Преобразование Клейна

В любой теории поля с аномальными перестановочными соотношениями всегда существует неприводимый набор полей, удовлетворяющих нормальным перестановочным соотношениям, который может быть получен из первоначального набора полей с помощью преобразования Клейна. [c.217]

Предположим, что мы определим преобразование Клейна к новым полям как умножение всех полей из другого набора Р на оператор р а) [c.218]

Выше мы отмечали, что матрица ац изменяется под действием преобразования Клейна (4-57) в том и только в том случае, если справедливо одно и только одно из равенств (4-61). Таким образом, результат действия (4-57) на а имеет вид [c.221]

Возвратимся теперь к обсуждению теоремы РСТ, доказанной в предыдущем параграфе для любой теории с нормальными перестановочными соотношениями. Какова ситуация, когда перестановочные соотношения аномальны Простейший путь получения ответа на этот вопрос состоит в том, чтобы воспользоваться существованием в силу теоремы 4-12 преобразования Клейна от заданных полей К полям (pi, удовлетворяющим нормальным перестановочным соотношениям. [c.225]

Итак, вообще говоря, мы получим равенство (ф /) = = (фг ), комбинируя которое с (4-69), приходим к закону преобразования полей ф,-, отличающемуся от обычного переменой знака для некоторых полей. Интерпретацию 0 как оператора преобразования РСТ можно произвести точно так же, как и в нормальном случае, рассмотренном в конце предыдущего раздела. Остается показать, что частицы в зтой теории подчиняются нормальной статистике. Это можно сделать, воспользовавшись асимптотическим условием, доказанным в [6]. Состояние, содержащее несколько ин-частиц, может быть получено путем перехода к пределу — оо (в сильном смысле) из состояния отмеченного временным параметром. Состояние Т( может быть порождено из вакуума действием одночлена по полям, подвергшимся преобразованию Клейна. Поскольку зти поля удовлетворяют нормальным перестановочным соотношениям, то частицы в подчиняются нормальной статистике при конечных временах, а тем самым и асимптотически. [c.226]

Отметим в заключение, что информация о преобразованиях монодромии стандартным образом переводится на язык дифференциальных уравнений неподвижным или периодическим точкам соответствуют замкнутые траектории, инвариантным окружностям — инвариантные торы или бутылки Клейна и т. д. [c.55]

Как в 3, из обращения следует, что, помимо интеграла I, каждый интеграл, разнящийся от него на интеграл / от дивергенции, также допускает бесконечную группу с теми же да, причем, однако, Лх и Ла, вообще говоря, будут содержать производные от и. Такой интеграл I Эйнштейн ввел в общую теорию относительности, чтобы получить более простое выражение законов знергии я указываю бесконечно малые преобразования, которые допускает этот интеграл /, примыкая в обозначениях ко второй статье Клейна. Интеграл [c.623]

Мы видим опять, что у следует брать независимым от ы и т. д., чтобы эти заключения были справедливы. В качестве примера можно назвать указанные Клейном и которые удовлетворяют преобразованиям для вариаций, коль скоро р подвергаются векторному преобразованию. [c.626]

Кстати, критерий Клейна есть не что иное, как видоизмененная структурная формула Чебышева. Действительно, если в (2.2) принять W= 1, а л = N-1, где N- число звеньев в механизме, включая стойку, то после преобразований получим [c.59]

Легко видеть, что (4.29) получается из (4.23), если sin (f a/2) к, ka /А, т. е. при ка С 1. Итак, когда мы говорим о малости а по сравнению с характерным пространственным периодом волнового движения, мы говорим о малости ка и, следовательно, о малости а по сравнению с длиной волны, поскольку к = 27г/Л ка длинных волн наши допущения справедливы, и цепочку маятников можно рассматривать как среду, описываемую уравнением Клейна-Гордона. Однако все приближения нарушаются, когда Л и а, т. е. длина волны в структуре соизмерима с ее периодом. Таким образом, преобразования дисперсионных уравнений 4.1 для цепочек из одинаковых частиц при условии fea С 1 означают переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде. [c.71]

О с центром в точке О и вектор с проекциями Хц У , Zj и моментами I, Mi, N-i. На прямой, сопряженной с Р относительно сферы, построим вектор Р[ с проекциями Х = j, Kj = М , Z = N . Это возможно, так как направление i, М , Ni перпендикулярно плоскости OPi. Показать, что имеется взаимность между векторами и Р , т. е. что Pj лежит на прямой, сопряженной с Р[, и что его проекции равны моментам вектора Р[, а именно Xi = J, Yi = М[, Zj = n[ (преобразование Клейна, в частном случае указанное Кёнигсом). [c.52]

Определим теперь преобразование Клейна для этого случая. Оно должно оставлять поля г 1 и г 2 неизменными и заменять поле ф на новое поле ф, определенное как ф на тех векторах области определения ф, которые входят в Ж+ , определенное как —ф на тех векторах, которые входят в Ж-, , и тем самым в силу линейности определенное везде. Нетрудно убедиться в том, что поле ф эрмитово. Тогда поля ф = 1 И = 1р2 удовлетворяют нормальным перестановочным соотношеииям. [c.216]

Рассмотрим далее случай набора локальных полей с произвольным спином, следуя анализу, проведенному Араки. Главные необходимые шаги состоят в том, чтобы показать, что аномальные перестановочные соотношения приводят к четно-нечетным правилам, и после этого установить, что это позволяет определить необходимые преобразования Клейна. Предположим, что имеются п полей ф1,..., фп и что все компоненты поля Ф - удовлетворяют одним и тем же перестановочным (пли антиперестановочным) соотношениям со всеми компонентами поля фй. Мы предполага-ем, что операторы ф, , сопряженные компонентам Ф поля (pj, содержатся в числе компонент фйр. Наше окончательное утверждение содержится в теореме, следующей ниже. [c.217]

Из теоремы 4-11 следует, что все вакуумные средние, содержащие нечетное число полей, обращаются в нуль. В зтом случае можно определить преобразование Клейна, положив ф = ф, ф = ф на подпространстве, натянутом на векторы, образованные действием на вакуум четных полиномов по размазанным полям, и положив ф = — ф, ф = ф на подпространстве, натянутом на векторы, образованные действием на вакуум нечетных полиномов по таким полям. Тогда (ффТо, То) = (фТо,фТо), т. е. [c.226]

Сравнение формул (3.11) и (3.3), (3.12) и (3.2) г1Лоскопараллел1,ного движения и замены плоскостей проекций показывает их полную идентичность, что подтверждает справедливость двоякого истолкования функций (3.1) по Ф. Клейну независимо от того, перемещается ли фигура относительно плоскостей проекций или фигура остается в покое, а изменяется положение плоскостей проекций, формулы преобразований имеют один и тот же вид. [c.86]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

Параметры Кэйли —Клейна можно выразить через углы Эйлера G помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через ф, 0 и tp. Однако проще и более поучительно образовать сначала матрицы Qполную матрицу. Так, например, при повороте на угол ф вокруг оси Z мы для величин х+, л и 2 будем иметь следующие формулы преобразования [c.132]

Глава I этой книги содержит материал, связанный с вопросами, рассмотренными нами в настоящей главе. Раздел об углах Эйлера воспринимается с трудом из-за низкого качества всех рисунков. (Здесь следует сослаться на сделанное нами в 4.4 примечание относительно сравнения формул этого автора с нашими.) В 12 этой книги рассматривается связь между параметрами Кейли — Клейна и так называемым гомографическим преобразованием. [c.162]

Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени. [c.252]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

М. и. (иногда наз. также подобием или автомодельностью по аналогии с теорией фазовых переходов 2-го рода и гидродинамикой) обладает ряд ур-ний физ. теорий. Это происходит в тех случаях, когда в решение ур-ний не входят массы или другие размерные параметры, не меняющиеся при масштабном преобразовании. В класеич. физике важным примером являются Максвелла уравнения, К-рые обладают М. и. для любых расстояний и промежутков времени. Клейна — Гордона уравнение и Дирака уравнение масштабно инвариантны для расстояний, малых по сравнению с ком.-птоновской длиной волны соответствующих частиц, и промежутков времени, малых по сравнению с этой длиной, делённой на скорость света. Для расстояний, сравнимых с комптоновской длиной волны (и соответствующих промежутков времени), М. и. нарушается из-за наличия масс частиц. О такой ситуации говорят как о нарушенной М. и. [c.61]

Р. и. специальной (частной) теории относительно-сти, к-рая является глобальной (в том смысле, что относит, скорость двух систем отсчёта и коэффициенты преобразований Лоренца постоянны во всём пространстве-времени), была обобщена в общей теории относительности Эйнштейна, где имеет место только л о-кальная Р. и.— преобразования Лоренца относятся к дифференциалам координат, а их параметры зависят от точки. Понятие Р. и. было также обобщено (с сохранением осе. свойств) на многомерные теории физ. взаимодействий, в т. ч. гравитац. взаимодействии, (см. Калуця — Клейна теория, Су/герструны). [c.322]

Галилеева симметрия в конце XIX в. не включалась в канонический формализм как мы уже отмечали, вопрос о том, какой закон сохранения отвечает ей, оставался открытым. В силу особой роли времени в классической механике галилеево-ньютонова группа как некоторая единая система преобразований, действующая на пространственно-временном многообразии, оставалась неизвестной, несмотря на то, что все ее генераторы были известны, по существу говоря, со времени Галилея и Ньютона. Галилеев принцип относительности имел большое значение для обоснования системы Коперника (Галилей), использовался Гюйгенсом в качестве одного из главных постулатов теории упругого удара, но уже в Началах Ньютона формулировался в виде следствия из трех основных аксиом или законов механики, а в механике XVIII в., как правило, не фигурировал вообще. Во второй половине XIX в. возобновляется некоторый интерес к физическим основам механики, в частности к вопросам об абсолютном пространстве, инерциаль-ных системах отсчета и принципе относительности Галилея (Э. Мах, К. Нейман, Л. Ланге и др.) . Частично это было связано с проблемой увлекаемо-сти эфира в оптике и электродинамике движущихся сред. Однако исследования эти не носили систематического характера, и галилеева симметрия в механике не рассматривалась на одном уровне с евклидовой симметрией. Отчетливое понимание роли галилеевой симметрии в классической механике и открытие галилеево-ньютоновой группы произошло, по сути дела, после открытия теории относительности. Ф. Клейн в этой связи подчеркивал Эта выделенность t (т. е. времени.— В. В.) играла определенную тормозящую роль в истории развития механики. Несмотря на то, что уже Лагранж [c.238]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

То есть параметры Кейли-Клейна и определяют то дробно-линейное преобразование, которое является стереографическим образом конечного поворота. [c.41]

Сложение поворотов можно выполнять и в параметрах Кейли-Клейна. Сумме поворотов соответствует произведение соответствующих матриц или композиция соответствующих дробно-линейных преобразований. Все правила выполнения произведений аналогичны вышеизложенным. [c.48]

Надо установить связь величин а, р, у, 8, называемых параметрами Кейли — Клейна, с параметрами Родрига — Гамильтона. Для этого отметим, что дробно-линейное преобразование, при котором, три точки -2 3, определяющие окружность 7, переходят [c.123]

В параметрах Кейли — Клейна задача сложения поворотов сводится к выполнению последовательности дробно-линейных преобразований повороту 61 соответствует преобразование [c.125]

Согласно второй точке зрения это преобразование приводит к другому соответствию между операторами и операциями в лаборатории. Если некая функция, скажем Г <р, гр), наблюдаема и соответствует некоторым хорошо оп-ределенным измерениям в лаборатории, то преобразованпо Клейна следует рассматривать как преобразование, приводящее к новой теории, в которой функция (ф, ф ) соответствует тому же самому набору измерений. Естественно возникает вопрос, предсказывают ли обе теории одни и те же результаты для всех экспериментов. Ответ на этот вопрос может дать только подробный анализ теории измерений системы. Чем больше операторов должно быть наблюдаемо, тем меньше шансов на то, что такие две теории физически эквивалентны. В рассматриваемом приме]эе имеет место равенство [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...