Инвариантные торы

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Rue. 20. Сценарии разрушения двумерного инвариантного тора [c.50]

Отметим в заключение, что информация о преобразованиях монодромии стандартным образом переводится на язык дифференциальных уравнений неподвижным или периодическим точкам соответствуют замкнутые траектории, инвариантным окружностям — инвариантные торы или бутылки Клейна и т. д. [c.55]

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов. [c.115]

Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов /( соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т. к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем. [c.399]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Здесь за начальное приближение берут одно из решений уравнения (2), а оператор Г выбирается так, чтобы обеспечить сходимость последовательности х . В классическом методе Ньютона, обеспечиваюш ем наилучшую (квадратичную) сходимость, Г = [Г (х ) + / g (x , / )] (штрих обозначает производную по Фреше). Этот метод использовался, в частности, при построении инвариантных торов гамильтоновых систем, близких к интегрируемым [9]. [c.407]

Четырехмерное фазовое пространство ) х невозмущенной системы расслаивается на двумерные инвариантные торы [c.15]

Рассмотрим геометрическое представление Пуансо. Когда на эллипсоиде инерции точка касания (полюс) сделает один полный оборот, тело повернется вокруг оси постоянного момента на некоторый угол а = а(25"// А, В, С). Функция а р-, А, В, С), р = 25"// была введена А. Пуанкаре отношения а/2ж являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо ([1, п. 86 9, дополнение]). [c.47]

После этого анализа легко представить себе двумерные инвариантные торы в задаче Эйлера-Пуансо. Они являются прямым произведением двух окружностей, одна из кото- [c.60]

Инвариантный тор 1 = 1° невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивается, если fl ф О, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра /X и при /X = О, совпадающие с некоторыми периодическими решениями невозмущенной системы [c.87]

ТО в силу соотношения (3.1) уравнение дЖх/дХ = О будет иметь столько корней, для которых > О, сколько корней, для которых < 0. Это равносильно тому, что при малых значениях /х ф О возмущенная система будет иметь ровно столько устойчивых в линейном приближении периодических решений, сколько неустойчивых. В этой ситуации обычно говорят, что на невозмущенном резонансном инвариантном торе [c.92]

Пусть I2 ф О, I2 ф 1 3 I- Рассмотрим множество инвариантных торов приведенной задачи Эйлера-Пуансо с числами вращения [c.93]

Если А = В, то в невозмущенной задаче есть замечательное семейство периодических решений — постоянные вращения вокруг главных осей инерции, расположенных в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Траектории этих решений заполняют двумерный инвариантный тор [c.95]

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина [c.152]

На каждом двумерном инвариантном торе можно выбрать угловые переменные pi, (р2 mod 2тг, в которых уравнения движения имеют вид [c.154]

Числа Ог, Ьг ( = 1, 2) — простые корни многочлена Ф г), так как в противном случае на соответствующем инвариантном торе существовали бы асимптотические движения. Но этого быть не может в силу предположения о независимости интегралов (2.1). [c.154]

Лемма 3. Пусть сужение функции f xi,. .., xq) на инвариантный тор интегрируемо по Лебегу. Тогда [c.164]

В некоторой окрестности инвариантного тора < 2 [c.164]

Рассмотрим преобразование а К К , определенное формулой у = а х), где х = (ж1,...,жб), а у = = —XI, —Х2, Хз,Х4,Х5,—Хб). Отображение а — линейное ортогональное преобразование — произведение трех зеркальных отражений относительно координатных гиперплоскостей. При малых гу каждый из двух инвариантных торов, составляющих совместный уровень интегралов, переходит в себя (см. доказательство леммы 1). Так как а сохраняет площадь, то якобиан этого преобразования равен единице и, следовательно, [c.166]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

Как указывалось, выше, отбрасывание старших членов в этой процедуре небезопасно. Для систем исходного семейства существование инвариантных торов, соответствующих положениям равновесия вспомогательных факторсистем, выводится из теоремы Крылова—Боголюбова (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Мит- [c.27]

Следствие. Рассмотрим произвольную деформацию семейства d, то есть двупараметрическое семейство v уравнений с параметрами е, ц, которое при ц = 0 совпадает с d. Тогда малому ненулевому значению параметра ц соответствует однопа-раметричесое семейство v , (с параметром е) и значения (ц) и + ц) такие, что при < (ц) все уравнения семейства задают системы Морса—Смейла при 8> +(ц) все уравнения семейства имеют инвариантный тор (ц)->-Опри (рис. 57). [c.152]

Смейла, правая — из полей, имеющих инвариантный тор. Звездо-1ка означает неисследоваиный интервал, на котором происходит бифуркация [c.153]

Исследуем теперь окрестность семейства d в функциональном пространстве. -В силу структурной устойчивости систем Морса—Смейла каждое из полей при е<0 имеет окрестность, состоящую из систем Морса—Смейла. При е>0 каждое из полей Уе имеет окрестность, состоящую из полей с инвариантным (п—2)-мерным тором. Это следует из теоремы Феничеля, поскольку показатель притяжения к инвариантному тору Ис при 8>0 положителен, а показатель сближения траекторий на торе равен нулю. Теорема доказана. [c.155]

К. п. в многомерном случае, данное ур-нием (12), осмысленно только при конечном и не слишком боль-пюи числе траекторий, проходящих через данпую точку. Для этого необходимо, чтобы классич. движение было устойчивым хотя бы в пек-рых областях. Др. словами, нек-рая часть фазового пространства должна расслаиваться на инвариантные торы (см. Гамильтонова система), по к-рьш движется классич. система. Тогда правила квантования Бора — Зоммсрфельда принимают вид [c.254]

Согласно теории устойчивости Колмогорова — Арнольда— Мозера (1963) (КAM), в системе с гамильтонианом (9) при достаточно малых е<Е(, большинство инвариантных торов сохраняется и отличается от невозмущённых торов слабой деформацией. Они занимают фазовый объём Г-5Г( ). Часть торов, занимавшая объём бГ(е), разрушается, но их мера стремится к нулю при е- 0. [c.399]

Разд. стохастич. слои в фазовом пространстве могут пересекаться, образуя нек-рую сеть каналов, внутри к-рых динамика системы является стохастической (рис. 8). Эта сеть наз. стохастич. паутиной (паутиной Арнольда). Если размерность фазового пространства 2Л =4, то двумерные инвариантные торы разделяют трёхмерный объём, в к-ром движется система (из-за сохранения энергии), на изолир. области (подобно тому, как линия на плоскости делит 2-мерное пространство на изолир. части). Однако уже для трёх и более степеней свободы (N>2) JV-мерные торы не разделяют (2N— 1)-мерную энер-гетич. поверхность. Поэтому стохастич. паутина оказывается связной, подходя сколь угодно близко к любой точке фазового пространства. Наличие паутины приводит к не-огранич. переносу частиц вдЬль стохастич. слоя, называемому диффузией Арнольда. [c.400]

Pt и применима КАМ-теория. Следовательно, большая часть фазового пространства lui Ivi Pt) заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам 1и, ly/Pt = onst. [c.183]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

Положим u)i I) = OS Idli (г = 1, 2). Величины u)i, u)2 являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. [c.41]

Покажем, что функция не зависит от угловой переменной g. Так как функция — первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция 0 непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g G R точки (Х°, Р, G , g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. 1). Следовательно, [c.64]

Напомним некоторые обозначения. Переменные действие-угол невозмущенной задачи снова обозначим через 11121з 1 2 Рз (см. гл. II). Переменная 1з — интеграл площадей его постоянную обозначим 1°. Отношение частот и)11и 2 квазипериодических движений на инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо зависит только от 2 о/- моментов инерции А, В, С. Эта функция в гл. II обозначена через 7. [c.92]

Теорема 4. Пусть хфОиА = В> 2С. Тогда на двумерных инвариантных торах [c.95]

Замечание. Если А = В и х = О, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрущатся при добавлении возмущения они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений. [c.95]

При /X = О инвариантная поверхность является двумерным тором и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с постоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденности периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариантный тор не исчезнет, а лишь немного изменит свое положение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...