Степень кручения стержня

Кинематические формулы. Исследуем сперва соотношение ме Ж степенью кручения стержня т и кручением его упругой линии. Пусть I, т] п — направляющие косинусы бинормали к этой кривой в точке Pj относительно главных осей кручения и изгиба, взятых также в точке Pj, и [c.399]

Примем, что степень кручения стержня равна нулю, стержень изогнут в главной плоскости и, следовательно, упругая линия будет плоской кривой. Кинетическим аналогом такого стержня будет служить маятник, вес которого равен R и который качается около горизонтальной оси. Движение маятника может быть вполне определено по начальным условиям при помощи интеграла энергии. Равным образом и форма нашего стержня определится по уравнению (3) и условиям на конце. [c.418]

Степень кручения стержня, 398, 400, 413 [c.672]

Предложенная структура пособия принципиально отличается от принятой в учебной литературе, где классификация осуществляется по самим задачам теории упругости (изгиб и кручение стержней, плоская задача, пространственная задача и т. д.), а не по математическим методам их решения. Обратный подход, явившийся одним из основных побудительных мотивов написания этой книги, позволяет сосредоточить внимание читателя на самих методах решения задач, что в большей степени соответствует взгляду на теорию упругости как на специальный прикладной раздел математической физики. [c.8]

Интегрируя эти уравнения, мы найдем и ц как функции третьей степени, а ф — как функцию второй степени 5. Тогда и г определят изгиб, а ф — кручение стержня. Мы сделаем рассматриваемый случай более частным, предположив, что вещество стержня изотропно, но сечение его оставим неопределенным. Обозначим определенный в конце 3 двадцать седьмой лекции коэффициент упругости, т. е. величину [c.355]

Общее замечание. При кручении стержня из упрочняющегося материала простое нагружение не имеет места сохраняется подобие девиатора напряжения, но изменяются направления главных осей. Можно, однако, полагать, что эти отклонения невелики, так как для рассматриваемого сравнительно простого напряженного состояния (чистый сдвиг) схема единой кривой ( И) пригодна последнюю можно аппроксимировать одночленным степенным законом, а тогда по теореме Ильюшина ( 15) нагружение будет простым. [c.129]

Если стержень не является призматическим, т. е. если его профиль меняется по длине, то в поперечных сечениях при растяжении и изгибе возникнут касательные напряжения, и сечения перестанут быть плоскими. В результате нормальные напряжения при растяжении будут распределяться неравномерно, а при изгибе закон их распределения отклонится от известного линейного закона. Точно так же при кручении стержня переменного профиля касательные напряжения в поперечных сечениях будут распределяться по иным законам, чем в призматическом стержне. Во всех случаях степень отклонения от закономерностей, установленных для призматического стержня, тем заметнее, чем резче меняется профиль стержня по его длине. [c.225]

Для установления степени точности рассмотренного выше метода были экспериментально определены напряжения при кручении стержней с поперечными сечениями в виде прямоугольника, круга, эллипса и круговой луночки, для которых известны точные теоретические решения. В ряде точек на контуре и внутри указанных сечений были определены напряжения экспериментальным и теоретическими способами. Результаты сравнения обоих значений напряжений показали, что величина абсолютной погрешности во всех рассмотренных 356 [c.356]

Кроме двух указанных, известны и другие приближенные методы решения задач об изгибе и кручении стержней. С одной стороны, имеются разновидности вариационных методов, а с другой стороны, разработан ряд методов, которые нельзя назвать вариационными. К числу последних относятся так называемые методы малого параметра, сущность которых заключается в следующем. Если, например, один размер сечения значительно превышает другой или модули (или коэффициенты упругости aij) значительно отличаются друг от друга, то вводится малый параметр, характеризующий это различие. Неизвестная функция (г]) или Ф) разыскивается в виде ряда, расположенного по степеням малого параметра в процессе решения задачи высшие степени параметра, начиная, например, со второй, отбрасываются, как величины высшего порядка малости. [c.330]

Всякое деформированное состояние стержня, соответствующее правильным значениям удлинения и кривизны упругой линии и правильному значению степени кручения, может быть получено из описанного выше состояния при помощи смещения, которое в случае тонкого стержня должно быть весьма малым, причем одна точка в каждом сечении и один плоский элемент, проходящий через каждую касательную к упругой линии, остаются несмещенными. Пусть , г , С будут компонентами дополнительного смещения точки Q относительно осей х, у, г с началом в точке Координаты смещенной точки Q, отнесенные к осям (х, у, г), будут [c.406]

При выводе формул (15) и (16) мы пользуемся только такими приближениями, которые следуют из предположения, что деформации малы, в частности малым должно быть удлинение е упругой линии. Непосредственно очевидно, что не все члены в выражении (16) имеют величины одного порядка малости. Прежде всего ясно, что члены —ху, хх, у.у, —х х должны быть малыми иными словами, линейные размеры сечения стержня должны быть малыми по сравнению с радиусом кривизны упругой линии и величиной, обратной степени кручения. Члены х С, щ,. .. также малы. Мы можем, следовательно, отбросить произведение этих величин на и соответствующие уравнения написать в таком виде [c.408]

Указанный способ для вычисления упругого момента предполагает, что отношение толщины стержня к радиусу кривизны и обратному значению степени кручения имеет такой же порядок величины, как малые смещения, которые, вообще, допустимы в математической теории упругости. Только при этом условии стержень может быть выпрямлен, не получая при этом таких деформаций, которые превышали бы указанный порядок величины. Впрочем нет необходимости принимать это предположение, чтобы получить формулы (28), как приближенные формулы для вычисления компонентов упругого момента. Мы можем применить здесь метод 256 и ввести начальную кривизну и начальную степень закручивания при помощи таких равенств [c.414]

Отсюда следует, что если стержень имеет данную степень кручения, а его упругая линия имеет форму винтовой линии, то он может поддерживаться в этом состоянии равновесия динамой, у которой сила и пара определяются по формулам (36) и (37), а ось динамы совпадает с осью винтовой линии. Сила и пара динамы действуют через две твердых пластинки, к которым прикрепляются концы- стержня. [c.432]

Теория спиральной пружины ). Пусть поперечное сечение стержня имеет кинетическую симметрию, так что А=В, w пусть в ненапряженном состоянии стержень имеет форму винтовой линии и такую степень кручения, что при устранении изгиба стержень становится призматическим. Начальное состояние такого стержня определяется следующими формулами [c.433]

Изогнутый по окружности СТЕРЖЕНЬ с постоянной СТЕПЕНЬЮ КРУЧЕНИЯ. Пусть в недеформированном состоянии стержень будет прямым и цилиндрическим. Пусть поперечное сечение обладает кинетической симметрией. На стержень действуют на концах силы и пары. Одной из возможных форм упругой линии будет окружность, причем степень кручения вдоль стержня будет постоянной растяжение при этом отсутствует перерезывающая сила направлена [c.435]

Смещения. Малые деформации стержней, которые вначале были прямыми, мы уже достаточно полно исследовали. Примем поэтому теперь, что в начальном состоянии стержень имеет и кривизну и степень кручения. Как в 259, мы введем систему координат (jt , у , Zp) начало этой системы пусть движется по недеформированной упругой линии со скоростью, равной единице, и при этом ось пусть всегда совпадает с направлением касательной, а оси Хд и у направлены по главным центральным [c.463]

Напряжения, возникающие в стержнях такого рода, за исключением районов сопряжения полос друг с другом, будут близкими к напряжениям в соответствующих точках полос, рассматриваемых независимо одна от другой (при одной и той же степени кручения т). Это прямо следует из мембранной аналогии. [c.273]

Депланация возникает также при кручении тонкостенного стержня. Если депланацию ограничить, например, защемив стержень по торцам (рис. 371), в поперечных сечениях возникнут заметные нормальные напряжения, они создадут противодействующий момент, и жесткость стержня на кручение существенно возрастет. Для сплошных сечений этот эффект проявляется в значительно меньшей степени и поэтому не учитывается. [c.326]

При изучении курса Сопротивление материалов основное внимание сосредоточивалось на анализе напряженно-деформированного состояния прямолинейных стержней при осевом растяжении-сжатии, изгибе и кручении. Решение соответствующих задач было получено с использованием гипотезы плоских сечений. Вопрос о том, в какой степени такие решения согласуются со строгими решениями, удовлетворяющими уравнениям теории упругости, остался открытым. [c.128]

Величина EJx называется жесткостью стержня при изгибе. Как и при кручении, она пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении. [c.171]

Кручение круглых анизотропных стержней исследовано в [76, 77, 79, 169, 235]. С. Г. Лехницким [79] получено решение для стержня с цилиндрической анизотропией при упругих характеристиках, зависящих от радиуса по степенному закону. Им же в [76, 77], а также в [235] рассмотрен более сложный случай, когда в цилиндрически анизотропном стержне модули сдвига зависят не только от радиуса, но и изменяются по длине стержня. Эта задача сводится к определению функции напряжений из уравнения [c.79]

Описанные выше результаты анализа ползучести балки при изгибе и круглого стержня при кручении показывают, что если заменить скорость ползучести 6s на деформацию е, коэффициент ползучести В на обратную величину модуля нормальной упругости 1/Е, а показатель степени ползучести а принять равным 1, то можно получить решение в рамках теории упругости. Если ограничиться только заменой скорости ползучести на деформацию, то уравнение ползучести (4.1) принимает вид [c.100]

Пусть поверхность нагружения описывается уравнением (1.83). Как будет показано в следующем параграфе, и в случае анизотропного упрочнения можно с высокой степенью точности принять, что при кручении сплощных круглых стержней и соответствующем выборе координатных направлений 512 = 521- = т, а]2 = а21 = а, а все прочие компоненты девиаторов Sij, ац равны нулю. [c.32]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Кинематика тойких стержней ). Пусть в неншряженном состоянии стержень имеет цилиндрическое или призматическое сечение, так что соответственные отрезки различных сечений параллельны друг другу. Если стержень только закручен, но ие изогнут, то линейные элементы различных сечений, которые в ненапряженном состоянии были параллельны, будут теперь наклонены друг к другу. Возьмем совокупность линейных элементов, которые в ненапряженном состоянии параллельны друг другу и выходят все из центров тяжести различных нормальных сечений в направлении главных осей инерции. Направления двух таких элементов, лежащих в двух сечениях на расстоянии is друг от друга благодаря деформаций образуют угол e/. Величина Ига называется степенью крученйя стержня. [c.398]

Если стержень и -.огнут и закручен, то мы можем построить в каждой точке деформированной упругой линии систему главных осей кручения и изгиба подобно тому, как это сделано в 252. При этом ось 2- новой системы осей будет совпадать с касательной к деформированной упругой линии, а плоскость (х, г) будет содержать тот линейный элемент, выходящий из точки упругой линии, который в начальном положении совпадал с осью Хд. С помощью этой системы координат мы определим так же, как это было сделано выше, компоненты кривизны деформированной центральной линии и степень кручения стержня. Обозначим компоненты кривизны через 7.5, 7. и через TJ — степень кручения. [c.413]

Вместе с тем обоснование прочности и надежности деталей машин и элементов конструкций при кратковременном, длительном и циклическом эксплуатационном нагружении остается трудно решаемой в теоретическом и экспериментальном плане задачей. Это в значительной степени связано со сложностью детерминированного и стохастического анализа напряженного состояния в элементах конструкций при возникновении упругих и упругопластических деформаций и ограниченностью критериев разрушения в указанных условиях при использовании конструкционных материалов с различными механическими свойствами. Трудности, возникающие при исследовании напряжений и деформаций в наиболее нагруженных зонах в упругой и неупругой области объясняются отсутствием аналитического решения соответствующих задач в теориях упругости, пластичности, ползучести и, тем более, в теории длительной циютической пластичности. К числу решенных таким способо.м задач мог т бьггь отнесены те, в которых определяются номинальные напряжения и деформации при растяжении-сжатии, изгибе и кручении стержней симметричного профиля, нагружении осевыми уси- [c.68]

В работе В. Д. Вылекжанина [34] получены изопериметриче-ские неравенства для нижней и верхней оценок геометрической жесткости кручения стержня в условиях установившейся ползучести в случае степенной зависимости скорости деформации ползучести от напряжения. [c.230]

Природа деформации в изогнутом и закрученном стержне. В теории тонких стержней Кирхгофа большую роль играют особые кинематические уравнения. В связи с ними возникают некоторые трудности. Мы пре.длагаем нижеследующее непосредственное, хотя несколько и громоздкое, исследование в качестве дополнения к кинематической части теории Кирхгофа. Пусть гонкий стержень изогнут, следовательно, упругая линия имеет некоторую кривизну, и, кроме того, закручен, благодаря чему степень кручения получает определенное значение мы установим некоторые ограничения, которые налагаются на деформацию стержня. [c.405]

Представим себе состояние стержня, при котором сечения остаются пло-с ими, нормальными к упругой линии и одновременно с этим подвергнуты екоторой малой деформации в своей собственной плоскости кроме того ( Лждое сечение так ориентировано в нормальной плоскости упругой линии, что степень кручения (в согласии с тем, как она была раньше опреде- 1ена) получит данное значение. Обозначим через х, у координаты какой- ибу,дь точки Q в этом сечении относительно главных осей, проходящих -рез центр тяжести Р. Если сечение указанным способом смещено как иелое, то точка Р займет новое положение Р- , координаты этой последней точки, отнесенные к какой-нибудь фиксированной системе координат, обозначим через х, у, г. Главны оси сечения в точке Р переместятся положение осей -V н у, проходящих через Рр ак указано А 25 , [c.405]

Стержень искривленный в начальном состоянии ). Стержень может иметь в недеформированном состоянии как кривизну, так и кручение. Ось стержня в этом состоянии может быть кривой линией, и главные центральные оси сечения могут образовывать с главной нормалью к кривой углы, которые меняются от точки к точке. Упомянутые главные оси сечения и касательная к кривой центральной линии образуют координатный трехгранник (х , г ,) пусть ось при этом совпадает с направлением касательной. Допустим, что начало этой системы движется по кривой с единичной скоростью. Компоненты угловой скорости координатного трехгранника на мгновенное положение осей пусть будут , Тц. Тогда, У.д будут компонентами начальной кривизны и начальной степенью кручения. Пусть будет кручением упругой линии Иутг—углом, кото- [c.413]

При выводе приближенных выражений для компоненто деформации обознпчим через [7] некоторую величину, имеющую порядок отношения толщины стержня к радиусу кривизны или толщины к обратному значению степени кручения, причем кривизна и степень кручения вычислены для начального или деформированного состояния через [е] обозначим величину порядка компонентов деформации. Величины Т( У, т, у имеют порядок [7] 1 ч)У имеют порядок [г]. Если в выражении отбросить вег величины порадка [ ( ] [е] и [е]2, тогда вместо формул (19) мы получим следующие [c.415]

Рассмотренную задачу об устойчивости можно обобщить, предполагая, что стержень сжат силой R и закручен парой Л (фиг. 60), которые удерживают е о в состоянии, близком к прямолинейному. Кинетической аналогией в этом случае будет симметричный воляок, который движется так, что его ось стоит почти неполвижно. Задача допускает простое решение. Введем неподвижные оси (х, у, z) и пусть ось z совпадает с направлением крутящего момента или с направлением силы R. Упругая линия проходит вблизи осн Z, пересекая ее в концах стержня. Степень кручения т будет постоянной, и момент К можно приближенно положить равным Ст. [c.435]

Это уравнение показывает, что если стержень имеет заданную кривизну, причем кроме конца на стержень нигде внешние пары не действуют, то степень кручения должна определенным образом меняться по длине стержня иными словами, в этом случае заданной кривизне нео.бходимо должна соответствовать определенная (до произвольной аддитивной постоянной) степень кручения. Если пары действуют на конце, кривизна стержня задана и степень кручеиия меняется требуемым образом, то упругие усилия N н N должны иметь значения, определяемые из уравнений (2) 260. Соответствующие силы X, Y, Z н сила Т будут связаны уравнениями (10) 254. Мы должны прибавить к этим трем уравнениям еще одно. Например, мы можем положить Z= 0. Тогда мы получим, что стержень так изгибается силами, нормальными к его упругой линии, что последняя принимает заданную форму, при Этом стержень имеет соответствующую степень кручения. [c.439]

Введение. Исследования в гл. XVIII и XIX преимущественно касались таких деформированных состояний тонкого стержня, при которых имелись значительные смещения упругой линии и значительное кручение случаи, где смещения упругой линии н кручение были малы, рассматривались, как предельные. Именно так состояло дело в теории спиральных пружин ( 271). этих случаях фор,лулы для компонентов кривизны и для степени кручения могут быть получены, как было выяснено выше, если считать упругую линию не удлиненной. Мы дадим ниже систематическое изложение теории таких видов деформации, при которых смещения малы, при этом мы введем некоторые величины для обозначения компонентов смещения точек упругой линии и подчиним их условиям, выражающим тот факт, что упругая линия не имеет удлинения ). [c.463]

Складывая Д и Д, находим, что первая, основная часть прогиба увеличивается пропорционально кубу длины, тогда как / . зависит от длины в первой степени. Отсюда следует, что, испытывая на изгиб балки разной длины, можно выделить величину Д и, следовательно, найти модуль межслойного сдвига ц. Фактически для стеклопластиков получить таким способом надежные результаты не удалось, мелкие экспериментальные ошибки неизбежным образом накладываются и вносят большую погрешность. Пока что, как нам представляется, единственный надежный способ определения ц состоит в испытании на кручение двух стержней прямоугольного сечения с разными отношениями сторон. Способ обработки, описанный в 9.12, позволяет определить по отдельности модуль сдвига в плоскости листа и модуль межслойного сдвига. Так, для однонаправленного углепластика было найдено, что модуль межслойного сдвига равняется 230 кгс/мм тогда как модуль сдвига в плоскости слоя 570 кгс/мм [c.707]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...