Интеграл уравнения в частных производных общий

Импульсов пространство 38 Импульсы обобщенные 33 Интеграл уравнения в частных производных общий 73 ----особый 74 [c.153]

Задача определения общего интеграла канонических уравнений Гамильтона сводится теперь к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.482]

Система уравнений возмущенного движения упрощается в том случае, когда решение (1.3) вспомогательной системы уравнений (1.2) представляет каноническое преобразование величин а ,, Рд, в д,, р . Это будет иметь место, как говорилось в гл. 10, в двух случаях во-первых, когда решение (1.3) представляет интеграл Коши для системы дифференциальных уравнений (1.2), то есть а , —начальные значения переменных д , р во-вторых, когда решение (1.3) представляет общий интеграл канонической системы (1.2), полученный из полного интеграла уравнения в частных производных Якоби — Г амильтона. [c.563]

Очевидно, что утверждение (i) нельзя рассматривать как результат, который можно было бы практически использовать для интегрирования системы, поскольку полный интеграл уравнения в частных производных (5) найти едва ли легче, чем общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (li) ). Поэтому фактическая ценность результата заключается не [c.101]

Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка получается стандартным способом. Составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений [c.493]

Общий интеграл этого уравнения в частных производных первого порядка есть произвольная функция от разности i — т этим и доказывается равенство (17.1.3). [c.577]

Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую горстку решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название полный интеграл ). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем [c.157]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. Такое решение называется общим интегралом этого уравнения. Однако в приложениях к решению задач механики главную роль играет не общий, а полный интеграл уравнения (7). Полным интегралом уравнения (7) называется его решение , ), завися- [c.359]

При заданных граничных условиях, согласно общему методу решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение (4.5) легко представляется с помощью интеграла Пуассона. Учтем еще, что, как следует из рис. 4.1, лазерный импульс после отражения от зеркала вторично проходит через усилитель, так что эффективная длина усиливающей [c.138]

Уже в 30-е годы было начато изучение устойчивости более общих систем, чем у Ляпунова, что соответствует переходу от пространств конечного числа измерений с евклидовой метрикой к пространствам бесконечно большого числа измерений и метрикой общего характера. Эти исследования были продолжены и значительно продвинуты за последние два десятилетия с широким использованием методов функционального анализа. Переход к пространствам бесконечного числа измерений и общим метрикам дал возможность расширить теорию устойчивости на механические системы, описываемые не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а бесконечными системами конечноразностных уравнений, уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом, уравнениями в частных производных и интегро-дифференциальными уравнениями и т. д. Такие системы все чаще встречаются в технике и физике, в теории устойчивости их удельный вес, несомненно, будет расти. Для таких систем подход к проблеме устойчивости в духе Ляпунова имеет особое значение, потому что для них весьма важен правильный учет начальных возмущений и распределение решений по типам и классам в зависимости от начальных условий. Опыт показывает, что здесь встречается гораздо большее разнообразие зон начальных условий, которым соответствуют разные по характеру решения, т. е. разное поведение физической системы. [c.132]

Таким образом, если надо приближенно найти полный интеграл уравнения этого вида, то можно составить уравнения Гамильтона с функцией Я(р, q, О и применить численное интегрирование. В общей теории уравнений в частных производных интегральные кривые соответствующих уравнений Г амильтона называются характеристиками. [c.341]

При таком выборе переменных уравнения движения, когда активные силы потенциальны, записываются в весьма симметричной и компактной форме, называемой канонической это облегчает исследование общих свойств движения и допускает сведение задачи интегрирования канонических уравнений к разысканию полного интеграла некоторого уравнения в частных производных первого порядка (теорема Якоби). Переменные являются независимыми и симметрично входят [c.503]

Тп—1 ( 1 Хг> > Х ) — С 5 ТО общий интеграл данного уравнения в частных производных выразится равенством [c.174]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Таким образом, в общем случае имеем для определения функции V или функции 5 дифференциальное уравнение в частных производных. Это уравнение допускает много решений, но Гамильтон [c.359]

Это — линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функции ш. Соответствующая ему система в полных производных — система (1.3). Согласно известному правилу, общий интеграл уравнения (4.4) есть произвольная функция всех интегралов уравиений системы (1.3). Таким образом, [c.180]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Частные производные 1па по натуральным логарифмам соответствующих переменных заменим величинами 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 . Эти величины в общем случае переменные, но при интегрировании уравнения (а) их можно вынести за знак интеграла в виде средних величин. [c.107]

Функция у (х, с,,..., С ), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка г(х, у, у, ..., v< )) = О и зависящая от п произвольных постоянных l,..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (v, у. С,,..., С ) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены. если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении Xq независимой переменной X заданы значения функции и её производных JV, ..з д(п —1). Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения п-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных. [c.224]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

Приходим к теореме Якоби задача разыскания общего интеграла канонической системы уравнений (4) эквивалентна задаче построения полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби (6), т. е, решения его, содержащего п произвольных постоянных и удовлетворяющего условию необращения в нуль якобиана (8). Зная этот полный интеграл, находим общий интеграл канонической системы, решив составляемую по нему систему конечных уравнений (9). [c.537]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Если в само уравнение в частных производных не входит функция S (как это имеет место в уравнении Гал1ильтона — Якоби), то число существенно различных произвольных постоянных на единицу меньше, т. е. равно /г — 1 [7]. Якоби доказал, что нахождение общего интеграла канонической системы (1) эквивалентно нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (38). Это утверждение известно под названием [c.201]

Мы видели, что самый общий интеграл дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего типов (37.54) выражается через jMMy двух произвольных функций, аргументами которых являются [c.620]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Общим интегралом уравнения в частных производных первого порядка с п независимыми переменными называется решение этого уравнения, содержащее некоторую произвольную функцию от — 1 переменных. Общий интеграл м.ожно найти из полного интеграла следующим образом. [c.73]

В 1 главы V была упомянута идея Гамильтона, заключающаяся в установлении родства между общим решением канонической системы дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных производных первого порядка. Якоби, развивая эту глубокую идею Гамильтона, создал метод интегрирования канонической системы уравнений, показав, что если известно решение (именно, полный интеграл) одного уравнения в частных производных первого порядка, то общее решение канонической системы находится диффере1щированием полного интеграла по [c.323]

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона—Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [c.297]

Этот интеграл уравиениГ движений имеет общее значение для тех спиралевидных движений, которые рассматривал Гамель и другие авторы. В частном случае этих движений — плоском потоке вязкой несжимаемой жидкости между двумя прямолинейными, ие параллельными друг другу стенкаыи, из предыдущего интеграла и условия равенства нулю Уе на стенках следует, что = О во всем потоке. Задача приводится к рассмотрению потока в сходящемся к началу координат (конфузориому) или расходящемуся из начала координат (диффузор-ному) канале. Решение ее простыми преобразованиями сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих — производная по е) [c.535]

Поскольку правая часть уравнения (10.4) содержит производ- ную от U по X 2-го порядка и функция Fi зависит не только от Уц V2,. . ., Vl, но и от лишних переменных Vi+y и Vi+ , уравнение v (10.5) не является замкнутым. Это ведет к тому, что статисти-ческие свойства системы можно определить, лишь зная функцию P t, X, и, Vl, v ,. ..) =

зависящую от всей бесконечной совокупности переменных fj . Интересующее нас распределение P t, х) выражается, очевидно, через распределение P t, X, и, Vl, l a,. ..), проинтегрированное по переменным и, Vl, l a,. .., т. е. выражается через бесконечномерный или континуальный интеграл. Именно это обстоятельство затрудняет использование стохастического уравнения Лиувилля в i частных производных для вероятностного описания распреде- ленных систем вида (10.4) и более общих, содержащих в F за- J висимость от У/ с i = 2, 3,. .. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...