Спектральная мера

В исследованиях (прежде всего численных) конкретных ДС большую роль играет вычисление корреляционных ф-ций Kf t) и отвечающих им спектральных мер ст/. В то же время полное аналитич. исследование спектра во мн. случаях является трудной задачей. [c.630]

Итак мы видим, что такие спектральные инварианты оператора U , как собственные значения с их кратностями, спектр или спектральные меры, являются инвариантами метрических изоморфизмов Т. [c.154]

Лемма. Ограниченный нормальный оператор Т, действующий в комплексном гильбертовом пространстве Н, однозначно определяет регулярную счетно-аддитивную самосопряженную спектральную меру Р на борелевских множествах комплексной плоскости. Мера Р обращается в нуль на резольвентном множестве р (Г) оператора Т и обладает тем свойством, что [c.146]

Ограниченный оператор Т, действующий в гильбертовом пространстве, называется нормальным, если хт =Т Т. В частности, самосопряженные или унитарные операторы нормальны, и приводимое ниже следствие представляет собой модификацию сформулированной выще леммы для частного случая самосопряженных операторов. Спектральная мера допускает обобщение до проекционной меры (на стр. 77 эта ситуация была рассмотрена для случая действительнозначных мер). Рассмотрим это утверждение подробно. Пусть 9 есть а-алгебра (т. е. а-кольцо с единицей), а Ж) — множество всех операторов проектирования на Ж. Самосопряженной спектральной мерой называется [c.146]

Такое полное описание структуры оператора Ut позволяет связать ряд эргодических и спектральных свойств автоморфизма Т со свойствами спектральной меры ст. [c.44]

Для группы 2 вопрос а) сводится к нахождению спектральной меры и кратностей, вопрос б) — к описанию возможных спектров динамических систем. Оба вопроса являются тонкими, хотя и далеко продвинуты для 0 = 2 (см. [24]). Разумеется, для общих локально компактных групп ситуация много сложней. [c.84]

Рч> ( ) = 2 2 -- ) спектральная мера функции ф. [c.223]

Тогда носитель спектральной меры йЕ (р) содержит изолированную точку р--0, одночастичный гиперболоид [c.16]

Е( )—спектральная мера самосопряженного оператора [c.10]

Как и в скалярном случае, минимальным борелевским носителем спектральной меры Е называется такой ее БН Z что для любого другого множества Z полной Е -меры выполнено условие Z Z = 0. Разумеется, минимальные БН спектральной меры Е ) и обычной меры (Е (-)/г,/г) совпадают, если Н— элемент максимального спектрального типа. Введем теперь [c.38]

Определение 8. Каждый из принадлежащих сг Н) минимальных борелевских носителей спектральной меры Е будем называть сердцевиной спектра оператора Я. Сердцевина спектра обозначается через <т(Я). [c.38]

Минимальный БН можно ввести и для абсолютно непрерывной части Е = Р Е спектральной меры Я. В этом случае он, естественно, называется сердцевиной абсолютно непрерывного спектра. Впрочем, = будет минимальным БН и для спектральной меры Е Поэтому для нужд теории рассеяния достаточно понятия сердцевины спектра. [c.38]

Лля самосопряженного оператора Я спектральная теорема позволяет строить его функцию (р Н), если ср измерима и п.в. конечна по спектральной мере Е = Ен- Область определения Т> р Н)) состоит из элементов / Н, для которых [c.41]

Из (3) вытекает также следующее представление спектральной меры через резольвенту. Пусть концы ограниченного интервала Л = (Ao,Ai) не принадлежат спектру оператора Я, а простой (без самопересечений) замкнутый контур Г охватывает Л, пересекает вещественную ось в точках Ао и Ai (так что Г П сг(Я) = 0) и проходится против часовой стрелки. Тогда [c.43]

О Подпространство М ) инвариантно относительно спектральной меры Ео ), так как при Ж / = О равенство [c.92]

Установим теперь абсолютную непрерывность спектра оператора Н ча множестве а , i. С этой целью вычислим с помощью формулы Стоуна (1.4.7) спектральную меру оператора Я. При / Е — (7"(г ()), о > О, рассмотри. функцию [c.159]

Установим дифференцируемость спектральной меры Е ) самосопряженного оператора Е( ), окаймленной какими-либо операторами Гильберта—Шмидта. Напомним, что в силу теоремы Лебега монотонная функция ( (Л)/,/) при любом / ЕН дифференцируема для п.в. Л Е М. В то же время Е Х + е) -Е (Л-- ) = 1 при Л Е т(Я) и любом б > 0. Поэтому слабой (операторной) производной спектральная мера не может иметь.ни в одной точке спектра. Положение меняется при окаймлении Е операторами Гильберта—Шмидта. [c.235]

Из этой теоремы вытекает, что при у ф у сингулярные (относительно меры Лебега) компоненты спектральных мер операторов Ну и Ну/ будут и взаимно сингулярными. [c.276]

В силу (13) равенство г (Ао) = О является необходимым условием принадлежности точки Ао множеству Лi. Согласно теореме 4.1.6 множество Лi замкнуто и имеет нулевую меру, а согласно теореме 4.2.1 на дополнительном множестве сг спектр оператора Н абсолютно непрерывен. В рассматриваемом случае эти утверждения легко проверить непосредственно. Так, замкнутость вытекает из непрерывности функции (13), а равенство ЛГ = О—из леммы 2. Наконец, для проверки последнего утверждения нужно установить абсолютную непрерывность на сг Л спектральной меры /)( ) (см. (4)) оператора [c.277]

Теорема 2. Пусть функция (р Х р) в (3) удовлетворяет условию Гельдера с показателем а > О по переменной X (или л) с постоянной, не зависящей от // (от X). Пусть, кроме того, спектральная мера Ео (соответственно Е) имеет компактный носитель. Тогда трансформатор Ф действует ограниченно из пространства в1 в р, где р > 2(1 4- 2а) и р I. В частности, при а > 1/2 и Т Е оператор ФТ является ядерным. [c.281]

В термометрии излучения в отличие от термометрии, основанной на применении термопары или термометра сопротивления, можно использовать уравнения в явном виде, которые связывают термодинамическую температуру с измеряемой величиной (в данном случае со спектральной яркостью). Это возможно потому, что тепловое излучение, существующее внутри замкнутой полости (излучение черного тела), зависит только от температуры стенок полости и совсем не зависит от ее формы или устройства при условии, что размеры полости намного больше, чем рассматриваемые длины волн. Излучение, выходящее из маленького отверстия в стенке полости, отличается от излучения черного тела лишь в меру того, насколько сильно отверстие нарушает состояние равновесия в полости. В тщательно продуманной конструкции это отличие может быть сделано пренебрежимо малым, так что равновесное излучение черного тела становится доступным для измерений. Таким образом, методы термометрии излучения позволяют в принципе измерить термодинамическую температуру с очень высокой точностью, что будет кратко рассмотрено в разд. 7.7. [c.309]

Изучение большого числа линий в спектрах излучения ряда веществ привело к выявлению нескольких спектральных линий, имеющих при определенных условиях очень высокую степень монохроматичности и воспроизводимости средней длины волны. В 1960 г. Генеральная конференция по мерам и весам приняла рещение о замене метра новым эталоном длины. За основу была выбрана оранжевая линия одного из изотопов криптона (Кг ) после тщательного сравнения длины волны этого излучения с длиной метра по определению принято 1 м = 1650763,73 Кг . [c.144]

Распределение энергии по спектрам разных порядков, приводимое в 46, показывает, что значительная часть энергии сосредоточена в спектре нулевого порядка по мере перехода к высшим порядкам энергия быстро убывает. Спектральные приборы, снабженные такими дифракционными решетками были бы мало светосильны. Важным практическим усовершенствованием решеток явилось указанное Рэлеем и осуществленное Вудом изменение распределения по спектрам, основанное на введении дополнительной разности хода в пределах каждого штриха решетки. С этой целью решетку гравируют так, что каждая борозда имеет определенный профиль, [c.206]

Мерой разрешающей способности спектрального аппарата принято считать отношение длины волны X, около которой выполняется измерение, к указанному минимальному интервалу бХ, т. е. е- / = Х/бХ. Для определения составим (например, для дифракционной решетки) условия, дающие положения максимумов т-го порядка для волн и [c.214]

Формула (50.4) показывает, что разрешающая способность спектрального аппарата равна произведению порядка спектра т на число световых пучков, интерферирующих в приборе. Число это для дифракционной решетки равно числу штрихов для пластинки Люм-мера—Герке или Фабри—Перо можно условно считать число N равным числу отраженных световых пучков значительной интенсивности (число эффективных лучей), которое тем больше, чем больше коэффициент отражения Я (см. 30). Для интерферометра Майкельсона Л/ = 2 для эшелона Майкельсона N равно числу пластин и т. д. [c.216]

Напомним, что, приступая к обобщению С -алгебры Я, мы стремились найти такую С -алгебру ( обобщенных наблюдаемых ), которая допускала бы спектральную теорему. Девис [62] доказал в этой связи, что спектральная мера, ассоциированная с самосопряженным элементом конкретной -алгебры Б, принадлежит 2. Этот результат непосредственно следует из того, что если 2 — конкретная 2 -алгебра и О — компактное хаусдорфово пространство (например, спектр элемента Л=- Л еБ), то любое С -представление л (5 (О)->Б допускает единственное расширение до ст-представления 2 (О) в 2. [c.192]

Резольвента самосопряженного оператора—интеграл Коши—Стилтьеса по его спектральной мере. Поэтому исследование таких интегралов играет в теории рассеяния важную роль. Следующие два утверждения называются теоремами Привалова. Их доказательства можно найти в книге [17. [c.29]

Пусть Ti—какой-либо самосопряженный оператор с областью определения V[H) в сепарабельном гильбертовом пространстве Ti. Через Ен Х) будем обозначать спектральную меру оператора Я, называемую также его разложением единицы или спектральным семейством. Обозначение зависимости различных объектов от Н часто опускается. Лля спектральной меры можно пользоваться обычной терминологией теории меры. Операторная мера Е Х) определена на всех борелевских множествах X С Ш. Иногда мы применяем также обозначение Е(Х) = ((—оо, Л)), так что Е Х)—производящая функция меры Е Х). Носитель supp Ен спектральной меры на- [c.35]

Напомним, что подпространство И гильбертова пространства Н называется приводящим для самосопряженного оператора Я, если оно (а тогда и HOHi) инвариантно относительно спектральной меры оператора Н. Ясно, что вместе с Hi его ортогональное дополнение также приводит Я. [c.36]

Спектральная мера Еи Х) унитарного оператора и определена на борелевских множествах X единичной окружности С С. Точки Т обозначаем, как правило, буквой 1 (или I/), /х = 1 через Х обозначаем лебегову меру множества X С Т, Т = 2тг. Совершенно аналогично самосопряженному случаю по отношению к этой мере определяются абсолютно непрерывные и сингулярные элементы. Это позволяет буквально перенести изложенную в 3 классификацию спектра на унитарный случай. [c.81]

Теорема 8. Пусть Но—произвольный самосопряженный оператор с простым спектром, v—какой-либо циклический для Но вектор и Н = Ну = НоТогда при произвольном вещественном у Ф О сингулярные части спектральных мер операторов Но и Н (спектр Н также оказывается простым) сосредоточены на дизъюнктных борелевских множествах. [c.276]

Несколько иной подход к построению ФСС, расширяющий, в частности, запас допустимых функций, был предложен в работе М.Ш.Бирмана и М.З.Соломяка [46]. Этот подход основан на рассмотрении семейства операторов // = Яо + sV, s 6 [0,1], и их спектральных мер Eg = Ен . В 45, 46] было показано, что для некоторого достаточно широкого класса функций f в ядерной норме существует непрерывная производная, представимая в виде двойного операторного интеграла (см. 6.8) [c.348]

В обычных условиях атомы вещества излучают одновременно кванты различной энергии, так как переход электронов с одних орбит на другие не носит организованного характера, что и приводит к полихроматичности излучения. В зависимости от температуры тела изменяется его энергетическая светимость (она по закону Стефана—Больцмана пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры тела R = аР) и по мере увеличения температуры спектральный максимум излучения сдвигается в сторону более коротковолновой части спектра. [c.116]

Конечно, добиться параллельности нескольких интерферен-ционьп 1х полос можно только в относительно небольшом спектральном интервс1ле, так как по мере продвижения в сторону длинных волн расстояние между полосами должно увеличиваться (Л == тХ). Интерференционные полосы высоких порядков, возникающие при большой разности хода, не параллельны нулевой полосе. Это легко проверить непосредственным наблюдением, вводя в один из пучков плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной менее 1 мм. Тогда появляется система мелких наклонных полос (рис. 5.41,6). На рис. 5.41,а для сравнения показана группа полос вблизи т = О, наблюдаемая в подготовленном к работе интерферометре. [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...