Стохастические и хаотические аттракторы

СТОХАСТИЧЕСКИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ АТТРАКТОРЫ [c.124]

Дальнейшее имеет целью развитие этих простых соображений и их приложение к вопросам возникновения хаотических и стохастических движений и аттракторов как их геометрических образов в фазовом пространстве. [c.127]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Уравнение Дуффинга (70) при = О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При <5 > О уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при <5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность [c.816]

С другой стороны, определения аттрактора даются так, чтобы обеспечить хаотичность поведения траекторий на нем (и, может быть, возле него). Так возникают гиперболический, стохастический и другие аттракторы [100], [101], [198]. Неизвестно, однако, типичны ли системы с хаотическим поведением траекторий на аттракторе в классе систем, атракторы которых не состоят из конечного числа точек и циклов. [c.156]

В предыдущей главе были рассмотрены простейшие тпповыв ситуации, приводящие к существованию сложных нетривиальных сеДловых инвариантных множеств /. Если такое сложное инвариаптное множество / еще и притягивающее, то оно — странный аттрактор, обладающий свойством локальной неустойчивости, по устойчивый в целом. Наряду с таким статическим изучением сложных седловых множеств / представляют интерес и исследования, выясняющие, как они возникают в динамике — при изменении параметров. Сочетание статического и динамического подходов позволяет не только полнее исследовать стохастические и хаотические движешя, но во многих случаях облегчает их обнаружение и изучение. [c.162]

Доказательство этого утверждения требует достаточно сложной математической техники, и поэтому мы не будем приводить его в этой книге. Поясним лишь смысл понятия гиперболическое множество , не давая его строгого математического определения. Грубо говоря, гиперболическое множество - это странный аттрактор, т.е. некоторое замкнутое инвариантное по отношению к сдвигу по времени подмножество фазового пространства, не содержащее стационарных тгочек (положений равновесия). Изображающая точка, двигаясь по гиперболическому множеству, описывает траектории, которые могут быть названы стохастическими или хаотическими. Следовательно, если некоторая динамическая система обладает гиперболическим множеством, то у нее существуют 286 [c.286]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Возможность существования такого сложного негрубого притягивающего множества, как аттрактор Лоренца, вызвала огромный резонанс как в математике, так и в приложениях. Еще до появления уравнений Лоренца были известны хаотические , стохастические колебания в системах, описываемых точными уравнениями без всякого присутствия вероятностных добавлений. Впервые такие движения были обнаружены в точно математически описанной модели часов, данной Н. Н. Баутиным ([12, 35 ]). Как оказалось, так называемый пичковый режим в лазере описывается теми же уравнениями Лоренца ([58 ]). [c.471]

В диссипативных системах дело обстоит иначе. В фазовой пространстве имеется некоторое предельное и инвариантное множество состояний, к которым притягиваются все траектории фазовой капли. Поэтому асимптотически при (->-оо движение системы происходит на этой предельном множестве. Хаотическое движение в диссипативных системах также реализуется на этом множестве, которое имеет хаусдорфову размерность, меньшую чем размерность всего фазового пространства (подробнее об этом си. ниже). Это предельное притягивающее множество, возникающее при стохастическом движении диссипативных систем, было названо странный аттрактором [202]. В гамильтоновом случае имеет место некоторая предельная ситуация, в которой странным аттрактором является все фазовое пространство (это будет доказано позже). [c.251]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...