Энтропия динамической системы

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Перейдем теперь к определению энтропии и размерности стохастического аттрактора. Прежде всего введем понятие топологической энтропии [380]. Топологическая энтропия динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, определяется следующим образом. Предположим, что мы можем различать точки фазового пространства, отстоящие друг от друга на расстояние, превышающее некоторую величину е > 0. Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из окрестности начальной точки радиуса е, т. е. в начальный момент не различимых. Число различимых траекторий в некоторый момент времени t обозначим N e, t). Топологической энтропией называется величина [c.229]

Энтропия разбиения, условная энтропия разбиения 2. Энтропия динамической системы. ....... [c.5]

Энтропия динамической системы [c.47]

В этом параграфе мы определим чисто формально энтропию динамической системы и для ряда простейших примеров приведем ее значение. Смысл понятия энтропии постепенна раскрывается в следующих параграфах и в части П. Начнем со> случая дискретного времени. Пусть Т — эндоморфизм пространства Лебега (Л1, Ji, ц), — измеримое разбиение. Положим [c.47]

Теорема 1,2. Энтропия динамической системы, отвечающей биллиарду внутри произвольного (не обязательно выпуклого) многогранника, равна нулю. [c.177]

Принцип максимума энтропии стационарного состояния динамической системы [c.40]

Принцип максимума энтропии стационарного состояния динамической системы под действием случайных сил приводит, как показано выше, к изопериметрической вариационной задаче. В качестве дополнительных условий выступают моментные соотношения, образующие в общем случае бесконечную связанную систему уравнений. Для. построения приближенного решения естественно использовать последовательность усеченных систем. [c.57]

Для каждого тп тем или иным способом можно вычислить размерность аттрактора и энтропию сконструированной динамической системы. Вначале с ростом тп размерность будет увеличиваться, а энтропия как-то изменяться, а затем они достигнут постоянных значений, которые можно принять за размерность и энтропию аттрактора исходной системы. [c.235]

В последней статье Р. Боуэн распространяет понятие топологической энтропии иа динамические системы с некомпактным фазовым пространством. Хотя исследуемая ситуация здесь более абстрактна и не предполагает гладкости, все же легко проследить связь результатов и методов с остальной частью сборника, например с 2 первой статьи. [c.7]

Сложность динамической системы и энтропия. Последовательность представляет собой экспериментальные данные о системе. Еслн в ней обнаруживается простая закономерность, например если оиа оказывается периодической, то мы не склонны считать изучаемую систему или по крайней мере траекторию "х случайной. Еслн же эта последовательность достаточно сложна и непредсказуема , то естественно приписать изучаемой системе случайные свойства. Разумеется, одна траектория и отвечающая ей запись показаний прибора ф(х) могут не быть достаточно представительными . Поэтому в расчет должны приниматься либо вся совокупность траекторий, либо особо примечательные траектории. Сначала мы рассмотрим первую возможность, стараясь охарактеризовать сложность системы, исходя из разнообразия ее запаса фазовых траекторий. [c.198]

Эта величина называется топологической энтропией отображения / Х Х. Введенная в [21], она интенсивно изучалась в последние годы. Обзор некоторых результатов в этом направлении см. в [А], а также в [9]. Предложенное в [1] определение квазислучайной динамической системы оказалось [6] эквивалентным неравенству Л(/ Х)>0. [c.199]

И можно оценить разнообразие запаса допустимых слов, а следовательно, и сложность динамической системы при помощи энтропии этого распределения [c.199]

Пусть динамическая система обладает свойством локальной неустойчивости с инкрементом v(/ , q), где аргументы обозначают координату точки в фазовом пространстве. Введем два масштаба в фазовом пространстве 1) область ДГ, характеризующую элемент фазового объема, по которому производится огрубление различных характеристик системы 2) область Г, определяющую характерный фазовый объем всей системы, или же область, на которой происходят медленные ( гидродинамические ) изменения характеристик системы. Тогда энтропия Колмогорова h может быть определена следующим образом [c.218]

Более обш 1м образом, рассмотрим гладкую компактную -мерную клетку в т-мерном компактном многообразии М, т. е. вложение замкнутого стандартного шара из в М, и вычислим экспоненциальную скорость роста объема его образов для данной гладкой динамической системы на М. Если она необратима, объем следует вычислять с учетом соответствующих кратностей. Взяв точную верхнюю грань по всем f -мерным клеткам, получим инвариант гладкого сопряжения, который дая фиксированного к, вообще говоря, не является инвариантом топологического сопряжения. Оказывается, что для С°°-отображений максимум этих чисел по f , О f т, равен топологической энтропии р]. [c.125]

Как мы увидим позднее, полезно обобщить понятие энтропии таким способом, чтобы получить целый спектр различных инвариантов, связанных с динамической системой. Мы сможем продемонстрировать одно из применений такого подхода — описание инвариантных гладких мер для гладких динамических систем. [c.623]

Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть (М, /X, (р) — динамическая система, а — конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия М. Энтропией а относительно ср называется число [c.44]

Теорема 12.24. Энтропия к (р) — инвариант динамической системы (М, (р). [c.47]

Для любого неотрицательного числа а существует абстрактная динамическая система, а именно — схема Бернулли, энтропия которой равна а. [c.48]

Мы видели пример 10.6), что все схемы Бернулли принадлежат к одному и тому же спектральному типу. Так как эти схемы могут иметь различные энтропии, а энтропия — инвариант, ясно, что существуют абстрактные динамические системы, которые не изоморфны, но принадлежат к одному и тому же спектральному типу. [c.48]

Следствие 12.40. Если ранг спектра динамической системы с чисто точечным спектром конечен, то такая система имеет нулевую энтропию. [c.53]

Все динамические системы (М, //, (рп) имеют нулевую энтропию. [c.144]

Структурные теоремы о динамических системах с положитель ной энтропией [c.5]

При применении этой процедуры особенно удобными оказываются оценки размерности аттрактора с помощью кoppeляциoннo o показателя v и метрической энтропии — с помощью энтропии Репьи второго порядка [478]. Для вычисления v на основе реализации одной из координат фазового пространства a (i) т онструи-руются описанным выше способом динамические системы разных размерностей тп и вычисляются корреляционные интегралы [c.235]

Замечание. Еще одио определение топологической энтропии можно получить, еслн мы будем оценивать разнообразие траекторий рассматриваемой динамической системы при помощи понятия 8-энтропии (подробнее см. [6]). Известно также, что асимптотические свойства е-энтропии связаны с хаусдорфовой размерностью пространства. В этой связи представляет интерес следующее утверждение. Пусть X — замкнутое подмножество в пространстве 2 односторонних т-ичных последовательностей, инвариантное относительно гомеоморфизма сдвига о. Обозначим через М образ X прн обычном отображения ф 2т- [О, определяемом равенством [c.200]

Сложность индивидуальных траекторий. Случайные траектории. Обе энтропии, о которых шла речь выше, харак теризуют сложность всей системы в целом. В противопо,гюж ность этому можно попытаться оценить сложность индивн дуальной траектории. Пусть, напрнмер, шп, п 0 —запис показаний нашего измерительного прибора вдоль некоторой полутраектории рассматриваемой динамической системы. Мо жем ли мы ответить на вопрос случайна эта последователь ность илн нет И сколь она сложна [c.200]

В дальнейшем предполагается, что поток ft Х- Х перемешивает. Гиббсовская мера цо, отвечающая функции ф s О, называется мерой максимальной энтропии. Эта мера единственна, и динамическая система (X, f/, fio) при каждом t метрически сопряжена сдвигу Бернуллн (см. [Б4], [37], [3]). Как и в случае дискретного времени, периодические траектории потока [X,fi) равномерно распределены относительно меры Но, а топологичеекая энтропия вычисляется через асимптотику их числа. [c.234]

Б5. Боуэн Р., Подкова положительной меры, настоящий сб.. стр. 178—18С Б6. Боуэн Р., Топологическая энтропия для нгкомпак]ных множеств, стоящий сб., стр. 181—195. где. Гладкие динамические системы, Девятая летняя ыатематипсская шко ла, Киев, Наукова Думка , 1976, стр. 50—341. [c.238]

Такие системы называются слабо изоморфными. Мы, однако, в дальнейшем будем всюду пользоваться термином изоморф-ность вместо термина слабая изоморфность . Итак, изоморфные динамические системы имеют одинаковую энтропию. В действительности для реальных динамических систем понятие пза-морфностп нуждается еще в ряде уточнений, которые мы сделаем позже. [c.35]

Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А —> В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14]

Топологическая энтропия, которую мы ввели в 3.1, на самом деле была определена позже метрической энтропии. Метрическая энтропия представляет собой количественную меру сложности динамической системы относительно данной инвариантной меры. Топологическая энтропия была определена в результате извлечения из той же самой концепции некоторого инварианта топологической динамики. Хотя между определениями этих понятии имеется определенное сходство, отсутствие естественного размера множеств в топологической динамике приводит к появлению ряда различий между ними. В частности, метрическая энтропия объединения двух инвариантных множеств согласно предложению 4.3.16 равна сумме энтропий инвариантных множеств, домноженных на их меры, в то время как для топологической энтропии энтропия объединения равна максимуму энтропий компонент по второму утверждению предложения 3.1.7. Таким образом, топологическая энтропия измеряет максимальную динамическую сложность, тогда как метрическая энтропия отражает среднюю сложность системы. Следовательно, можно ожидать, что метрическая энтропия никогда не превосходит топологической. Кроме того, меры, присваивающие большие веса областям более высокой сложности, должны иметь метрическую энтропию, близкую к топологической энтропии. Это на самом деле так, т. е. топологическая энтропия — точная верхняя грань метрических энтропий. [c.188]

Символическая динамическая система (см. определение 1.9.2) называется софи-ческой, если она является фактором топологической цепи Маркова. Докажите, что каждая топологически транзитивная софическая система обладает единственной мерой максимальной энтропии. [c.623]

Следствие 12.39. Существуют абстракные динамические системы, не изоморфные классическим. Энтропия таких систем бесконечна, например, бесконечная схема Бернулли [c.53]

Энтропия и аппроксимация динамической системы с периодическим отображением, Функ, анализ и его прилож., 1967, 1, №1, с. 75-85. [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...