Гладкие отображения отрезка

Инвариантная мера оказывается абсолютно непрерывной относительно меры Лебега также для растягивающих кусочно-гладких отображений отрезка в себя (см. [И], [45]). [c.236]

ГЛАВА 16 ГЛАДКИЕ отображения ОТРЕЗКА [c.522]

В этом параграфе мы докажем, что вдали от критических точек любые гладкие отображения отрезка обладают существенно гиперболическим поведением. [c.523]

Часть 3. Гл. 16. ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОТРЕЗКА [c.524]

Т отрезок кривой у перейдет в отрезок кривой у с уравнением V = v "9 (к "и). При возрастании т в зависимости от того, однозначна функция <р или многозначна, возможны два разных случая. В первом случае последовательные отображения отрезка у составляют гладкую кривую, входящую в точку Oj, касающуюся оси t = О (рис. 7.108). [c.363]

Нелокальные бифуркации на сфере однопараметрический случай. Начнем с определений. Пусть М — двумерная замкнутая гладкая поверхность, —множество С -гладких семейств -гладких векторных полей на М это множество состоит из С -отображений отрезка /=[0, 1]Эе в пространство уЛ(М). Семейство типично, если оно принадлежит множеству второй категории Бэра в [c.99]

Как и в случае обратимых отображений окружности, которыми мы занимались в гл. 11 и 12, для отображений отрезка требование дифференцируемости позволяет уточнить ряд результатов относительно структуры орбит. В отличие от гл. 12, где главной темой была сопряженность с принципиально негиперболической моделью — отображением поворота, — здесь главная новая особенность, которая выделяет гладкий случай, — присутствие гиперболических множеств в смысле определения из 6.4. [c.522]

Убедиться, что растягивающее отображение отрезка в себя имеет счетное множество неустойчивых периодических точек, проще всего, построив последовательные итерации этого отображения (рис. 22.76) при двукратном применении отображения неподвижных точек будет уже четыре, при трехкратном — 2 и т. д. По этому поводу имеются математические теоремы, из которых, в частности, следует, что если непрерывное (в том числе и не гладкое) растягивающее отображение отрезка в себя имеет цикл периода три, то оно имеет цикл с любым периодом [8]. Известно [9], что задаваемые (22.4) последовательности нулей и единиц будут периодическими лишь для множества рациональных чисел, а для почти всех иррациональных, т. е. большинства точек отрезка (О, 1), эта последовательность будет случайной в том же смысле, что и последовательность выпадения орла или решки в классическом вероятностном эксперименте с подбрасыванием монеты. [c.468]

Рассмотрим сначала отображение плоского потенциального течения в плоскость Л/3. Так как образ характеристики представляет собой отрезок гладкой кривой — эпициклоиды, то характеристика в плоскости Л/3 — связное объединение отрезков эпициклоиды, в общем случае налегающих друг на друга. Граничные точки налегающих соседних отрезков — [c.34]

Мы видели, что отображения возвращения на трансверсали для сохраняющих меры потоков изоморфны перекладываниям отрезков. Существует конструкция, показывающая, что по крайней мере в ориентируемом случае любое перекладывание отрезков получается таким образом, т. е. для любого ориентируемого перекладывания отрезков (см. определение 14.5.1) существуют компактная ориентируемая поверхность М, гладкий сохраняющий площадь поток р с конечным числом неподвижных точек седлового типа и такая трансверсаль т, что отображение возвращения для потока р на г гладко сопряжено с Таким образом, в этом смысле данные теории эквивалентны. [c.485]

Под гладкостью здесь понимается наличие достаточного числа непрерывных производных, причем предполагается, что производные функций /г, g по пространственным координатам кусочнонепрерывны по t, как отображения отрезка [0, Т в пространство непрерывных функций. Тогда решение — гладкое в области и Да, где Да — круг радиуса 3, с центром в точке Хц, значение с1 произвольно. Выберем <1 так, чтобы Даа С V. [c.149]

Метод фундаментальной области, используемый в 2.1 для доказательства структурной устойчивости отображений отрезка с притягивающей и отталкивающей точками на концах, а также для описания модулей гладкого сопряжения. См. также упражнения 2.1.1, 2.1.3 (пункт второй), 2.3.3 и 2.3.4. Этот метод применим к некоторым системам с сильно диссипативным поведением, т. е. к системам, для которых большинство орбит не возвращаются и можно найти хорошие фундаментальные области действия. Метод имеет приложения и в многомерных ситуациях, например при доказательстве теоремы Хартмана — Гробмана 6.3.1 и в методе клина Стернберга, который мы используем в п. 6.6 г, чтобы получить новое доказательство теоремы 6.6.6. Однако этот метод не может использоваться для систем с нетривиальным возвращением (см. обсуждение в конце 3.3). [c.103]

Рис. 22.6. Невзаимнооднозначное отображение отрезка в себя а — растягивающее кусочно-линейное б — гладкое

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягиваюших отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [О, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой 73с = Рг(/(л )), 0<л<1, Где /—достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [О, 1 ] и удовлетворяющая условиям /(0)=0, /(1)—целое число ч/ (х) Х>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная Г-инвариантная мера ц с положительной [c.634]

В этой главе будет исследоваться класс динамических систем с непрерывным временем с очень маломерным поведением с точки зрения описания, данного в главе 10, а именно гладкие потоки на замкнутых компактных поверхностях. Мы также уделим некоторое внимание потокам на поверхностях с границей, например на замкнутом диске или цилиндре, и на открытых поверхностях, например на плоскости. Это, в частности, позволит нам обсудить ряд полулокальных проблем. Другой естественный объект, связанный с такими потоками, — отображение Пуанкаре, индуцированное на трансверсали к потоку. Если поток сохраняет неатомарную меру, положитель-щао на открытых множествах (например, площадь), то такие отображения Пуанкаре топологически сопряжены локально изометрическому отображению с конечным числом разрывов. Эти отображения наглядно описываются термином перекладывание отрезков . [c.454]

Теперь возьмем некоторое фиксированное 6 > О, построим покрытие множества Л образами маленьких гладких трансверсалей под действием потока (трубками тока) и зафиксируем соответствующие гладкие трансверсали в Л. Начиная с гёльдеровых отображений этих трансверсалей, построим локальные сопряжения трубок тока, сохраняющие время. Таким образом, мы получим локальные гомеоморфизмы этих трубок тока в множество Л. Чтобы склеить их в одно глобальное отображение, рассмотрим гладкое разбиение единицы, подчиненное покрытию Л вышеупомянутыми трубками тока. Теперь все образы точки хеА лежат на отрезке орбиты, и, таким образом, можно рассмотреть усреднение соответствующих временных параметров с весами, соответствующими элементам разбиения единицы в точке X. Эта процедура дает корректно определенное гёльдерово отображение к, которое является С -близким к /г и переводит орбиты потока уз в орбиты потока ф. Кроме того, к дифференцируемо вдоль орбит уз. Но проблема состоит в том, что отображение к может не быть монотонным вдоль орбит. [c.603]

Это рассуждение можно далее обобгцить, считая, что концевые точки С, ж(т. С ) отрезка траектории ж(i, С ) (О т ), лежа-ш,его в С, расположены па каких-нибудь двух гладких поверхностных элементах т — 1 измерений, которые пе касаются самой траектории. Предположим вначале без доказательства, что в С суш,ествует такой участок гладкой поверхности что для всех точек С, припадлежа-гцих решение ж( . С) лежит целиком в С и встречает Р при i > О по крайней мере егце один раз, и притом каждый раз действительно его пересекает. Пусть i = т > О будет первым моментом, когда ж(i, С) опять встречает Р, тогда соответствие С и ж(т. С) = "С определяет топологическое отображение б поверхности Р в себя. Если решение ж(i, С) [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...