Невырожденные инвариантные торы

Невырожденные инвариантные торы [c.233]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Можно показать, что нерезонансные торы образуют в фазовом пространстве множество полной меры, так что мера Лебега объединения всех резонансных инвариантных торов невозмущенной невырожденной системы равна нулю. Тем не менее резонансные инвариантные торы существуют и перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от 1 до п — 1. В частности, всюду плотное множество образуют такие инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты (число независимых частот 1). [c.369]

На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Таким образом, для почти всех начальных условий фазовая кривая невозмущенной невырожденной системы всюду плотно заполняет инвариантный тор, размерность которого равна числу степеней свободы (т. е. половине размерности фазового пространства). [c.369]

Если м = 1, то мы имеем дело с отображением обычной плоскости на себя, а инвариантные торы превращаются в окружности. Условие невырожденности означает, что для нормальной формы производная угла поворота окружности по площади, ограниченной этой окружностью, отлична от нуля (в неподвижной точке и, следовательно, в некоторой ее окрестности). [c.379]

Следовательно, условие невырожденности в нашей задаче не выполняется, но условие изоэнергетической невырожденности выполняется. Итак, теорема Колмогорова применима, и мы заключаем, что большинство инвариантных торов с иррациональным отношением частот сохраняется в случае, когда масса возмущающей планеты (Юпитера) отлична от нуля, но достаточно мала. [c.383]

Заметим еще, что даже в случае невырожденной системы остается еще исследовать движения в зонах неустойчивости (дополнении к инвариантным торам) в случае п > 2 и по крайней мере при i 1/е или t 1/е" . Возможно, в этих зонах существуют инвариантные (п — 1)-мерные торы эллиптического и гиперболического типа (обобщение на случай произвольной размерности периодических движений из 20). Напомним, что при п > 2 инвариантные торы размерности п не делят гиперповерхность энергии Н = h размерности 2п — 1. Следовательно, сепаратрисы указанных гиперболических торов могут уходить очень далеко по этой гиперповерхности, вызывая неустойчивость системы. Аналогичный механизм неустойчивости исследуется в следующем разделе. [c.108]

При такой записи уравнений движения легко видеть, что движение происходит вдоль прямых линий и с постоянной скоростью, так как скорость v сохраняется. Это значит что п компонент вектора v являются интегралами движения. Для любой данной скорости v движение соответствует линейному потоку Т/ (см. 1.5). Следовательно, мы можем рассматривать фазовое пространство ГТ как E" х Т" с динамикой, описываемой следующим образом торы X Т" инвариантны и движение на г х Т" задается выражением г) X Т/. Таким образом, эта система вполне интегрируема, и естественные координаты являются для нее координатами действие — угол , которые были введены в 1.5. Гамильтониан системы Н(х, v) = v, v)/2 равен ее кинетической энергии, и невырожденная 2-форма ш имеет вид w = dx А dVi. [c.205]

Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции Г амильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не исчезают, а переходят в периодические решеиия того же периода. Для инвариантных торов размерности m 2 это уже не так. В работах В. К. Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что гиперболические приводимые горы с сильно несоизмеримым набором частот (условие (Ю.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например, устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне (исключение составляют случаи, когда т=1и п=п — 1). Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Ю Мозера [129]. [c.240]

Теорема 13. (Теорема Колмогорова). Если невозмущенная гамильтонова система невырождена нли изоэнергетически невырождена, то при достаточно малом гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически с числом частот равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. В случае изоэнергетической невырожденности инвариантные торы образуют большинство на каждом многообразии уровня энергии. [c.198]

Покажем, что функция не зависит от угловой переменной g. Так как функция — первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция 0 непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g G R точки (Х°, Р, G , g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. 1). Следовательно, [c.64]

При /X = О инвариантная поверхность является двумерным тором и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с постоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденности периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариантный тор не исчезнет, а лишь немного изменит свое положение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на [c.105]

При = О имеем интегрируемую невозмушенную систе-W = О, Хк = о к(у). Ее фазовое пространство R" х Т" = = у, .т mod 2тг расслаивается на -мерные инвариантные торы х,у у = уо,х mod 2тг , заполненные условно-периодическими траекториями. Координаты у нумеруют эти торы. Невозмушенную систему назовем невырожденной, если равенство Yi tk h y) = [c.178]

Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на г-мерном инвариантном торе Т = ж mod 2тг, замкнуты. Эти периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см. следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной ситуации нри малых значениях е возмущенная гамильтонова система имеет несколько невырожденных периодических реП1ений, которые нри е —> О переходят в периодические решения, расноложенные иа резонансном горе Т"о. [c.225]

Предположим, что инвариантный тор и = u ,v mod 2тг невозмущенной задачи заполнен периодическими траекториями. Пусть h — функция на (п - 1)-мерном торе, которая получается в результате усреднения функции Я. (и , v) по траекториям невозмущенной задачи. Можно показать, что, если при и = и выполнены условия (8.15), и критические точки функции h невырождены, то возмущенная система при малых е О имеет по меньшей мере различных невырожденных периодических решений того же периода, аналитических по е. Их характеристические показатели имеют асимптотику а = + о /7) ) (ао Ф 0). [c.231]

Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно 9, при малых > О инвариантные торы являются гиперболическими. При п = 1 они превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 8. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности кевозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы УК ПК эквивалентна двум условиям det V О и det(/i n/< ) ф 0. Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15). Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [c.240]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Заметим все же, что вероятность попасть на резонансный тор при случайном выборе начальной точки в фазовом пространстве невозмущенной системыравна нулю (так же как вероятность попасть на рациональное число нри случайном выборе вещественного числа). Таким образом, пренебрегая множествами меры нуль можно сказать, что почти все инвариантные торы в невырожденной невозмущенной системе нерезонансные и имеют полный набор из п арифметически независимых частот. [c.369]

Следствие. При распаде п-мерного инвариантного тора сплошь заполненного замкнутыми траекториями изоэнергетически невырожденной системы с п степенями свободы, образуются не менее 2"-1 замкнутых траекторий возмущенной задачи считая с кратностями), в том числе не менее п геометрически различных по меньшей мере если возмущение достаточно мало. [c.391]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

Теорема 14 ([5]). Пусть возмущенная снстема вырождена, но возмущение снимает вырождение. Тогда большая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам / = onst промежуточной системы. Фазовые кривые обматывают эти торы условно-периодически, с числом частот равным числу степеней свободы. Из этих частот г соответствуют быстрым фазам, а п—г — медленным. Если невозмущенный гамильтониан изоэнергетически невырожден по тем г переменным, от которых он зависит, то описанные инвариантные торы составляют большинство на каждом многообразии уровня энергии возмущенной системы. [c.200]

Пусть гамильтониан имеет вид Н = Но(1, р,д)+вН (1, ц>,р.д). где Но имеет при всех / равновесие р, q)=Of R " с не чисто мнимыми собственными числами и невырожден по /. Тогда при малых е большинство невозмущенных инвариантных торов р = = д = 0, / = onst не разрушается [155] . Если т=1, то торы со-.храняются и при мнимых собственных числах [29]. [c.200]

Если система с двумя степенями свободы невырождена, но не является нзоэнергетически невырожденной, то переменные действие вне инвариантных торов иногда могут эволюционировать. [c.202]

Теорема 20 ([5], [301). У гамильтониана общего эллиптического типа в окрестности положения равновесия имеются инвариантные торы, близкие к торам линеаризованной системы. Они образуют множество, относительная мера которого в полидиске т <е стремится к 1 при е- -0. 3 изоэпсргетически невырожденной системе такие торы занимают большую часть каждого уровня энергии, проходящего вблизи равновесия. [c.207]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Координаты (рь. .., (рп — угловые координаты на инвариантном п-мерном торе / = onst, равномерно меняющиеся со временем. Гамильтонова система называется невырожденной, если [c.13]

Картина траекторий возмущенной задачи изображена на рис. 16. Более точно, на фиксированном трехмерном уровне интеграла энергии взята секущая двумерная поверхность. На рис. 16 изображены инвариантные кривые отображения последования. Изолированным точкам соответствуют невырожденные периодические траектории, а замкнутым кр"йвым, близким к концентрическим окружностям, — колмогоровские торы. [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...