Исчисление высказываний

Грамматические правила. Эти правила исчерпываются списком аксиом и логическими операциями исчисления высказываний. [c.139]

Алгоритм синтеза основан на аппарате исчисления высказываний, которые следуют в порядке, жестко установленном структурой языка. [c.142]

Алгебра логики переводит логические рассуждения в область алгебраических исчислений высказываний. [c.315]

Первое и наиболее широко применяемое понятие — исчисление высказываний. Высказыванием называется всякое предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным и не может иметь никакого третьего значения. Отдельные простые высказывания могут быть связаны при помощи различных логи- ческих связей в сложные, которые также могут быть либо истинными, либо ложными. Используем двоичный код истинное высказывание будем обозначать 1, а ложное — 0. Благодаря этому на базе нескольких простейших электронных или иных элементов. [c.441]

Логические операции цифровых вычислительных устройств заимствованы из математической логики, которая занимается исчислением высказываний. Высказывание есть любое предложение, в отношении которого можно утверждать, что его содержание истинно или ложно. Факт истинности высказывания условно обозначают знаком 1, а факт ложности высказывания — знаком 0. [c.72]

Иногда Булеву алгебру называют также исчислением. высказываний, так как в логике под высказыванием подразумевается любое предложение, которое может быть истинным или ложным при определенных обстоятельствах. Например, предложение Вода тяжелее воздуха истинно, а Скорость звука больше скорости света — ложно. [c.40]

Например, в исчислении высказываний Б составляют символы 1, О и знаки логических операций X — идентификаторы переменных А — аксиомы а /а- а, а /Ь->Ь /а, а- а /Ь, (6->-с)- -- (а /Ь- а /с), где а, Ь, с — формулы П — правила подстановки и заключения. Правило подстановки если а —выводимая формула, то при замене любой переменной в ней на любую формулу получается выводимая формула. Правило заключения если а- Ь и а — выводимые формулы, то Ь — также выводимая формула. [c.62]

В логических схемах представления знаний с помощью синтаксических операций с формулами стараются создать особые конструкции из имеющихся знаний, позволяющие сделать заключения, исходя из предпосылок ИСТИНА или ЛОЖЬ. В этих целях на основе разработок в области исчисления высказываний был получен формализм, известный как исчисление предикатов. В целом логическое представление является весьма привлекательным для систем, где часто требуется расширять базу знаний, например при доказательстве теорем. Способность расширять базу знаний основана на методе математической дедукции, позволяющем получать новые факты нз уже имеющихся. [c.281]

Мы отнюдь не намереваемся останавливаться здесь, хотя бы кратко, на эпистемологических аспектах исчисления высказываний. Мы хотим лишь воспользоваться методом исчисления высказываний для того, чтобы проиллюстрировать смысл некоторых из наших аксиом. В частности, мы рассмотрим специализацию понятия совместности применительно к наблюдаемым высказываниям. [c.91]

Оператор проектирования Р из алгебры фон Неймана называется минимальным (другие названия точка или атом), если Р ФО п если из того, что Q е 9 , причем Q<3 S РЖ, следует , что оператор проектирования Q совпадает либо с О, либо с Р. Из изложенной выше классификации факторов, а также из общих свойств относительной размерности ясно, что фактор допускает минимальные операторы проектирования в том и только в том случае, если он дискретен. Кстати сказать, это утверждение остается в силе [77, гл. 1, 8, п. 3, следствие 1] для общих алгебр фон Неймана. Данное обстоятельство свидетельствует о серьезном недостатке тех подходов, использующих исчисление высказываний, которые основаны на предположении о существовании минимальных операторов проектирования. Для физика может представить интерес тот факт, что еще фон Нейман высказывал (хотя, насколько можно судить, и без достаточных оснований) предположение о том, что в физике могут встретиться факторы не только типа I, но и других типов. Фон Нейман считал особенно вероятным появление факторов типа П,, указывая на то, что на этих факторах (так же, как и на факторах типа 1 ) существует относительная размерность, нормированная к 1. Следовательно, на множестве всех операторов проектирования факторов типа П можно ввести определение конечной равномерной априорной вероятности. Как мы увидим позднее, другие факторы действительно встречаются в различных конкретных физических моделях. [c.176]

Теорема 23 устанавливает, что если 31 есть С -алгебра наблюдаемых физической системы, то множество всех операторов проектирования из а-оболочки алгебры М удовлетворяет важнейшим постулатам подхода к физическим теориям, основанного на исчислении высказываний (см., например, Пирон [295]). [c.194]

Примерами формального отображения Р = (Т, Р, А, Щ являются исчисление высказываний и исчисление предикатов. В исчислении высказываний полагается, что каждая правильно построенная формула есть высказывание, которое может быть истинным или ложным [69]. Например, высказывание "с неба слышен собачий лай" может быть истинным или ложным. Если в небе крутится хищная птица (сокол, орел), тогда этот лай щенка, которого она подняла в небо. Если в небе нет хищной птицы, это высказывание ложное. Высказывание "из скважины № 205 ежедневно добывается 2000 миллионов кубических метров газа" заведомо ложное, так как оно выходит за рамки здравого смысла. [c.117]

Для дальнейших рассуждений в соответствии с правилами математической логики введем пропозициональные связки параметров состояний в виде Л - знак логического умножения (или конъюнкция или связка "и") V- знак логического сложения (дизъюнкция или связка "или") - знак отрицания (или "не"). Для исчисления высказываний на уровне функций используем знак конъюнкции функций. [c.145]

Основным понятием логики является понятие высказывания. Все высказывания разделяются на простые и сложные, на истинные и ложные. В исчислении [c.230]

Статика излагается, в основном, геометрическим методом. В динамике широко применяется дифференциальное и интегральное исчисление. Автор умело пользуется формулой и хорошо анализирует ее. Изложение теоретического материала иллюстрируется примерами, носящими подчеркнуто морской характер, или имеющими отношение к наукам, изучаемым будущими морскими офицерами. Судя по высказываниям Гамалеи о написании других книг ( Опыт морской практики ) можно представить, что автор, с одной стороны, пытается предусмотреть все, что понадобится будущему морскому специалисту по данному вопросу, с другой устанавливает минимум сведений, необходимых учащемуся для усвоения им последующих специальных разделов. Такой принцип необходимого и достаточного объема материала кажется нам весьма разумным при написании всякого учебника. [c.106]

В алгоритмах синтеза обычно используются элементы более чем одного из рассмотренных подходов. При реализации подхода необходимо выбрать правила формирования и преобразования описаний, формы представления элементов и структур. Такой выбор в общем случае можно представить с помощью некоторой дедуктивной системы. Дедуктивной системой (исчислением) 8 называется совокупность множеств 5 = <Б, X, А, П>, где Б —алфавит исчисления X —множество букв, не совпадающих с буквами алфавита Б и служащих для обозначения переменных А —множество аксиом исчисления, под которыми понимаются задаваемые исходные формулы (слова) в алфавите Б П — множество правил вывода новых формул в алфавите Б из аксиом и ранее выведенных правильных формул. Формулой называется высказывание или совокупность высказываний, связанных логическими связками отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации, равнозначности. Выводом формулы Р в дедуктивной системе называется такая последовательность формул, заканчивающаяся Р, в которой любая из формул относится к аксиомам или является непосредственным следствием каких-либо предыдущих формул. [c.62]

Проверка условий заключается в присвоении переменным в антецедентах А значений, соответствующих текущему состоянию БД, и в определении значений А. Основой блока проверки условий является выбранная для данной ЭС дедуктивная система. Исчисление предикатов первого порядка можно применять только в случаях, когда знания о предметной области полны и имеют детерминированный характер. Но обычно экспертные данные недостаточно полны и определенны. Поэтому напрашивается применение вероятностного подхода, при котором каждый из атомов, составляющих А, выполняется с некоторой вероятностью. Реализация вероятностного подхода требует знания большого числа условных вероятностей, поэтому применяется подход, основанный на формализмах нечеткой логики. Истинность каждого высказывания в нечеткой логике устанавливается не абсолютно, а с некоторым коэффициентом, называемым коэффициентом принадлежности или коэффициентом доверия. Например, высказыванию Х= = устройство надежно можно поставить в соответствие значение коэффициента доверия лх = 0,1, если среднее время Т между отказами менее 10 ч. Это утверждение лаконично выражается следующей записью цд (Г<102)=0,1. Для других значений Т коэффи- [c.316]

Высказываний исчисление 90 Высказывания 68, 90 [c.416]

Первые работы в области теории релейных устройств, содержащих современную постановку имеющихся в ней задач, относятся к 1936—1938 гг., когда В. И. Шестаковым в СССР, К. Шенноном в США и А. Накасима и М. Ханзава в Японии впервые были показаны возможные применения для решения задач теории релейных устройств исчисления высказываний. С 1942 г. начинается планомерное развитие работ в области теории релейных устройств в связи с задачами, возникающими при построении структур сложных телемеханических устройств. На начальном этапе (1942—1950 гг.) было проведено обобщение опубликованных к тому времени работ и уточнение задач синтеза и анализа структуры релейных устройств и была раз работана первая терминология [48]. [c.250]

Принцип резолюции в исчислении высказываний состоит в выборе двух дизъюнктов Dj и Dj, в один из которых входит литера L, а в другой — ее отрицание 1L. Резольвентой называется новая формула R = Р у Q, получаемая из Di = Р у L и Dj = Q V П ) путем вычеркивания литер L и ]L. Это соответствует применению правила модус поненс к рассматриваемым дизъюнктам. [c.238]

Простое высказывание в алгебре логики называется перемен--ной, а сложное — логической функцией. Вид логической функции определяется видом логической связш В рассмотренном примере сложное высказывание будет логической функцией ИЛИ . Для исчисления высказываний используется двоичная система, в которой переменная и функция могут иметь только два значения [c.315]

Приведенные в табл. названия сложились исторически, в частности при формализации классич. (аристотелевой) логики, и ие всегда точно отражают различные оттенки, к-рые придаются им в живой речи (напр., или , если — то и пр.). Правила оперирования двузначными логич. ф-циями изучаются в разделе математич. логики, к-рый наз. исчислением высказываний. [c.8]

Л. с., моделирующие нек-рые элементарные ф-ции исчисления высказываний, часто наз. также логическими элементами. Логич. элемент имеет один или неск. входов (сигналы Х ) и один выход (сигнал У). Два уровня сигналов (электрических, механич., нневматич. и др.) на входах и выходе принимаются за О и 1. Элемент реализует данную логич. ф-цию, если появление нулей и единиц на входах и выходе соответствует этой ф-ции (см. табл.). [c.8]

С представлением о логич. элементах связан т. н. агрегатный способ построения Л. с. Из исчислення высказываний известно, что любая логич. ф-ция может быть представлена через нек-рые элементарные. Это дает возможность собирать самые различные Л. с. (путем соединения выходов одних элементов с входами других) с помощью небольшого числа типовых логич. элементов. Для успешного применения этого агрегатного способа построения Л. с. из логич. элементов последние должны образовывать систему, удовлетворяющую след, основному условию набор элементов системы должен иметь такой состав, к-рый допускал бы построение любой Л. с., т. е. реализацию любой ф-ции исчисления высказываний. В исчислении высказываний доказывается существование множества различных полных в указанном смысле наборов элементарных ф-ций. Напр., существуют полные [c.8]

В исчислении предикатов возможно определенным образом группировать предикаты с их аргументами (но не с утверждениями типа здесь светло ), используя в этих целях такие логические связки исчисления высказываний, какИ(Д), ИЛИ( /), НЕ( ), РАВНО( = ) и СЛЕДУЕТ( ). В дополнение к этому требуется ввести квантификаторы, зг-дающие области определения переменных. Например, утверждение РАВНО (х, у) могло бы означать любое из следующих четырех соотнощений все л равны всем у, заданный л равен заданному у, все л равны некоторому значению г/, или некоторые значения х равны любому значению у. Универсальный квантификатор V обозначает, что значения переменных л должны быть рассмотрены, в то время как уже существующий квантификатор л означает, что должны быть рассмотрены лищь некоторые определенные значения х. Например, если истинность выражения РАВНО(х, у) должна соблюдаться на всех значениях х, равных всем значениям у, тогда можно было бы записать это в виде У У1/РАВН0(л , ). Если бы ситуация была такова, что утверждение должно быть ИСТИННО, если конкретные значения л равны определенным значениям у, тогда следовало бы записать хг/РАВНО(х, у). Примерами выражений, записанных в представлении предикатов, являются [c.282]

Как показали еще Биркгоф и фон Нейман [32], появление при Y 3 в качестве матричных элементов действительных чисел и кватернионов подтверждается методом исчисления высказываний. Это наводит на мысль о том, что возможные обобщения обычного для квантовой механики формализма, использующего комплексное гильбертово пространство, можно было бы получить, рассмотрев действительные или кватернионные гильбертовы пространства. Случай действительного гильбертова пространства интенсивно изучался Штюкельбергом и сотр. [390—393]. Особое внимание они уделяли формулировке принципа неопределенности. Полученные ими результаты показали, что подход, использующий действительное гильбертово пространство, приводит в точности к таким же результатам, как и традиционный формализм, использующий комплексное гильбертово пространство. Квантовая механика, основанная на гильбертовом пространстве кватернионов, была исследована Финкельстейном и др. [П8, 120, 121] ). Функциональный анализ, необходимый для [c.70]

Как мы уже говорили в п. 3, элементы алгебры ЗС, удовлетворяющие соотношению Р =Р и называемые высказываниями ), настолько просты, что при разработке аксиоматического подхода к общей теории их можно было бы использовать в качестве структурных блоков теории. Начало этому направлению было положено Биркгофом и фон Нейманом [32]. Им же,следуют в своих учебниках по математическим основаниям квантовой механики Макки [265] и Яух [187]. Интересный анализ такого подхода можно найти в работах Пирона [295] и Вара-дараджана [424, 425]. Плаймен [297, 298] показал, каким образом можно видоизменить алгебраический подход для того, чтобы он удовлетворял основным требованиям, содержащимся в аксиомах Макки и Пирона. Пул [300, 301] сделал ряд критических замечаний относительно практического значения некоторых из обычных аксиом теории структур, используемых в исчислении высказываний, и указал на то, что исчислению высказываний можно было бы придать большую общность, если воспользоваться теорией -полугрупп Бэра. К числу достоинств подхода, основанного на исчислении высказываний, помимо его естественного изящества, следует отнести и то, что он позво- [c.90]

Это положение очевидно с физической точки зрения. Но математически оно тесно связано с тем, что структура всех высказываний слабо модулярна. Ясное понимание данного обстоятельства стало ключом к развитию [295] подхода к физическим теориям, использующего исчисление высказываний, и позволило избежать тех трудностей, с которыми столнулись Биркгоф и фон Нейман [32], исходившие в своей работе из более сильного условия модулярности. [c.93]

Результаты, представленные в п. б и 6, говорят о том, что, если бы мы могли рассматривать (на феноменологической основе) наблюдаемые как самосопряженные элементы И -алгебры, это дало бы нам определенные математические преимущества. Действительно, требование, чтобы С -алгебра Ш была И -алге-брой и, следовательно, допускала точное представление как алгебра фон Неймана, позволило бы ввести в рамках 3 такое мощное средство, как спектральная теорема, на которой зиждется использование традиционного функционального анализа. Если бы подобное требование было подкреплено физическими аргументами, то связь между алгебраическим и другими аксиоматическими подходами к физическим теориям, например подходом, использующим исчисление высказываний, было бы гораздо легче установить. [c.185]

Второй пример, о котором мы хотели бы упомянуть здесь, заимствован из подхода, использующего исчисление высказываний [108]. В отличие от предыдущего примера здесь внимание заостряется не на свойствах относительно преобразований определенного класса состояний, а на свойствах относительно преобразований определенного класса наблюдаемых. В этом формализме симметрия определяется как биективное отображение а множества 9 всех высказываний на 2 на себя, обладающее тем свойством, что а) a[P]относительно симметрии. Если множество 9 реализовано как множество всех операторов проектирования в некотором Ъ(Ж), где — комплексное гильбертово пространство, то утверждение теоремы Вигнера остается в силе и а[Р] = = UPU [c.197]

На сегодняшний день известно множество оригинальных решений сложных технических задач с использованием положений математической логики, которые не могли быть решены традиционными математическими методами. Основное достоинство при этом подходе - упрощение понятия получения целевой функции при истинности исчисления высказываний, основное условие применения - наличие дискретной рекурсивной модели. В нашем случае существующая последовательностная модель является непрерывной, ввиду чего методом математической логики решена быть не может. В предложенной КИ-модели порядок соединения его элементов (поузловых конструктивов) не имеет принципиального значения, так как в результате тривиального перебора состояний учитываются все возможные комбинации соединения элементов, что удовлетворяет условию дискретности. [c.144]

ПС которого могут применяться символы =, ф, >, <, Кванторы существования g н всеобщности V позволяют от-исстм высказывание ко всему рассматриваемому множеству. Так, вырал<еиие 3.<еХ (f x)>a) озмачает, что среди элементов множества X найдется по крайней мере одни, при котором оказывается истинным неравенство, заключенное в скобках. Если использовать квантор всеобщности у хе f(x)>a), то получим высказывание для всех элементов множества X некоторая функция f(x) больше заданного значения а. Неравенство (f(x)>a) представляет собой предикат функция от х больше константы а . Предикат принимает значение истина (1) или ложь (0). Областью определения аргумента х предиката является множество X. Если указанный предикат обозначить Р х) и опустить явное указание области определения X, то получим более принятую в исчислении предикатов запись ЭхР(х) п ухР х). [c.59]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

В. Ритца, следует заметить, что основания для такого высказывания у Рэлея были, потому что именно он разорвал замкнутый круг, когда попытка поставить задачу вариационного исчисления для искомой проблемы приводила вновь к заданному дифференциальному уравнению задачи, поэтому он предложил аппроксимировать вид деформируемой поверхности конструкции, а вводимые неизвестные параметры определять путем минимизации. [c.325]

Согласно знаменитому высказыванию Гильберта (D. Hilbert), всякая задача вариационного исчисления имеет решение, если только слову решение придать соответствующий смысл [196]. Колмогоровские торы являются экстремалями сформулированного вариационного принципа для систем, близких к интегрируемым, и векторов частот ш с сильно несоизмеримыми компонентами. Какое решение имеет поставленная вариационная задача для систем, далеких от интегрируемых, или для ненормально соизмеримых частот Ответ имеется пока в случае двух степеней свободы (Мазер [169], [170], Обри (S. Aubry) [139]). Решением оказался кaнтopo-тop инвариантное множество, получаемое вложением в фазовое пространство канторова подмножества стандартного двумерного тора. Ниже приводятся более точные формулировки. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...