Инвариантные торы возмущенной системы

Б. Инвариантные торы возмущенной системы. [c.372]

При этом начавшаяся в щели между двумя инвариантными торами возмущенной системы фазовая кривая вечно остается запертой между этими торами. Стало быть, как бы сложно ни вилась эта кривая, она не выходит из своей щели, и соответствующие переменные действия вечно остаются вблизи своих начальных условий. [c.374]

Предложение 1.([89]). Инвариантный тор возмущенной системы, как правило (в случае общего положения), не аналитичен по параметру е. Для открытого всюду плотного множества значений е тор имеет лишь конечное (но растущее с убыванием е) число производных по фазовым переменным. [c.164]

Инвариантные торы возмущенной системы. Рассмотрим теперь возмущенную систему с гамильтонианом [c.198]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Инвариантный тор 1 = 1° невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивается, если fl ф О, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра /X и при /X = О, совпадающие с некоторыми периодическими решениями невозмущенной системы [c.87]

ТО в силу соотношения (3.1) уравнение дЖх/дХ = О будет иметь столько корней, для которых > О, сколько корней, для которых < 0. Это равносильно тому, что при малых значениях /х ф О возмущенная система будет иметь ровно столько устойчивых в линейном приближении периодических решений, сколько неустойчивых. В этой ситуации обычно говорят, что на невозмущенном резонансном инвариантном торе [c.92]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Подчеркнем, что все инвариантные торы, существующие в силу теоремы 1, неустойчивы, тогда как по теореме Пуанкаре при т = 1 возмущенная система имеет устойчивые в линейном приближении замкнутые траектории (п. 7 8). Кроме того, теорема Пуанкаре утверждает, что семейство инвариантных торов аналитично по е, тогда как из теоремы 1 вытекает лишь аналитичность по /i. [c.240]

Иными словами, при малом возмущении нашей интегрируемой системы следует ожидать изменения качественной картины фазовых кривых хотя бы в том отношении, что целые инвариантные торы, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми, должны распасться, причем останется конечное число замкнутых кривых, близких к невозмущенным, а остальные фазовые кривые будут вести себя сложнее. Мы уже встречались с таким случаем в добавлении 7 при исследовании фазовых колебаний вблизи резонанса. [c.371]

Т е о р е м а. Если невозмущенная гамильтонова система не вырождена, то при достаточно малом консервативном гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы. [c.372]

В. Зоны неустойчивости. Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве возмущенной задачи означает, что при большинстве начальных условий в системе, близкой к интегрируемой, движение остается условно-периодическим с максимальным набором частот. [c.373]

Распад резонансного тора, на котором число частот на 1 меньше полного, легко исследовать в первом приближении теории возмущений. Для этого нужно усреднить возмущение по тем п — 1-мерным инвариантным торам, на которые распадается резонансный инвариантный тор и которые всюду плотно заполняются фазовыми кривыми невозмущенной системы. В результате усреднения получим консервативную систему с одной степенью свободы (см. [c.373]

При исследовании движений возмущенной системы вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. В случае двух степеней свободы размерность фазового пространства равна четырем и многообразие уровня энергии трехмерно. Поэтому инвариантные двумерные торы делят множество уровня энергии. [c.374]

С учетом возмущения гамильтониан системы зависит от угловых переменных (3.1.12) и, как мы видели в гл. 2, резонансы между степенями свободы могут нарушить сходимость рядов теории возмущений. Тем не менее можно доказать теорему (теорема KAM), согласно которой при выполнении определенных (перечисленных ниже) условий существуют инвариантные торы [c.185]

Теорема 21.7. Если возмущение Н1 достаточно мало, тогда при почти любом с существует инвариантный торТ и ) возмущенной системы (21.5), и тор Т(с ) близок к То (с ). [c.95]

Если возмущение Hi достаточно мало, то соответствующее каноническое отображение А поверхности близко к (21.10). Ясно, что (п — 1)-мерные инвариантные торы отображения А соответствуют п-мерным инвариантным торам системы (21.5). Аналогом теоремы (21.7) для таких отображений является приводимая ниже теорема 21.11. Пусть снова и — фазовое пространство р, q [c.98]

Диффузия медленных переменных в многомерных системах и ее экспоненциальная оценка. При исследовании возмущенного движения вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. [c.203]

Кстати сказать, это условие геометрически означает отсутствие перегиба у кривой Яо(7) =Л в точке /=/о. Таким образом, уравнение йН =а будет иметь столько же корней, для которых а > О, сколько корней, для которых а, <0. Это равносильно тому, что при малых значениях е О возмущенная система будет иметь ровно столько периодических решений эллиптического типа, сколько она имеет решений гиперболического типа. В этой ситуации обычно говорят, что при распаде невозмущенного инвариантного тора /=/° рождаются пары изолированных периодических решений. Согласно результатам КАМ-те-ории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при /- - оо. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующем параграфе. [c.231]

Приведенная теорема показывает, что малое возмущение интегрируемой системы не эргодично и имеет инвариантное подмножество положительной меры, эргодические компоненты которого имеют чисто точечный спектр. Этим была, в частности, полностью опровергнута гипотеза, часто встречавшаяся в физических работах, о том, что многомерная нелинейная гамильтонова система общего вида эргодична. Заметим дополнительно, что строящиеся в теории KAM торы гладко зависят от параметра е/с. [c.122]

Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции Г амильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не исчезают, а переходят в периодические решеиия того же периода. Для инвариантных торов размерности m 2 это уже не так. В работах В. К. Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что гиперболические приводимые горы с сильно несоизмеримым набором частот (условие (Ю.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например, устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне (исключение составляют случаи, когда т=1и п=п — 1). Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Ю Мозера [129]. [c.240]

Далее, будем искать вблизи нерезонансного инвариантного тора невозмущенной системы, соответствующего фиксированным значениям частот, такой инвариантный тор возмущенной системы, на котором происходит условно-периодическое движение в точности с теми самыми частотами, которые мы фиксировали и которые, стало быть, удовлетворяют выписанному выше условию нерезонансности. [c.372]

Поведение траекторий в этом дополнении до сих пор недостаточно изучено. Для систем с двумя степенями свободы (п = 2) фазовое пространство il четырехмерно. Инвариантная гиперповерхность ii = onst, имеющая размерность, равную 3, разделена на инвариантные торы возмущенной системы. Дополнительные области образуют торические кольца между инвариантными торами (см. рис. 19.21). При n > 2 инвариантные п-мерные торы не разделяют гиперповерхность Н = onst эазмерности 2п — 1, а траектории, не лежащие на торах Т(а ), могут продолжаться весьма далеко вдоль поверхности Н = h (см. 23). [c.96]

В рассматриваемой системе фазовое пространство четырехмерно, уровень энергии трехмерен, а колмогоровские торы двумерны и заполняют большую часть уровня энергии. Двумерный тор делит трехмерный уровень энергии (на рис. 42 показано расположение торов на уровне энергии). Фазовая кривая, начавшаяся в щели между дву.мя инвариантными торами возмущенной системы, вечно остается запертой между этими торами. Соответствующие переменные действие вечно остаются около своих начальных значений. Колебания переменных действие не превосходят величины порядка Уе, так как мера щели и отличие тора от невозмущенного (/ = onst) оцениваются величинами такого порядка. [c.201]

J е Лд) задают г-мерные инвариантные торы возмущенной гамильтоновой системы с сильно несоизмеримыми частотами. Эти торы называются колмогоровскими они аналитически зависят от е. Колмогоровские торы являются г-мерными инвариантными лагранжевыми многообразиями, поскольку ковекторное поле / = dS/d(p потенциально (см. п. 3 2). [c.124]

Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на г-мерном инвариантном торе Т = ж mod 2тг, замкнуты. Эти периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см. следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной ситуации нри малых значениях е возмущенная гамильтонова система имеет несколько невырожденных периодических реП1ений, которые нри е —> О переходят в периодические решения, расноложенные иа резонансном горе Т"о. [c.225]

Предположим, что инвариантный тор и = u ,v mod 2тг невозмущенной задачи заполнен периодическими траекториями. Пусть h — функция на (п - 1)-мерном торе, которая получается в результате усреднения функции Я. (и , v) по траекториям невозмущенной задачи. Можно показать, что, если при и = и выполнены условия (8.15), и критические точки функции h невырождены, то возмущенная система при малых е О имеет по меньшей мере различных невырожденных периодических решений того же периода, аналитических по е. Их характеристические показатели имеют асимптотику а = + о /7) ) (ао Ф 0). [c.231]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Постоянная -ф несущественна ее можно положить равной нулю. В исходной неавтономной системе ip = (ot, поэтому = 0. Проектируя возмущенный п-мерный гиггерболический тор на пространство переменньгх ж, у, ip, получим п-мерный инвариантный тор, заполненный условно-периодическими траекториями с п несоизмеримыми частотами. При этом зависимость координат х, у от времени задается соотношениями вида (11.5), что и требовалось доказать. [c.247]

При ЭТОМ Б неподвижной системе координат кепплеров эллипс артероида может медленно поворачиваться, так как наша система лишь изоэнергетически невьфождена, и поэтому при возмущении инвариантного тора сохраняются не частоты, а только их отношение. В результате возмущения частота азимутального движения перигелия астероида в подвижной системе координат может сделаться слегка отличной от частоты Юпитера, и тогда в неподвижной системе перигелий будет медленно поворачиваться. [c.384]

Следствие. При распаде п-мерного инвариантного тора сплошь заполненного замкнутыми траекториями изоэнергетически невырожденной системы с п степенями свободы, образуются не менее 2"-1 замкнутых траекторий возмущенной задачи считая с кратностями), в том числе не менее п геометрически различных по меньшей мере если возмущение достаточно мало. [c.391]

Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в 1.2. [c.60]

В предыдущием параграфе было показано, что малые возмущения интегрируемой системы приводят к возникновению последовательности чередующихся эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) точек. Об этом говорят, в частности, численные данные, приведенные в п. 3.2г. Однако в случае больших возмущений топологические соображения М уже неприменимы и в принципе все периодические точки могут быть неустойчивыми. В случае неинтегрируемых гамильтоновых систем линейная устойчивость является, по-видимому, необходимым и достаточным условием для нелинейной устойчивости ) в том смысле, что первая гарантирует существование инвариантных торов достаточно близко к периодической траектории ). [c.207]

Расходимость, как это часто бывает, связана с тем, что строятся некоторые нес>тцествующие объекты. Дело здесь обстоит примерно так. Если при некотором У ряды Линдштедта сходятся, то возмущенная система имеет инвариантный тор У= onst, на котором фаза вращается с вектором частот [c.192]

Теорема 13. (Теорема Колмогорова). Если невозмущенная гамильтонова система невырождена нли изоэнергетически невырождена, то при достаточно малом гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически с числом частот равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. В случае изоэнергетической невырожденности инвариантные торы образуют большинство на каждом многообразии уровня энергии. [c.198]

Теорема 14 ([5]). Пусть возмущенная снстема вырождена, но возмущение снимает вырождение. Тогда большая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам / = onst промежуточной системы. Фазовые кривые обматывают эти торы условно-периодически, с числом частот равным числу степеней свободы. Из этих частот г соответствуют быстрым фазам, а п—г — медленным. Если невозмущенный гамильтониан изоэнергетически невырожден по тем г переменным, от которых он зависит, то описанные инвариантные торы составляют большинство на каждом многообразии уровня энергии возмущенной системы. [c.200]

Замечание. Во многих задачах возмущение периодически зависит от времени Н=Но 1)+еН 1, ф, t, г). Этот случай сводится к автономному введением времени в качестве новой фазы. Если det д Но/д фО, то полученная так система изоэнергетически невырождена и в ней, согласно теореме 13, имеется много и-мерных инвариантных торов. Если в такой системе есть собственное вырождение, но возмущение его снимает, то инвариантные торы доставляет теорема 14. Л [c.200]

В [29] Мозер построил теорию возмущений условно-перио-дических движений негамильтоновых систем. В частности, доказано сохранение инвариантных торов в обратимых системах. [c.200]

Теория возмущений в системах дифференциальных уравнений общего вида обсуждается в [7], [8]. [9], [16], [29], а для гамильтоновых систем в [13], [24], [34]. КАМ-теорни положила начало работа [14]. Работы [4,5] содержат первые подробные доказательства теорем о сохранении инвариантных торов гамильтоновых систем. В [29] построена теория возмущений условно-периодических решений иегамильтоновых систем дифференциальных уравнений. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...