Размерность стохастических множеств

Размерность стохастических множеств 489 [c.489]

Размерность стохастических множеств [c.489]

Как мы уже говорили в начале главы, размерность стохастического множества гамильтоновой системы совпадает с размерностью фазового пространства исходной системы. Размерность же стохастических аттракторов может быть существенно меньше размерности фазового пространства исследуемой диссипативной системы. Именно это проясняет ответ на вопрос почему и очень простая система, например нелинейный осциллятор с трением, возбуждаемый периодической силой, и очень сложная, например гидродинамическое течение в ячейке (см. 23.2), демонстрируют одни и те же свойства перехода. [c.489]

С физической точки зрения представляется важным нахождение связи между размерностью стохастического множества и значением параметра, характеризующего степень неравновесности системы (например, числа Рейнольдса в гидродинамике). Однако пока что на этот счет имеются лишь предварительные, весьма завышенные оценки. [c.490]

Таким образом, любая диссипативная система, размерность стохастического множества которой больше или равна двум, должна демонстрировать переходы к стохастичности, которые описываются в [c.490]

Таким образом, стохастическое множество в диссипативной системе — это замкнутое притягивающее множество траектории, на котором все принадлежащие ему траектории неустойчивы. Такое множество называют странным аттрактором [34, 35]. Размерность странного аттрактора всегда меньше размерности фазового пространства. [c.464]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Мы уже говорили, что на стохастическом множестве все траектории должны быть неустойчивы. Они не могут быть неустойчивы одновременно по всем направлениям — это приведет к безграничному росту объема, т. е. аттрактор перестанет быть аттрактором располагающиеся внутри ограниченного фазового объема неустойчивые траектории могут быть только седловыми — они неустойчивы по одним направлениям и устойчивы по другим (причем эти направления вдоль траектории могут меняться). Скорость разбегания траектории по каждому из направлений характеризуется средним по траектории положительным ляпуновским показателем Xj j = 1, 2,. .., в, где 8 — число неустойчивых направлений), скорость сближения траекторий — отрицательными показателями (з < j п, где п — размерность фазового пространства). Напомним (см. гл. 15), что величина Х равна среднему по траектории значению 1п[/(г)//(0)], где /(0) и 1 т) — расстояния от возмущенной траектории до исходной и моменты времени О и г соответственно (рис. 22.22). [c.489]

Наличие у порового пространства множества размерностей является отражением его сложной структуры. Известно, насколько непросто описать поровое пространство стохастических материалов, используя в качестве параметра пористость. Приходится вводить несколько структурных уровней, как правило, два—три. [c.276]

В 1970 г. В. В, Болотиным предложена математическая модель процесса разрушения [15, 16] композитных материалов со случайной структурой. Разрушение трактуется как случайный процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Существенным элементом теории является моделирование процесса распространения макроскопической трещины как случайного процесса. Рассматривается вопрос о выборе пространства состояний и о разумном сокращении размерности этого пространства, о связи между переходными вероятностями и функциями распределения локальной прочности. Экспериментальная проверка теории на основе стохастической модели проведена на примере изучения процесса разрушения армированных пластиков. [c.267]

Для количествеппого описания стохастических и хаотических движений используют такие понятия, как распределение вероятностей, корреляционная функция, спектральная плотность, ля-пуновские показатели, размерность и энтропия стохастического множества. Некоторые из этих величин легко измерить экспериментально (например, спектральную нлотность), другие можно определить только па основе численного анализа. В ряде случаев указанные величины удается вычислить аналитически. [c.217]

Расположим показатели в порядке убывания Л1 > Лг >. .. > Л . Тогда характеристику стохастического множества, называемую размерностью, определим так [30] В = т + (1, где Л1- -... - -Ат 1 > О, Л1 А, < О, а с определяется из ра- [c.490]

Величина В характеризует и близость странного аттрактора в слабодиссипативной системе к стохастическому множеству соответствующей гамильтоновой системы. Такая близость, в том числе и по статистическим характеристикам, имеет место, когда В < п п — размерность фазового пространства). [c.491]

Численное исследование этой системы удобно проводить с помощью построения отображения Пуанкаре точек секущий плоскости t = onst в себя через период То = 2тг/0 (см. гл. 15). Напомним, что устойчивому периодическому движению с периодом NTq на секущий плоскости XX соответствует N точек. Стохастическому множеству в фазовом пространстве xxt уравнения (22.22) на секущей плоскости отвечает сложное множество точек. При к > О это — аттрактор. На рис. 22.23 представлены фазовые портреты на секущей одного из таких аттракторов (при к = 0,12, 6 = 25) и стохастического множества гамильтоновой системы (к = О, Ь = 25). Размерность аттракто- [c.491]

Все множество гомоклинических точек назовем гомоклинической структурой . Различные системы имеют топологически эквивалентные гомоклинические структуры , если совпадают их системы гиперболических точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает гомоклиииче-ская структура , порожденная очень большим числом гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью и с большим числом сильно перекрытых ( Г>1) резонансов являются изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним, что при К> мера островков устойчивости, которые могли бы внести некоторое разнообразие в стохастическую динамику, очень мала ( 1/Ю. Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что все физические спстемы с одинаковым числом степеней свободы в той области фазового пространства, в которой 1 и реализуется тем самым быстрое перемешивание, являются изоморфными Г-спстемами (ком. 5). [c.101]

В диссипативных системах дело обстоит иначе. В фазовой пространстве имеется некоторое предельное и инвариантное множество состояний, к которым притягиваются все траектории фазовой капли. Поэтому асимптотически при (->-оо движение системы происходит на этой предельном множестве. Хаотическое движение в диссипативных системах также реализуется на этом множестве, которое имеет хаусдорфову размерность, меньшую чем размерность всего фазового пространства (подробнее об этом си. ниже). Это предельное притягивающее множество, возникающее при стохастическом движении диссипативных систем, было названо странный аттрактором [202]. В гамильтоновом случае имеет место некоторая предельная ситуация, в которой странным аттрактором является все фазовое пространство (это будет доказано позже). [c.251]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...