Сфера Ферми значении

Низкие отрицательные значения (- —1,5 ккал) и малые изменения в после плавления (большинство которых объясняется изменением в стандартном состоянии) для простых систем, содержащих электронное соединение, позволяют допустить, что изменение энергии Ферми после сплавления дает главный вклад в Н . Во всех этих системах фактор электроотрицательности мал и не может дать значительного вклада в энтальпии смешения или в сильной степени привести к образованию отрицательных группировок в жидкости (возможно, за исключением системы Си—-Sn, где имеет резкий минимум). Хаотичность структуры жидкости отражается в относительно малых отрицательных избыточных энтропиях растворов. Влияния критической электронной концентрации в жидкости не наблюдается, так как плавление уничтожает всякое влияние, вызванное взаимодействием зоны Бриллюэна и сферы Ферми, вследствие разрушения зоны Бриллюэна. Однако влияние зон в жидких сплавах все же возможно (см. разделы 5.1 и 5.2), но не при этом же составе, как в твердом состоянии. [c.58]

Более подробно это изложено в работах [314, 331]. Если бы поверхность Ферми была сферической, а время релаксации изотропным, то мы получили бы значение R в твердых металлах, соответствующее теории свободных электронов. Это не наблюдается для твердого состояния, но возможно в жидкости, так как структура теперь изотропна, а сфера Ферми при сближении с плоскостями зон Бриллюэна больше не деформируется. [c.112]

В объяснении связи между устойчивостью фазы и характером контакта поверхности Ферми с зонами Бриллюэна. Основная причина этого, по-видимому, заключается в том, что существует реальная разница между попыткой Джонса рассчитать относительную стабильность двух фаз, используя для этой цели представления о соприкосновении поверхности Ферми с определенными гранями зоны Бриллюэна в предположении о наличии большого энергетического разрыва, а также дополнительные термодинамические величины, и подобными же попытками, использующими представления о сферических поверхностях Ферми и сводящимися к простому расчету электронной концентрации, при которой происходит соприкосновение данной сферы Ферми с границами зоны. В последнем случае на границе зоны не должно быть энергетического разрыва. Как указал недавно Юм-Розери 157], это важное заключение в металловедческой литературе зачастую не принимается во внимание. Расчеты, основанные на представлении о свободных электронах, показали, что соприкосновение сферической поверхности Ферми с границами зоны Бриллюэна должно происходить при электронной концентрации, равной 1,36 дляа-фазы и 1,48 для Р-фазы (см. фиг. 6, в). Эти значения хорошо согласуются с экспериментальными данными. Однако это следует считать лишь удачным совпадением по крайней мере для а-фазы, поскольку недавно было установлено, что поверхность Ферми значительно отклоняется от сферической формы в направлениях [111] и соприкасается с гранями 111 зоны Бриллюэна у всех трех благородных металлов — меди, серебра и золота [40]. [c.161]

Следовательно, при значениях (39.32) вне сферы Ферми е(к)> >0) операторы Ако — ак и, Акх = а к,- и- Следовательно, они уничтожают электроны, находящиеся, соответственно, в состояниях к, 7г) и —к, — /г)- Внутри же сферы Ферми (е(А )<0) эти операторы имеют значения Л о = — -, - / 1 = 0. /,. Следовательно, они соответствуют рождению электронов (или уничтожению дырок) в состояниях (—к, — Уг) и к, Уг)- Таким образом, преобразование (39.33) эквивалентно переходу к дырочному представлению, рассмотренному в 21.1. В состояниях, соответствующих тривиальному решению уравнения (39.29), спектр одноэлектронных состояний остается неизменным, так как Е к)==е(к). В этом случае металл находится в нормальном состоянии и оказывает сопротивление проходящему току. [c.288]

Вычислим значение А для простейшего случая, когда v , равно постоянному значению v, если к и ki лежат внутри интервала ко — д, ко + д (feo — волновой вектор сферы Ферми), и равно нулю, когда к и ki лежат вне этого интервала. В этом случае согласно (39.27) внутри указанного интервала значение А также постоянно (А = А), и уравнение (39.29) принимает вид [c.289]

При больших разностях к- — Щ зависимость энергии квазичастиц от импульса такая же, как для свободных частиц с массой т. Однако при приближении k к значению (граничный волновой вектор сферы Ферми) энергия возбуждения стремится не к нулю, а к конечному пределу [c.290]

Из табл. 7.1 следует, что для золота величина волнового вектора сферы Ферми / = 1,2-10 см- площадь соответствующего экстремального сечения равна 4,5-10 см , что в общем согласуется с экспериментальным значением. [c.372]

Рис. 6. Вектор к электрона в электрическом поле смещается линейно во времени в направлении электрического поля. Это означает смещение сферы Ферми как целого. Средняя точка смещенной Северы Ферми дает среднее значение -вектора электронного газа й = -еЕЛ%.

Ожидаемые значения энергии в основном состоянии мы получим, построив соответствующие матричные элементы. В качестве волновой функции основного состояния мы при этом должны использовать функцию, которая описывает заполненную сферу Ферми радиуса = IV. [c.54]

Покажем, теперь, что вклад от прямых процессов Е ) логарифмически расходится. Для этой цели рассмотрим выражение (3.50) в предельном случае малых передач импульса. Заметим прежде всего, что при этом абсолют-ные значения 1р1 и 1я1 должны быть близки к ко, так как условия 1р1<ко, 1р+к1> о ограничивают область возможных значений р (и аналогично я) тонким слоем в ближайшей окрестности сферы Ферми (ср. фиг. 12). Толщина этого слоя будет порядка к. Ограничения, связанные с принципом Паули, в случае малых передач импульса описываются выражением [c.122]

Вывод формулы (3.12), который мы провели выше, во многом основан на интуиции Хд-приближение первоначально было введено Слэтером именно так [811 усреднение проводилось по объему сферы Ферми, т. е. в (3.12) а = 1. Затем было найдено обоснование такого подхода с помощью довольно сложного формализма [82, 83J. При этом оказалось, что использование вариационного аппарата [83] строго приводит к значению а = 2/3, но никак не а = 1. Это противоречие оказалось связанным с порядком действий при выполнении моделирования. [c.74]

Теперь обсудим еще один вопрос, имеющий общее значение — это вопрос об особой роли взаимодействия сферы Ферми и границы зоны Бриллюэна, в момент касания которых [c.229]

Решение, При в = О и /ЗЯ Ф О сфера Ферми раздваивается электроны со спином вдоль поля Я имеют граничную энергию = ц + ЗН, против поля — граничную энергию ц- = ц - /ЗЯ (рис. 92). Обозначая традиционно граничную энергию Ферми в случае Н — О как ер = й (3я- п) 7(2т), где п = и вводя максимальное значение намагничения [c.225]

Рис. 30.3. Поверхность Ферми для К [2]. Проведены контуры отклонения поверхности Ферми от сферы в единицах 10 Af/ri, где г — радиус сферы. (Значения Дг/г для других щелочных металлов качественно такие же)

Структура двух верхних энергетических зон натрия показана на рис. 10.21 кривые построены на основе расчетов, выполненных в приближении почти свободных электронов. Значения требуемых для этого фурье-компонент потенциала решетки были взяты из экспериментов, выполненных при изучении эффекта де Хааза — ван Альфена, который будет рассмотрен ниже. Эти эксперименты дают результаты, весьма чувствительные к отклонениям формы поверхности Ферми от сферы, п позволяют точно определять коэффициенты 7о. [c.358]

Энергия электронной пары состоит из суммы энергий отдельных электронов и энергии их взаимодействия А . Наша задача заключается в вычислении этой энергии взаимодействия. Она тем больше, чем больше в нее вносят члены суммы в (82.1). Af принимает наибольшее значение при К = -Это можно увидеть, если рассматривать пару электронов непосредственно над поверхностью Ер. Взаимодействие имеет место только в том случае, когда электроны находятся в состояниях вне ферми-сферы с энергия- [c.320]

Мы хотим теперь найти сумму таких энергий по всем занятым состояниям. Во втором порядке теории возмущений по псевдопотенциалу достаточно для этого просуммировать по ферми-сфере, которая существовала бы в отсутствие псевдопотеициала, и вычислить интегралы от плохо определенных функций в смысле главного значения. Такую процедуру можно обосновать [131. При этом существенным является то, что искажение ферми-поверхности — второго порядка малости по псевдопотенциалу, а перераспределение электронов при замене сферы истинной ферми-поверхностью дает вклад в энергию первого порядка малости. Следовательно, полное изменение энергии имеет третий порядок, и в нашей теории, учитывающей все вклады до второго порядка включительно, им можно пренебречь. Таким образом, мы должны просуммировать выражение (4.62) по всем [c.480]

Измерения параметров поверхности Ферми с помощью эффекта де Гааза — ван Альфена с большой точностью подтверждают этот результат теории свободных электронов, особенно в натрии и калии, где отклонения кр от значения для свободных электронов составляют лишь десятые доли процента ). Отличия поверхностей Ферми от идеальных сфер представлены на фиг. 15.1, которая показывает не только то, как малы эти отличия, но и то, насколько точно они измерены. [c.284]

Полное тепловое возбуждение электронов в металле при обычных температурах, отвечающих твердому состоянию, всегда мало. Условием того, что все электроны подверглись тепловому возбуждению, является равенство ен=коТн. Температура, удовлетворяющая этому условию, называется температурой Ферми. Выше этой темнературы электроны ведут себя как классический (идеальный) газ, а при Т<Тр можно считать, что электроны находятся в основном состоянии (в к-пространстве внутри сферы Ферми). Обычные значения гр соответствуют температуре Ферми порядка ТО К. [c.126]

Пары электронов с противоположными по знаку проекциями спина и суммарным импульсом, равным нулю, называются куперовскими парами. Как было обнаружено Купером, они могут образовывать связанные состояния при сколь угодно малом взаимодействии. Это вытекает из следующего простого соображения в сколь угодно мелкой потенциальной яме импульсы электронов убывают по мере их удаления друг от друга, так как происходит торможение вследствие их взаимного притяжения. Однако при температурах, близких к нулю, убывание импульса не может быть безграничным. Как только импульсы частиц достигают значения Л тах> дальнейщее уменьщение импульса становится невозможным вследствие принципа Паули, так как все места внутри сферы Ферми заняты электронами. Это значит, что дальнейщее увеличение расстояния между компонентами пары невозможно, и они образуют связанное состояние. [c.372]

Перекрытие величины K=2kp и первого пика дифракции в жидких двухвалентных и многовалентных металлах приводит к заключению о том, что влияние границ зоны может иметь место в жидкостях, хотя и менее выраженное, чем в твердом состоянии, при диаметре сферы Ферми, соответствуюш,ем первому главному пику в а (К), т. е. при значении примерно 1,6 электронов на атом. Доказательств этого нет (см. работу Ролля и других, о которой будет сказано ниже). [c.108]

Поскольку вдоль линий пересечения граней А А ж А С энергетические разрывы отсутствуют, энергетическая зона целиком ае заполняется, так как при расширении сферы Ферми ее поверхность должна пересечься с гранями С, в связи с чем до заполнения зоны Бриллюэна часть электронов переходит за ее пределы. По этой причине приведенное выше уравнение следует считать приближенным. Значения п для -фаз с идеальным отношением осей и для е-фаз (разд. 7.1), имеющих с/а = 1,550, приблизительно равны 1,745 и 1,721 соответственно (SO]. Именно это и является причиной связи между стабильностью промежуточных фаз, обладающих гексагональной нлотноупакованной структурой, в. содержанием электронов во внутренней зоне Бриллюэна (см. разд. 7. 4,). При подключении внешней зоны, образованной гранями 00.2 и 10.1 , п = 2. Относительные различия между значениями векторов к в и А с, так же как и разница в величине энергетических разрывов, будут определять последовательность и природу взаимодействий и перекрытий между поверхностью Ферми и зоной Бриллюэна. Эти взаимодействия должны происходить при различных значениях энергии для разных граней зоны, что приводит, по мнению Джонса [60], к возйикнове-нию результирующего электронного натяжения , стремящегося деформировать зону Бриллюэна. Интерпретация характера зависимости периодов решетки у -фаз указывает на то, что в этих фазах перекрытие происходит только по граням 10.0 , тогда как в 8-фазах вблизи предельных значений растворимости в твердом состоянии, по всей видимости, происходит дополнительное перекрытие по граням 00.2 [80]. Как установили Джонс [60] и Массальский и Кинг [80], в г]-фазах (которые представляют собой ограниченные твердые растворы на основе цинка или кадмия) электронное перекрытие происходит как по граням 00.2 , так и по граням 10.0 ). [c.196]

Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы понять, откуда берутся энергетические щели, эффективные массы, меньшие т, и какова роль дырок как носителей заряда. Предположим, что значения компонент Фурье Но потенциальной энергии. малы по сравнению с кинетической энергией 1гкр12т свободного электрона на поверхности сферы Ферми. Это предположение позволит нам ограничить рассмотрение случаем простых волновых функций, приближенно описываемых линейной кОлМбннацией двух плоских волн. [c.326]

Значение kf, для которого сфера почти касается грани первой зоны Бриллюэна, для случая ГЦК рещетки равно 5,45/а . Нормаль, проведенная из начала координат к гексагональной грани первой зоны Бриллюэна, есть (п/о) (л + у + г) и по абсолютной величине равна - /Зя/а. Таким образом, сферы Ферми для свободных электронов для кальция и алюминия выходят за пределы первой зоны Бриллюэна. Из экспериментов по измерению эффекта магнетосопротивления на кальции известно, что электроны действительно располагаются и во второй зоне [c.373]

Наблюдаемые значения средней концентрации электронов в 13-фазе (объемноцентрированная кубическая структура) близки к значению п= 1,48, при котором сфера Ферми касается изнутри граничных поверхностей зоны Бриллюэна, соответствующей объемноцентрированной кубической решетке. В случае уфазы сфера Ферми касается границ зоны нри средней концентрации электронов п = 1,54. Касание в случае е-фазы (гексагональная структура с плотной упаковкой) имеет место при п = 1,69, еслн отношение с/а имеет величину, соответствующую идеальной решетке. [c.678]

Рис. 19.22. Характер изменения намагниченности свободного электронного газа 8 окрестности точечного магнитного момента, расположенного в точке г — О, в соответствии с теорией КККУ. По горизонтальной оси отложены значения 2кгг, где кр — радиус сферы Ферми. (Ое Оеппез.)

Такое положение вещей можно выразить еще другим способом электрон в квантовом состоянии Л (и с заданным спином) имеет энергию Е=1ь кЧ2п1, импульс и скорость Ш1т. В основном состоянии вся сфера Ферми заполнена и для каждого заполненного состояния к имеется заполненное состояние —к. Полный импульс и скорость центра тяжести всей системы, таким образом, равны нулю. Если удалить из сферы Ферми один электрон в состояние к > кр, то эго ппиведет к двойному результату. Электрон приобретает импульс %к (не скомпенсированный никаким другим электроном). В сфере Ферми, кроме того, появляется нескомпенсиро-ванный электрон в состоянии —к . Переносимый им импульс равен — Общее изменение импульса, таким образом, равно % к ко) Ьл. Это соответствует изменению энергии (х) = —11 к к 12т. Мы будем называть основное состояние вакуумом системы. Рассмотренные состояния возбуждения теперь могут быть описаны как результат образования электрона вне сферы Ферми и дырки внутри нее. Энергия пары электрон—дырка (т. е. минимальная энергия возбуждения пары) есть Е (х), а соответственный импульс —Дх. Из рис. 3 видно, что для этих состояний возбуждения нет однозначного соотношения между энергией и импульсом. Для каждого возможного значения импульса имеется конечная область возможных значений энергии. [c.32]

ОбменнЬе взаимодействие изменяет также среднюю энергию электронного газа. При интегрировании (11.4) по сфере Ферми вклад первого члена опять как раз равен Ер (см. (6.18)). Второй член дает вклад = —-5 = 1-где значение обменной энергии на поверхности Ферми. [c.53]

Изменение энергии фононов зависит от д, во-первых, через зависимость от д матричного элемента и члена, содержащего энергию, и, во-вторых, через изменение области интегрирования. Из рис. 2 видно, что при q < 2kp могут рождаться электроннодырочные пары, у которых электрон и дырка могут обладать одинаковой энергией Ер = %Щ12т. При значениях q > 2kp это уже невозможно. q — 2kp есть наименьшее значение q, при котором суммирование в (50.21) производится по всей сфере Ферми. Можно показать, что из этого следует, что при q = 2kp появляется логарифмическая сингулярность на подъеме дисперсионной кривой af ig) (аномалия Кона). Ее наблюдали в фононном спектре свинца. [c.206]

Если полностью пренебречь потенциальной энергией, то волновая функция основного состояния системы О), как уже говорилось в предыдущих параграфах, будет описывать состояние с целиком заполненной сферой Ферми. В конфигурационном пространстве эта волновая функция представляет собой детерминант, составленный из плоских волн, соответствующих состояниям с най-меньщими возможными импульсами, т. е. со значениями р < Лко. В представлении вторичного квантования можно определить волновую функцию основного состояния соотношениями (П.22) и (П.23) из приложения А, согласно которым [c.96]

Чтобы найти более низкую энергию системы со взсишодействием, попытаемся представить волновую функцию рассматриваемой нами пары в виде суперпозиции состояний пар с противоположными спинами и импульсами, причем такими, что все они лежат вне сферы Ферми. Такой выбор оставляет все остальные электронные состояния неизменными. В отсутствие электрон-электронного взаимодействия среднее значение энергии такого состояния окажется, очевидно, большим вследствие дополнительной кинетической энергии, которой обладают состояния над поверхностью Ферми. Однако при наличии взаимодействия мы можем получить состояние и с меньшей энергией, чем нормальное. [c.558]

Рассмотрим теперь низко лежащие возбужденные состояния системы. Возбуждение основного состояния в простейшем случае связано с выходом одной частицы из сферы Ферми наружу, причем все это — в импульсном пространстве (рис. 40) (более сложные возбуждения связаны с комбинациями таких переходов, мы их не будем рассматривать). При этом, как это хорофо видно на рис. 40, возникает пара частица вне заполненной сферы Ферми и вакантное место внутри нее, которая на фоне отрицательно заряженных электронов, заполняющих сферу ферми, ведет себя как положительная частица с противоположно направленным спином (по отношению к вылетевшей частице) и которая называется дыркой (не будем придавать этому установившемуся термину обидного значения). В отличие от релятивистской теории Дирака (Р. Dira , 1928-1930), откуда мы заимствовали терминологию, между частичными и дырочными состояниями (в теории Дирака — между электронами и позитронами) нет энергетического барьера 2гас , и дырочные состояния не простираются до минус бесконечности по энергиям, но вблизи поверхности Ферми, ситуация с образованием [c.153]

Мы видим, что однозначной зависимости этой энергии от импульса q нет (за исключением тривиального случая, тогда р -+ О, т.е. в системе имеется только частица с р = О, и , = q / 2m)), так как разные частицы с разными импульсами р могут в результате такого возбуждения покидать заполненную сферу Ферми. Поэтому определим область возможных значений Epq, для чего зафиксируем q и определим максимальное и минимальное значения Ерд по отношению к р. Эта процедура элементарна сначала максимум или минимум по OSI = щ/ipq) (т.е. osi = -ь1, OSI = -1), потом максимум по модулю р (т.е. р = Pf)- Имеем [c.154]

Однако, Е х) не совпадает с -ца х), так как при малых, но конечных значениях х система атомов Не образует ферми-систему, подчиняющуюся принципу Паулй, и внести новую частицу в систему мы можем, лишь поместив ее на поверхности уже заполненной сферы Ферми. Поэтому с учетом энергии Ферми ер х) х имеем [c.179]

Наибольшее изменение энергии электрона при взаимодействии с фононом равно максимальной возможной энергии фонона. В теории Дебая максимальная энергия фонона равна /гв0 она мала по сравнению с Ер (например, для меди kaQIEp 4-10 ). Однако изменение волнового вектора электрона может быть относительно большим, так как максимальный волновой вектор фонона дп сравним с kp. В модели Дебая зона Бриллюэна для кристалла, состоящего из атомов, представляет собой сферу, содержащую N возможных значений д. Если у каждого атома имеется один свободный электрон, то ферми-сфера должна содержать N/2 значений k. Объем зоны Бриллюэна тогда вдвое больше объема ферми-сферы и отношение g lkp равно 2 - , как показано на фиг. 11.2. Максимальное изменение величины волнового вектора к в такой простой модели равно и, если [c.194]

В предыдущем разделе было показано, что гомогенная смесь обыкновенного урана с графитом не может поддерживать цепную реакцию. Тем не менее, хорошо известно, что комбинация этих составных частей может обеспечить развитие цепной реакции. Это Достигается помещением урана в форме металлических отливок (использовались как сферы, так и цилиндры) в виде решетки в графите. Согласно книге Смита (см. раздел 10 гл. И), бЬктрые нейтроны за время между их освобождением при делении урана и встречей с ядрами урана должны уменьшить свою скорость до значения меньшего, чем скорость, при которой очень велика вероятность захвата без деления . В действительности это описание функции решетки неполно. Более точное описание дано Ферми [См. русский перевод,—Успехи физич. наук. 32, 54(1947)] [c.276]

На рис. 10.38 показаны для иллюстрации поверхности Фермн для свободных электронов, построенные для трех металлов, имеющих ГЦК структуру меди (с одним валентным электроном), кальция (с двумя валентными электронами) и алюминия (с тремя). Поверхности Ферми изобрал ены для случая приве-денной зонной схемы. Поверхность Ферми для свободных электронов образуется из сфер радиуса kf, который имеет следующие значения [c.373]

Разрешенные состояния лежат иа цилиндрах в обратном пространстве, причем являются заполненными только в пределах ферми-сферы. Это иллюстрируется для свободного электронного газа для трех различных значений магнитного поля. Показано также квантование для эллипсоидальной фермн-поверхностн (поле по-прежнему направлено вертикально). [c.143]

В основном измеренные кинетические коэффициенты щелочных металлов хорошо согласуются с наблюдаемой сферичностью их поверхностей Ферми ), т. е. с предсказаниями теории свободных электронов. Однако бывает трудно приготовить образцы, в достаточной мере свободные от кристаллических дефектов, чтобы строго проверить это. Например, хотя измерения магнетосопротивления ясно показывают, что в щелочных металлах оно зависит от поля гораздо слабее, чем в других металлах, тем не менее до настоящего времени не удалось экспериментально убедиться в отсутствии зависимости этой величины от поля при больших СОсТ, как это должно иметь место при сферической поверхности Ферми. Кроме того, результаты ряда недавних экспериментов показывают, что значения постоянной Холла отличаются на несколько процентов от величины —Ппес, которая получается в теории свободных электронов (и которая должна наблюдаться в случае любой замкнутой поверхности Ферми, содержащей по одному электронному уровню на атом). Подобные расхождения привели некоторых исследователей к предположению, что электронная структура щелочных металлов в действительности может быть более сложной, чем описано выше соображения в пользу этого, однако, далеко не убедительны, и сейчас, когда мы пишем эту книгу, преобладает мнение, что поверхности Ферми щелочных металлов представляют собой почти точные сферы ). [c.287]

Купер рассмотрел задачу о двух электронах, иритяжение между которыми было бы слишком слабым для образования связанного состояния, если изолировать их от других электронов. Он, одпако, показал, что при наличии ферми-сферы ) принцип Паули приводит к радикальному изменению двухэлектронной задачи, и связанное состояние существует уже независимо от того, каким бы слабым ни было притяжение. Вычисления, проведенные Купером, показали, что для образования пары эффективное взаимодействие пе обязательно должно превышать некоторое минимальное значение. Кроме того, они позволили понять, почему температура сверхпроводящего перехода столь мала по сравнению с остальными характеристическими температурами твердого тела. Это следует из куперовского решения, приводящего к значению энергии связи, которое в случае слабого притяжения значительно меньше потенциальной энергии притяжения. [c.354]

В методе линейного отклика, однако, вполне однозначно выясняется смысл величины ]р, входящей в формулы (10.17) и (10.37) приближения ПСЭ. Как видно из определения (10.116), фермиев-ский ток (10.7) всегда пропорционален фермиевскому волновому вектору кр, даже если электронный спектр имеет мало общего со спектром свободных электронов. В формуле (10.122) это значение выделяется положением пика квази-б-функции (10.121) кр есть то значение к [, при котором к = %р. Для любой системы, спектр которой можно рассматривать как возмущенный спектр свободных электронов ( 10.4 и 10.5), по-прежнему допустимо использовать обычный прием с подсчетом числа к-состояний внутри ферми-сфери радиуса кр, и величина ]р в очень хорошем приближении дается формулой (10.7). Как следует из выражения [c.510]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...