным для такой дифракционной картшы (рис. 55,а) является наличие яркого центрального пятиа, окруженного несколькими кольцами, интенсивность которых значительно меньше интенсивности центрального пятна. Обратим также внимание на то, что амплиту- [c.104]

Дальнейшее раэвитие теоретической разработки двумерных задач основывается на применении функции напряжений. Как мы уже знаем (стр. 273), эта функция была введена впервые Эйри, воспользовавшимся ею в своем исследовании изгиба прямоугольных балок. Эйри выбрал свою функцию напряжений так, чтобы удовлетворялись граничные условия но он упустил из вида то обстоятельство, что она должна удовлетворять также и условию совместности, установленному Сен-Венаном. Максвелл в своей работе О взаимных фигурах, стержневых системах и диаграммах сил ) исправил ошибку Эйри и дал для функции напряжений дифференциальное уравнение. Он показал также, что при отсутствии объемных сил для обоих типов двумерных задач получаются тождественные уравнения и что распределение напряжений не зависит от упругих достоянных материала. [c.421]

Как уже было отмечено во введении, использование теоремы Бабине позволяет сделать вывод о том, что индикатриса рассеяния такого покрытия, состоящего из огромного множества хаотически распределенных по поверхности прозрачной подложки непрозрачных шариков одинакового диаметра d, сходна с распределением интенсивности в картине дифракции от круглого отверстия, диаметр которого d — d [21а, с. 162 216, с. 150]. Поэтому подавляющая часть рассеянного света распределяется в области кружка Эйри (подробнее — в гл. 4), радиус которого R, при базисе L, составляет R = Ltgip = Lsiuipi, где (pi определяется из условия d-sin(/ i = 1,22Л. Отсюда имеем R[ = , 22XL/d. Вместе с тем, радиус первого темного кольца в интерференционной картине, формируемой в расположении I, определяется [c.17]

Пусть предмет состоит из двух одинаковых точечных источников Si и 5г. Если расстояние между центрами их изображений в оптическом приборе мало по сравнению с размерами дисков Эйри, то результирующая картина практически не отличается от изображения одного точечного источника. В таком случае говорят, что прибор не разрешает рассматриваемые точки. Если увеличивать расстояние между Si и 5г, то расстояние между центрами их изображений Si и также будет увеличиваться при неизменном размере соответствующих им дисков Эйри. Начиная с некоторого расстояния SiS2l = /min на графике суммарного распределения интенсивности вдоль линии S1S2 в середине появится провал. Такая картина будет восприниматься как раздельное изображение двух точек. В этом случае говорят, что прибор разрешает точки Si и S2, а величину Zmin называют разрешаемым расстоянием. [c.366]

Пример 2.5. На рис. 2.13 представлена фаза (после 22 итераций) ДОЭ, способного преобразовывать лазерный свет с гауссовым распределением интенсивности в круг с однородной интенсивностью в фокусе линзы. Интенсивность гауссова пучка на границах апертуры ДОЭ составляет 0,1 от максимального ее значения в центре пучка. Радиус ДОЭ равен 0,4 мм число отсчетов вдоль ра/щуса 256, к/ = 100 мм радщус круга в плоскости изображения составляет 0,3 мм и примерно равен трем радиусам минимального дифракционного пятна (диск Эйри). [c.73]

Начиная с первого успеха формулы Эйри, теория дифракщ1и приобретала все большую популярность, обеспечивая исследователей фундаментальными методами количественной оценки качества изображений и возможностей оптических систем формировать хорошо разрешенные изображения. Этот успех можно объяснить на известном примере. Размер центрального дифракционного диска в изображении точечного предмета не сильно зависит от точности установки плоскости наблюдения или от существования сферической аберрации. Например, вычисления показывают, что при дефокусировке на четверть длины волны размер диска охраняется практически неизменным. Это означает, что в данном случае прибор может разрешить две соседние точки так же, как и в идеальной оптической системе без аберраций. Интересно, что ситуация изменяется при наблюдении протяженных предметов. В частности, для тех же отклонений системы от идеальной наблюдается уже заметная потеря контраста в тонких деталях изображения протяженного предмета. Объяснение этому следует искать в изменении всей дифракционной картины изображения. Действительно, хотя размер центрального диска остается прежним, аберрации изменяют распределение интенсивности между центральным диском и концентрическими кольцами. Вычисления показывают, что при тех же аберрациях интенсивность колец увеличивается на 17% и соответственно уменьшается яркость центрального диска. [c.248]

При этом гауссов интеграл, приводящий к выражению (6.13.37), заменится функцией Эйри. Картина поля, характерная для монохроматической радуги, определяется распределением поля вблизи каустики и выглядит как ряд полос на освещенной стороне капли. Вычисления, проделанные на основе рядов Ми, развеяли оставшиеся сомнения о фактическом присутствии резких полос. Недавно в работе [37] к интегралу, аналогичному интегралу из выражения (6.13.32) и полученному при вычислении амплитуды рассеяния методом Ватсона — Редже, авторы применили метод Честера — Фридмана — Урселла (ЧФУ). Метод ЧФУ дает выражение, в котором функция Эйри входит в комбинации со своей производной А таким образом, нули функции Эйри компенсируются присутствием функции А . Как видно из рис. 6.23, эти изменения приводят к значительно более высокой точности расчетов. [c.473]

Рис 7.74. Сравнение распределения интенсивности в многолучевых интерференционных по.1осах Физо сплошная кривая) с соответствующим рлспредг-леиием интенсивности Эйри (пунктир) [831. [c.324]

При величинах а, соответствующих расстоянию между соседними полосами порядка 1 см или меньше, это условие строго ограничивает n h, и распределение интенсивности полос совпадает с распределением Эйри только вблизи ребра клина, где оптическая толщина составляет несколько длин волн. Например, лри а 2,5-10 (что при л 1 и >. = 5500.4 соогветствует примерно одной полосе на 1 мм) р -50 0,9) и условие (100) дает n h<< 50Xo. При большем удалении от ребра клина член с в (98) значительно возрастает и численный расчет показывает (рис. 7.74), что на значение это влияет следующим образом интенсивность максимумов становится меньше, а их полуширина больше. чем следует из фор.мулы Эйри максимумы смещаются от положений, определяемых (99), в сторону от ребра клипа полосы становятся асимметричными за счет появления вторичных максиму .юв на стороне, удаленной от ребра клина. [c.324]

Определим теперь разрешающую силу микроскопа. Вернемся опять к рассмотрению рис. 8.31, по допустим, что свет, идущий из Р и Q, когерентен. В этом случае распределение интенсивности в плоскости изображений определяется в основном когерентной суперпозицией двух дифракционных каргин Эйри с центром одной в Р, а другой в Q. Комплексная амплитуда в точке, находящейся межцу Р и (3 на расстоянии Wl (измеренном в дифракционных единицах ) от Р определяется соотношением [c.388]

В гл. 5 мы изучали эффекты аберраций, пользуясь приближением геометрической оптики. Изображением считалась размазанная фигура, образованная точками пересечения геометрически.х лучей с плоскостью изображения. Поскольку геометрическая оптика дает хорошее приближение в предельном случае очень коротких волн, сстсственчо ожидать, что геометрическая теория аберраций постепенно перестает быть справедливой при уменьшении величины аберрации. Наиример, в предельном случае идеально сферической сходящейся волны, выходящей из круглого отверстия, геометрическая оптика предсказывает бесконечную интенсивносгь в фокусе и нулевую интенсивность на всей остальной фокальной плоскости, тогда как на самом деле изображение (см. п. 8.5.2) состоит из яркого центрального пятна, окружен1Юго темными и светлыми полосами (картина Эйри,1. Было показано также, что распределение свста в непосредственной близости т фокальной плоскости значительно сложнее (см. рис. 8.39), чем следовало бы ожидать на основании предсказаний геометрической оптики. Поэтому эффекты аберраций необходимо исследовать на основе теории дифракции. [c.420]

Из предыдущего обсуждения следует, что при наличии аберраций максимальная интенсивность в дифракционном изображении меньше интенсивности в параксиальном фокусе (центре картины Эйри) оптической системы с теми же апертурой и фокусным расстоянием, но свободной от аберраций. Рэлей 11] впервые показал, что интенсивность света в параксиальном фокусе падает меньше чем на 20% (такая потеря обычно допустима), если первичная сферическая аберрация в системе такова, что волновой фронт в выходном зрачке отстоит от опорной сферы Гаусса на расстоянии, меньшем четверти длины волны. Более поздние исследователи установили, что качество изображения при наличии других обычно встречающихся аберраций существенно не ухудшается, если деформация волнового фронта не превышает четверти длины волны. Полученный результат известеи как правило четверти волны Рэлея, служащее полезным критерием допустимой величины аберраций в оптической системе, формирующей изображение. Это правило служит, конечно, лишь грубым указанием на необходимость коррекции системы, поскольку распределение света в изображе- [c.428]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...