Гиперболические множества гладких отображений

Гиперболические множества гладких отображений [c.523]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 525 [c.525]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 527 [c.527]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

Как и в случае обратимых отображений окружности, которыми мы занимались в гл. 11 и 12, для отображений отрезка требование дифференцируемости позволяет уточнить ряд результатов относительно структуры орбит. В отличие от гл. 12, где главной темой была сопряженность с принципиально негиперболической моделью — отображением поворота, — здесь главная новая особенность, которая выделяет гладкий случай, — присутствие гиперболических множеств в смысле определения из 6.4. [c.522]

Замечание. Очевидно, предшествующий результат применим и к устойчивому распределению, если рассматривать отображение вместо /. В частности, отсюда мы видим, что устойчивые и неустойчивые распределения гиперболического множества на двумерном многообразии всегда С -гладки. [c.608]

Отвлекаясь на минуту в сторону, сформулирую часть теоремы Купки—Смейла для необратимых каскадов. В пространств стве гладких отображений М на себя, снабженном С -топологи ей, типичны (т. е. образуют множество второй категории) отображения, у которых периодические точки не имеют нулевых собственных значений и являются гиперболическими (в том же смысле, что и раньше).) [c.181]

Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А —> В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14]

Вернемся к конструкции 1.7. В ходе доказательства предложения 1.7.2 мы в явном виде построили полусопряжение одностороннего 2-сдвига с отображением Е (см. (1.7.2)). Таким образом, Е2 является фактором сдвига. Эта конструкция, очевидно, обобщается на и Е для произвольного А , [А I > 1, и по теореме 2.4.6 мы можем заменить Е произвольным растягивающим отображением окружности степени к. Необратимость этого полусопряжения возникает из-за того, что любое двоично-рациональное число тп/2 имеет два различных двоичных представления, с нулями либо с единицами в конце. Полусопряжение к 5, сопоставляющее последовательности нулей и единиц ш число между О и 1, двоичное разложение которого задается последовательностью ш, очевидно, не является гомеоморфизмом это полусопряжение имеет счетное плотное множество точек, в которых оно перестает быть инъекцией. Это самый простой случай естественной полусопряженности между символической и гладкой системами. Другой, не столь самоочевидный случай, связанный с гиперболическими автоморфизмами двумерного тора, будет обсуждаться в следующем параграфе. [c.89]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Т и —гладкое многообразие. Нетрудно вндеть, что М представляет собой двумерную сферу с четырьмя дырками (упражнение 17.2.1). Поскольку f(—x) = -f x), мы получаем индуцированное отображение / М —уМ, которое дифференцируемо и инъективно. Заполняя S M четырьмя отталкивающими точками (одной неподвижной и тремя периодическими точками периода три), получаем диффеоморфизм / 5 5 с гиперболическим аттрактором (получающимся при проектировании множества А на М). Это и есть аттрактор Плыкина р]. [c.541]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...