Поле векторное невырожденное

Особая точка векторного поля называется невырожденной, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден. [c.16]

Теорема. Векторное поле на окружности задает структур но устойчивую систему, если и только еслн оно имеет лишь не вырожденные особые точки (особая точка поля V называете невырожденной, если линеаризация поля в особой точке — не вырожденный оператор). Два векторных поля с невырожденны ми особыми точками на окружности топологически орбиталь эквивалентны, если и только если числа особых точек у ни одинаковы. Структурно устойчивые поля образуют в простран [c.44]

С рассмотрим точку 0. По слабой теореме трансверсальности, отображение -а общего положения трансверсально С. Но это и означает невырожденность особых точек векторного поля г . > [c.16]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Компоненты множества Jfi, отвечающие векторным полям с перечисленными в п.п. 1.2—1.4 вырождениями, будем называть бифуркационными поверхностями. Гладкость бифуркационных поверхностей можно доказать с помощью построения гладких функционалов, невырожденные уровни которых совпадают с этими поверхностями. Такие функционалы существуют для всех перечисленных бифуркационных поверхностей. [c.94]

Матрица го1 и предполагается невырожденной для всех рассматриваемых значений переменных х и Следовательно, п четно, и уравнения (9.3) однозначно определяют нестационарное векторное поле в переменных Х ,..., х . [c.60]

Седло, узел, фокус, центр. Невырожденная особая точка линейного векторного поля на вещественной плоскости бывает одного из следующих четырех типов седло, узел, фокус, центр (рис. 2). Пусть и Яг — собственные значения соответствующего линейного оператора А, отличные от нуля в силу предположения невырожденности. Тогда если Яг Яг<0, особая точка уравнения [c.25]

Невырожденный цикл сохраняется при малых возмущениях возмущенное дифференциальное уравнение по-прежнему имеет невырожденный цикл, близкий к исходному. Циклы векторных полей общего положения невырожденные. [c.33]

Теорема (Ф. С. Березовская [15]). Пусть Г —диаграмма Ньютона векторного поля иа плоскости с изолированной особой точкой нуль. В пространстве всех аналитических векторных полей с диаграммой Ньютона Г существует открытое всюду плотное множество С/ Г — невырожденных векторных полей ,, обладающее следующим свойством. Область 11 распадается [c.92]

Определение. Отображение периодов называется невырожденным, если его производные вдоль линейно независимых векторных полей линейно независимы. Другими словами, соответствующее локальное отображение базы в слой должно быть диффеоморфизмом. [c.96]

Теорема ([33]). Полиномиальное векторное поле с невырожденными особыми точками на вещественной плоскости (в1слючая -бесконешю--удал н ые) >-имеет -конечное число пре дельных-циклов."....... . ...... ................... ........ [c.112]

Предельные циклы полиномиальных векторных полей с невырожденными особыми точками на вещественной плоскости. Фуикц. анализ т его мил., 1984, 18, вып. 3, 32—42 [c.143]

В типичных двупараметрических семействах ростков Zg-эквивариантных векторных полей в нуле встречаются только такие ростки с нильпотентной линейной частью, которые эквивалентны одному из невырожденных главных полей. [c.58]

При /X = О инвариантная поверхность является двумерным тором и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с постоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденности периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариантный тор не исчезнет, а лишь немного изменит свое положение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на [c.105]

Более общее определение включает 2п-мерное замкнутое гладкое многообразие М, замкнутую невырожденную дифференциальную 2-форму П на Т М, т. е. такую форму, что ( Г2=ОиГ2" 0 (где йО, — внешняя производная формы Г2, а — ее п-кратное внешнее произведение), а также гладкую функцию Н М Ш. Тогда по определению гамильтоново векторное поле — это такое поле Уц, что [c.49]

В отличие от симплектического многообразия, которое допускает множество гамильтоновых векторных полей, контактные многообразия снабжены каноническим векторным полем v, которое определяется соотношениями г = 1 и v d6=0. Оно единственно, поскольку ядро формы одномерно и не пересекается с ядром формы 9 в силу невырожденности. Отметим, что производная Ли 0 обращается в нуль, поскольку = onst, так что поток поля V, называемый характеристическим потоком контактной формы, сохраняет 9 и, следовательно, все структуры, определенные в терминах 9, в частности объем. Таким образом, характеристический поток представляет собой канонический пример потока, сохраняющего объем. [c.238]

Теперь с помощью последнего равенства мы покажем, что tp p) W (p) для плотного множества значений t из окрестности 0. Для этого выберем два вектора v е Е (р) и го Е (р) таким образом, что d9(v, w) ф 0 это возможно, потому что в — невырожденная форма. Далее, рассмотрим короткие кривые с [О, е]— Жо (р) и % [0> Жос(Р)> являющиеся отрезками геодезических в этих подмногооо разиях. Для достаточно малого е найдется точка Z ( (е)) П Жос(с (е))- Выберем так, что z = е (с (е))- Существуют гладкие кривые 7 с И ос(с (е)) и 7, С (с (е)), идущие в Z и z соответственно. Так как сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения непрерывны в 7 -топологии, эти кривые можно считать почти параллельными с и с соответственно. Например, можно параллельно перенести касательные векторы к вдоль геодезических в соответствующие точки 7 и гарантировать, что получившееся векторное поле вдоль 7 настолько близко к касательному векторному полю, насколько нам нужно, при условии, что е достаточно мало. Заметим также, что с точностью до произвольно малого гладкого возмущения можно считать точку z периодической. Перенос кривых и 7 под действием потока представляет собой четырехзвенную ломаную, соединяющую точку р с точкой р р) кривыми из сильно устойчивого и неустойчивого слоев. Добавляя маленький отрезок орбиты р, мы, таким образом, получаем замкнутую кусочно гладкую кривую с. Она проектируется в простую кривую в трансверсали Т, так что эту кривую можно рассматривать как границу поверхности А, инъективно проектирующейся на поверхность тг(А) в Т. Теперь заметим, что с точностью до умножения в на постоянный множитель по теореме Стокса мы имеем [c.578]

Отождествим гладкое 2п-мерное многообразие с фазовым пространством механической системы. Пусть а—ёО — невырожденная замкнутая 2-форма (точная симпликтическая структура) на М, а Н М —>- К — кусочно-гладкая функция. Вне поверхностей П/ функция Н задает гладкое гамильтоново векторное поле sgтa(iH, удовлетворяющее равенству [c.151]

Для уравнения общего положения 1) особая точка порождающего векторного поля — невырожденное седло, узел или фокус, причем модули обоих собственных чисел узла и седла различны 2) собственные векторы линеаризации поля в особой точке не касаются ни криминанты, ни ядра складывания (направления оси р). [c.39]

Скажем, что некоторое свойство выполняется для Г — невырожденных векторных полей, если множество векторных полей с диаграммой Ньютона Г, не обладающих этим свойством, выделяется конечным числом нетривиальных алгебраических уравнений иа коэффициенты тейлоровского разложения при мономах, показатели которых принадлежат Г. [c.92]

Положение равновесия называется изолированным, если оно является изолированным нулем векторного поля фазовой скорости, т. е. если в некоторой его окрестности нет других положений равновесия. В других случаях периодическая траектория потока или каскада- с периодом т, необязательно минимальным (а также соответствующая периодическая точка, каскада), называется изолированной, еслн в некоторой ее окрестности нет других периодических траекторий с периодом, близким к т (для каскада — равным т). Может случиться, что периодическая траектория является невырожденной или изолированной как однообходиая и не является таковой как А-обходная (гиперболичнрсть же не зависит от числа обходов). Невырожденная периодическая траектория (включая положе-)ние равновесия потока) является изолированной- - (в понятном . еь ыслё) сохраняется при малом возмущении, а еслн она гиперболична, то и после возмущения остается таковой. Малость-здесь понимается в смысле С. [c.175]

Особенности замкнутых вырожденных 2-форм на 4-многообрг1эиях изучались Ж.Мартине [16] и называются особенностями Мартине. Он доказал что, как правило (для типичных форм в типичных точках особых кривых) 2-форма приводима диффеоморфизмом к одной из двух нормальных форм (называемых эллиптической и гиперболической моделями Мартине). Для того, чтобы описать эти модели, выберем элемент объёма (невырожденную 3-форму) на 3-поверхности вырождения. Ограничение нашей замкнутой 2-формы на эту поверхность есть поток бездивергентного векторного поля (зависящего от выбора элемента объёма однако, его поле направлений, будучи характеристическим полем направлений, инвариантно определено). [c.18]

Эта трудность не возникает в случае квазиоднородных (возможно даже непростых) функций нечётного числа переменных, имеющих невырожденную форму пересечений. Действительно, по теореме 9, голоморфное векторное пОле соответствующее дифференциалу функции а, касается бифуркационной диаграммы Е (здесь используется невырожденность формы пересечений). По теореме В.М.Закалюкина [95], голоморфное векторное поле, касающееся бифуркационной диаграммы нулей квазиоднородной функции, имеет особую точку в нуле базы Л. Обозначим значение формы пересечений на da, db через < уа, >. Тогда функция [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...