Дуальные тензоры

Здесь = /4)E v).pf —дуальный тензор напряжённости полей Янга — Миллса в евклидовом пространстве Г — область интегрирования. Условие конечности действия (12) влечёт при l.xj-tx , т,е. вдоль всей границы с Г [c.134]

Величины Яд (4.83) являются компонентами аксиального вектора, дуального тензору Яцv- Если имеет вид [c.88]

Аналогично вектор, дуальный тензору [c.89]

Кроме того, если Р к и Я — псевдотензоры, дуальные тензорам и 1см. (4.111), (4.112)1, то мы можем образовать два псевдовектора [c.153]

Псевдотензоры. Дуальные тензоры [c.219]

ЗАМЕЧАНИЕ В обычном трехмерном виде обе пары уравнений Максвелла очень похожи по форме. В нашей записи (51.1) не имеет внешне ничего общего с (51.2), однако эта симметрия формы восстанавливается, если перейти в одном из уравнений к дуальному тензору поля (42 ) (51.1 ) очень напоминает (51.2). i [c.215]

Выпишем еще и матрицу дуального тензора поля Р ((42 )) [c.220]

Этот множитель г в Рц не случаен. Если прибегнуть к вещественной системе координат, та он скажется в том, что квадрат операции образования дуального тензора той же вариантности будет равен —1. [c.220]

Тот же самый результат можно было бы получить, повторяя рассуждения, использованные при выводе трехмерного вида второй пары, в применении к дуальному тензору поля Fl (42 ). [c.224]

Специальное замечание следует сделать о компонентах единичного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти компоненты представляют собой скалярные произведения векторов естественного и дуального к нему базисов. [c.26]

При использовании ортогональных координатных систем часто оказывается полезным рассмотреть физические компоненты векторов и тензоров. Так называются их компоненты относительно, ортогонального базиса, образованного векторами, имеющими те же самые направления, что и векторы естественного базиса (который, кроме того, совпадает с дуальным). [c.79]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Правый нижний индекс Г обозначает частную производную по Тензор является дуальным к и его компоненты удовлетворяют соотношению [c.130]

В трехмерном пространстве аналогичным образом с помощью (9.74 ) находим следующие соотношения между дивергенцией и ротором антисимметрического тензора Яцv и его дуальным аксиальным вектором Н [c.241]

Здесь нужно отметить, что величины s, с и т п) аксиальные, поэтому тензор m аксиальный по своему второму индексу. Следовательно, уравнение (2.4.25) можно записать в дуальной форме через дуальные величины [c.103]

Диссипация энергии при протекании тока определяется лишь симметричной частью тензора проводимости jE = а р а р. Таким же образом можно разложить и обратный тензор Pap = aap на симметричную часть и антисимметричную часть, дуальную аксиальному вектору Ь. Тогда Е выразится через j формулой [c.431]

В трехмерном пространстве с помощью дискриминантного тензора можно было построить из всякого антисимметричного тензора второго ранга псевдотензор первого ранга —псевдовектор (или аксиальный вектор). В четырехмерном пространстве мы приходим на этом пути к тому, что всякому антисимметричному тензору второго ранга Аш можно сопоставить дуальный ему антисимметричный псевдотензор второго ранга [c.167]

Вместо антисимметричного тензора третьего ранга всегда удобнее использовать дуальный ему (звездочку здесь писать не принято) [c.168]

Первая же пара уравнений Максвелла фактически уже была неявно введена нами, когда мы определили тензор поля (иногда говорят просто поле) Fih как 4-ротор потенциала В самом деле, введем псевдотензор Fh, дуальный Fik. [c.214]

В й-мерном евклидовом (псевдоевклидовом) пространстве, где при помощи метрпч. тензора можно поднимать тензорные индексы, для впешних Д. ф. определяется операция перехода к дуальным Д. ф. (см. также Дуальные тензоры) [c.683]

Обозначение е г ло- закреплено за стандартным антисимметри-ческим тензором ранга 4. Антисимметричность означает, что его компоненты меняют знак при перестановке любой пары индексов, кроме того, ео123 = 1- Рангом называется число индексов тензора. В этих обозначениях форма объема равна дУ = = Л Л с1х Л йх . Дуальным тензором называется [c.23]

С четырехмерной точки зрения образование величин F и F означает переход от взаимно дуальных тензоров Fи Fк самодуальиому и аптисамоду-альному, каждому из которых соответствует один трехмерный вектор, — мы уже говорили, что в псевдоевклидовом случае он обязательно комплексен. [c.225]

Метод С. Г. Кислицына отличается применением тензорноматричных преобразований систем координат, причем в этом случае находят применение тензоры простейшей структуры — винтовые аффиноры, матрицы которых имеют дуальные элементы (см. гл. 10). [c.191]

ЕС.1И1 вместо антисимметричного тензора второго ранга ввести дуальный ему аксиальный вектор гиращш g, согласно соотношению где — полностью антисим- [c.513]

Антнсимметрическому тензору третьего ранга можно поставить в соответствие дуальный псевдотензор первого ранга, т. е. псевдовектор. Для тензора [c.90]

Наконец, псевдотензор, дуальный антнсимметрическому тензору четвертого ранга, является псевдоскаляром. Для тензора [c.90]

Пространственная часть этого тензора vViy.v в соответствии с (4.101) дуальна к аксиальному вектору [c.128]

Как и в 4.12, мы можем теперь, используя псевдотензор (9.48), с каждым антисиммел рическим тензором ранга пг5 4 связать дуальный псевдотензор ранга (4 — п). Следовательно, если — контравариантные компоненты антисимметрического тензора, то ковариантные и контравариантные компоненты дуального псевдотензора определяются соотношениями [c.219]

Теперь ковариантные и контравариантные компоненты аксиального вектора Н, дуального к антнсимметрическому тензору Я(и> равны [c.222]

Все рассмотренные здесь ковариантные операции можно применить также и к псевдотензор ным полям. В результате получаются псевдотензорные поля меньшего или большего ранга. Ротор антисимметрического тензора является тензором, дуальным к дивергенции псевдотензорного поля [c.241]

Таким образом, компоненты являются четными, а —нечетными функциями В. Вместо антисимметричногю тензора аар можно ввести дуальный ему аксиальный вектор а по определению [c.431]

Наконец, полностью антисимметричному тензору четвертого ранга Агыт, имеющему только одну существенную компоненту, можно сопоставить дуальный псевдотензор нулевого ранга — как говорят, псевдоскаляр, величину, не меняющуюся при собственных преобразованиях Лоренца, но меняющую знак при отражении, — [c.167]

ЗАМЕЧАНИЕ Мы назначили не равным нулю компонентам дискриминантного тензора значения 1, между тем номер каждой такой компоненты содержит одну четверку — т. е. мы нарушили наше правило о распределении вещественных и мнимых компонент в тензорах. Из-за этого все дуальные величины будут иметь распределение вещественных и мнимых ко.мпонент, противоположное нормальному — т. е. будут вк. ночать лишний множитель 1. I [c.167]

Элементом интегрирования по четырехмерному многообразию— 4-объему — будет по общему правилу антисьтимет-ричный тензор четвертого ранга du M, образованный в виде аналогичного (13.1) и (13.2) детерминанта четвертого порядка из компонент четырех независимых смещений. При его раскрытии мы получили бы 4 = 24 члена, отличающихся лишь порядком расстановки индексов и соответствующими знаками. При образовании дуального элемента число этих членов опять сократится с нормирующим множителем из (12.3), и мы получим [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...