Окрестность точки многообразия

Доказательство. Ввиду локальности утверждения теоремы его достаточно доказать в малой окрестности точки многообразия. В малой окрестности точки на контактном многообразии поле контактных плоскостей можно задать дифференциальной формой ш на контактном многообразии. Зафиксируем такую 1-форму ш. [c.323]

Обмотка тора 251 Образ контактной формы 326 Однородность пространства 17 Одночлены внешние 146 Окрестность точки многообразия 73 Оператор дифференциальный 183 [c.470]

На рис. 5.8 показаны зависимости нагрузка—прогиб для четырех значений 0[ (цифры у кривых). Значения прогиба и) определяются в вершине купола. Точками на кривых отмечены уровни нагрузки первичной бифуркации. Сравнение зависимостей нагрузка—прогиб для оптимальных реализаций модели (5.59) с учетом данных табл. 5.10 позволяет отдать некоторое предпочтение проекту с максимальным значением нагрузки первичной бифуркации (01 = 0,8) как более надежному относительно случайных начальных несовершенств геометрической формы конструкции. Впрочем, для окончательной оценки эффективности сравниваемых проектов необходимы детальное исследование поведения конструкции в окрестности точек первичной бифуркации и анализ характера процесса выпучивания конструкции после бифуркации. Соответствующие численные методики, однако, требуют разработки. Сложность и многообразие поведения реальных тонкостенных конструкций при потере устойчивости хорошо известны, поэтому некоторая незавершенность в решении рассмотренной задачи имеет основания. [c.246]

Первая особенность критической системы — невозможность выбора обобщенных лагранжевых координат на многообразии 8 ) (естественно, что в окрестности точки О невозможен выбор даже локальных координат). [c.324]

Если нас интересует лишь вопрос об устойчивости многообразия состояний равновесия, то нет необходимости отыскивать точное решение системы уравнений (2.14). Как следует из вышеизложенного, для этого достаточно исследовать поведение функций Vi (/) в малой окрестности поверхности Ощ- Но в первом приближении поведение этих функций определяется корнями характеристического уравнения (2.16). Если действительные части всех корней к = = 1,2,. .., 2 (/г — т)) отрицательны, то функции У/ (/) будут представлять или экспоненциальное затухание или колебательный процесс с убывающей амплитудой. Поэтому изображающая точка, находящаяся в малой окрестности поверхности От состояний равновесия, будет при / -> + оо стремиться к поверхности От- В этом случае многообразие состояний равновесия будем называть асимптотически устойчивым. Если же среди корней рк найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то многообразие состояний равновесия будет неустойчивым. [c.272]

До сих пор мы говорили о глобальных свойствах векторных полей на многообразиях. Можно анализировать локальное топологическое поведение траекторий векторных полей. Для векторных полей из некоторого открытого плотного подмножества в пространстве Х М) можно описать поведение траекторий в окрестности каждой точки многообразия. Кроме того, локальная структура траекторий не меняется при малых возмущениях поля (так называемая локальная грубость). Таким образом, получается полная классификация через топологическую сопряженность. [c.146]

Рассмотрим множество М, заданное уравнениями Рг = Яг = О-Дифференциалы йрг и йдг в точке х линейно независимы, так как и (/ йрг, I йдг) = ( 1, р ) = 1. Итак, по теореме о неявной функции в окрестности точки эс множество М является многообразием размерности 2п — 2 мы будем обозначать его [c.202]

По предположению индукции на симплектическом многообразии со Ui) в окрестности точки ж существуют симплектические координаты. Обозначим их pi, (г = 2,. . ., п). Продолжим функции pzi. . ., на окрестность точки ж в следующим образом. Каждую точку s окрестности точки ж в можно единственным образом представить в виде = где го G е а S и I — малые числа. Значения координат Pz Яп в точке положим равными их значениям в точке w (рис. 179). [c.203]

Итак, пусть I, т] из ТМ — касательные к риманову многообразию М в точке X векторы. Построим на М малый криволинейный параллелограмм Пе- (Стороны параллелограмма Пе получаются из векторов е , ет) касательного пространства при координатном отождествлении окрестности нуля в ТМ . с окрестностью точки X на М). Рассмотрим параллельное перенесение вдоль сторон параллелограмма Пе (обход начинаем с ). [c.272]

Пусть I — вектор, касательный к риманову многообразию М в точке X, V — векторное поле, заданное на Л/ в окрестности точки X. Ковариантная производная поля V по направлению вектора I определяется с помощью какой-либо кривой, выходящей из точки X со скоростью . [c.273]

Определение. Контактная структура на многообразии — это гладкое поле касательных гиперплоскостей ), удовлетворяющее некоторому условию невырожденности, которое будет сформулировано позже. Чтобы сформулировать это условие, посмотрим, как вообще может быть устроено поле гиперплоскостей в окрестности точки Л -мерного многообразия. [c.315]

Пример. Пусть N = 2. Тогда многообразие — это поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в окрестности точки устроено всегда одинаково и весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости. Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых па многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства при помощи диффеоморфизма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия. [c.315]

Для каждой точки х р множество Ох, определенное формулой (8), является окрестностью точки х на многообразии М. Так как локальные слон И х(е) и Ц7 (е) непрерывно зависят, от точки х А, то существует такое 6 > О, не зависящее от X, что 1/х Вх(2д) для любой точки (см. [13, лемма 4.1]). Ввиду этого из плотности подмногообразия в множестве Л следует, что [c.167]

Замечание. Локальные устойчивые и неустойчивые многообразия определены неоднозначно, и, вообще говоря, нет никакого канонического в том или ином смысле способа выбирать их. Однако, как немедленно следует из пунктов (3) и (4) этой теоремы, для любых двух локальных устойчивых многообразий, скажем, и удовлетворяющих заключению теоремы, их пересечение содержит открытую окрестность точки х в каждом из них. Иными словами, можно сказать, что для некоторого п О выполнены условия r(W (f "(x))) с и Г(W U- x))) с Более того, такое число п может быть выбрано одним и тем же для всех х б Л. То же, конечно, верно и для локальных неустойчивых многообразий с заменой п на -п. [c.273]

Предложение 6.4.11. Если х, у е А и геУ х)Г У у), то пересечение Ц (х)П у) содержит открытую окрестность точки г в обоих многообразиях. Подобное утверждение верно для локальных неустойчивых многообразий. [c.273]

Топологическое свойство состоит в том, что в одномерном пространстве малая окрестность точки делится этой точкой на две компоненты связности, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной. [c.387]

Покажем, что множество IV = Т Л плотно в Т . Для этого рассмотрим ре А я любую открытую окрестность точки р. Тогда существует точка д е г/р периодическая для Р. Пусть ее период равен п. Устойчивое многообразие Ь точки д (относительно Р), таким образом, /"-инвариантно [c.540]

Доказательство леммы 20.4.2. Пусть т = dim М. Сначала заменим шары В х, е, п) множествами, с которыми легче работать. Для каждой точки х М рассмотрим подходящие координаты в окрестности точки X, как это делалось в п. 19.1 г. Подобно случаю периодической точки (теорема 6.2.3) мы можем выбрать эти координаты так, чтобы локальные неустойчивые многообразия W (a ) параметризовались в координатах некоторым диском из плоскости R X 0 и локальные устойчивые многообразия W " x) —диском из 0 Если точка параметризуется как (у,, 2 ) R X К" , то найдутся такие константы с,, j > О, не зависящие от точек хну, что [c.639]

Следствие Д3.6. Пусть хеМ — гиперболическая точка и0 е е х). Если V —допустимое (и, у)-многообразие в окрестности точки х для некоторого 7 6 (О, е/Х х, е)], то f(y)r R f x)j — допустимое и, ее /Х х, е))-многообразие в окрестности f x). Кроме того, существует такое число я х)> 1, что если у, г [c.672]

Следствие Д3.9. Пусть х М—гиперболическая точка и 0 е4 е х). Если V —допустимое з, у)-многообразие в окрестности точки х для некоторого [c.673]

Предложение Д4.8. Для данных 5 uh существует такое P=I3 S, h)>Q, что если х, y Ag таковы, что d y, f (х))<Р и f x)eAg для некоторого т 0, и Wa — допустимое и, 7, 5, h)-многообразие в окрестности точки г с 7 = 7(5), то многообразие W,, определенное соотношениями [c.675]

П Л (/ - ( ). Л)), i = 2,..., m - 1, ,=/( о - )ПЛ(2/,Л/2). представляет собой допустимое (и, 7, 5, h)-многообразие в окрестности точки У- [c.675]

Предположим, что при малых е>0 точка Q исчезает, а при е<0 распадается на две невырожденные. Пусть ty — окрестность точки Q, в которой определено проектирование n w- WQ вдоль слоев сильно устойчивого слоения Fq диффеоморфизма /о на его центральное многообразие. Окрестность w делится многообразием Wq на две части w nw, определяемые требованиями K/ora zty, nfo w ( w. Поскольку все точки на — гомоклинические, то для любой дуги Fdw существует такое к, что дуга / Г принадлежит W-. [c.120]

Пусть на многообразии М задана гладкая кривая I — x t), проходящая через точку л ЛГ, т. е. удовлетворяющая условию т(0) = X. Вводя в окрестности точки X систему координат, получим описание кривой при помощи числовых ф-ций i — 1,. .., п. Такая кривая определяет в точке хкасательный вектор X, а. числа — dx (t)/dt t o являются компонентами этого вектора по отношению к данной системе координат. Разумеется, другая кривая, t x(i), проходящая через точку х и касающаяся первой кривой в этой точке (т. е. такая, что dx t)/dt t o = dx (i)/(ii .,o)i определяет тот же самый касат. вектор. Поэтому вектор X соответствует целому пучку касающихся друг друга кривых. Все касат. векторы в данной точке х g М образуют векторное пространство размерности п, называемое касательным пространство м и обозначаемое Касат. вектор является геом, объектом, т. е. он не зависит от системы координат его компоненты при переходе от одной координатной системы к другой преобразуются по закону [c.163]

Тем самым полностью описано поведение фазовых траекторий на многообразиях 5 и /. Вне этих многообразий фазовые точки приближаются к / вдоль 5+ и затем удаляются от / вдоль >5". Это в случае, когда рФО и дФО. В случае р = 0 или д = О все фазовые траектории уходят от многообразия / либо, напротив, к нему приближаются. Особый интерес представляет случай д = О, когда многообразие 8 отсутствует, а многообразие совпадает со всем фазовым пространством (некоторой окрестностью точки равновесия О °) и фазовые траектории экспоненциально приближаются к интегральному многообразию /. Если из этой малой окрестности при возрастании времени фазовые траектории не выходят, то каждая из них экспоненциально приближается к некоторой фазовой траектории на интегральном многообразии /. Следовательно, асимптотическое поведение фазовых траекторий вблизи равновесия 0 определяется асимптотическим поведением фазовых траекторий только многообразия и в этом смысле фазовый портрет окрестности равновесия О определяется фазовым портретом окрестности 0 на многообразии /. При р + д = пт1р =6т1дФ0 состояние равновесия седлового типа. При д = 0 оно устойчивое, а при р = 0 неустойчивое. Поведение фазовых траекторий во всех этих случаях было описано выше, соответствующие фазовые портреты при одинаковых р ш д будем считать одинаковыми. Установлено, что такие фазовые портреты топологически изоморфны, т. е. могут быть преобразованы друг в друга с помощью взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. [c.98]

Из вида характеристического уравнения непосредственно следует наличие шести нулевых корней, обусловленных шестимерностью многообразия состояний равновесия. Остальные корни, определяющие устойчиюсть многообразия, удовлетворяют уравнению (2.56), в котором опущен множитель р . В достаточно малой окрестности точки X = у =. .. = ф = о поверхности 0 это уравнение имеет вид [c.294]

V ( , 1,. . ., х ), решающую вопрос (это наблюдается и в других исследованиях сомнительных случаев, как, например, в работах И. Г. Малкина, Г. В. Каменкова), но в случае неасимптотической устойчивости всегда привлекается первый метод здесь в окрестности точки покоя появляется и интегральное многообразие (состоящее из интегральных кривых), которое оказывается асимптотически устойчивым. Хотя, как теперь доказано (Н. Н. Красовский, 1959), и в случае неасимптотической устойчивости существует функция Ляпунова, решающая вопрос, но мы не знаем, как ее построить. [c.73]

В заключение мы отметим метод, созданный Н. Н. Боголюбовым. В 1945 г. Боголюбов предложил для систем весьма общего вида новый метод доказательства существования интегрального многообразия и изучения качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности этого многообразия. Метод Боголюбова позволяет и фактически построить решение в окрестности интегрального многообразия, т. е. этог метод является значительным развитием первого метода или новым первым методом. Кстати, здесь у Боголюбова, как и у Ляпунова, возникают характеристические числа, совокупность которых и определяет качественную картину вблизи некоторой точки или периодического решения. И если имеется т характеристических чисел с отрицательной вещественной частью, то имеется т-параметрическое семейство решений, асимптотически приближающихся к стационарной точке или периодическому решению. Работы в этом направлении, объединяемые так называемой киевской школой, сейчас нелегко и обозреть. По изучению интегральных многообразий глубокие исследования провел Ю, А. Митропольский и его ученйки, которые рассматривали вопросы существования интегральных многообразий и их устойчивость как в смысле Ляпунова, так и при вариации правых частей дифференциальных уравнений и притом для весьма разнообразных > колебательных систем. Здесь устойчивость интегральных многообразий в смысле Ляпунова является аналогом того, что мы видели во всех сомнительных случаях у Ляпунова (но у Боголюбова и Митропольского рассматриваются системы более общего вида). Устойчивость же интегральных многообразий при вариации правых частей уравнений является задачей нового типа. [c.82]

Пусть Е - достаточно малая окрестность рассматриваемого векторного поля X в X (М). Как уже кратко отмечалось, в первоначальном определении грубости, данным Андроновым и Понтрягиным, требуется еще, чтобы при достаточной малости окрестности Е гомеоморфизм, осуществляющий топологическую эквивалентность между X и , мог быть сделан сколь угодно близким к тождественному в - топологии (т.е. сколь угодно мало сдвигал точки многообразия Л/). Так как вариант этого требования предложен Пейксото, в тех случаях, когда надо уточнить, какой именно вариант грубости имеется в виду, говорят о фубости по Андронову-Понтрягину и о грубости по Пейксото. Однако в настоящее время не совсем ясно, действительно ли эти варианты различаются между собой и имеет ли один из них существенное преимущество перед другим. [c.145]

Окрестностью точки лшогообразия называется образ при отображении ф С/ М окрестности изображения этой точки на карте и. Мы будем предполагать, что у каждых двух разных точек многообразия есть непересекающиеся окрестности. [c.73]

Тем самым мы представили часть пространства-симплектизации над рассматриваемой окрестностью точки контактного многообразия в виде прямого произведения этой окрестности и прямой без точки. [c.323]

С. Ли доказал, что всякое пуассоново многообразие локально (в окрестности точки, где размерности симплектических листов постоянны, например — в окрестности точки общего положения, где размерности максимальны) разлагается в прямое произведение симплектического листа и дополнительного пространства, на котором все скобки Пуассона нулевые. [c.424]

Теорема (О. П. Щербак, 1982). График многозначной) функции времени в аадаче об обходе препятствия, ограниченного плоской кривой общего положения, в окрестности точки перегиба кривой диффеоморфен многообразию 2. [c.463]

Некоторые свойства центральных движений. Легко видеть, что каждая точка многообразия М попадает в любую данную окрестность совокупности центральных движений по крайней мере однажды в течение любого промежутка времени постоянной, достаточно большой длины. В самом доле, любая точка попадает в окрестность Мг равномерно часто, потому что всякое движение, припадлсжащсс Мг, прибли кается к Мг равномерно часто, и, следовательно, то же справедливо относительно движений, близких к Мг. Продолжая таким же образом дальше, мы видим, что свойство равномерного приближения имеет место для совокупностей Мг, М2,. .. Если эта последовательность продолжается до М , то то же справедливо и для М . В самом деле, так как М есть предел последовательности убывающих замкнутых совокупностей, то в любой окрестности М лежит какой-нибудь М , и, следовательно, любая окрестность М будет в то же время окрестностью М . Но так как произвольная точка попадает в любую данную окрестность М равномерно часто, то же самое будет справедливо и для М . Продолжая то же рассуждение для ..., М 2,. .., М.,., [c.200]

Ситуация по существу не меняется для дифференцируемых отображений гладких многообразий. Единственное отличие состоит в том, что вместо стандартной системы координат в R нужно использовать соответствующие локальные системы координат в окрестности точки и ее образа. Ту же идею можно выразить более инвариантным способом, описывая дифференциал Df отображения f М М как линейное отображение касательного пространства Т М в пространство Если / является диффеомор- [c.28]

Таким образом, устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической неподвижной точки могут быть определены в чисто топологических терминах. Поскольку теорема 6.2.3 описывает исключительно динамику в окрестности точки р, она может быть переформулирована в локальных терминах. А именно, можно ввести такие координаты в некоторой окрестности точки р (с началом координат в р), что E (Df ) и E Df ) касательны к координатным плоскостям R х 0 и 0J х соответственно. Теорема 6.2.3 в этой локальной (или евклидовои) форме становится тогда частным случаем главного результата этого параграфа — теоремы 6.2.8. Гладкие подходящие координаты получаются нз координат -ф i7—из доказательства теоремы 6.2.8, в которых является графиком некоторой функции R — R, а WJ4 — графиком некоторой функции ip М -> 1R , после перехода от переменных (ж, у) е R R к (х, у ) = х - tp y), у - <р х)). [c.247]

Теорема 6.5.5. Пусть М представляет собой гладкое многообразие, множество U С М открыто, отображение f U- M является вложением upeU — гиперболическая неподвижная точка с соответствующей ей трансверсальной гомоклинической точкой д. Тогда в произвольно малой окрестности точки р существует подкова для некоторой итерации отображения /. Кроме того, гиперболическое инвариантное подмножество этой подковы содержит некоторую итерацию д. [c.282]

Заметим, что в случае проективной плоскости поднятие д на ориентируемое двулистное накрытие также является периодической точкой, так что мы можем сразу считать, что многообразие М ориентируемо. Рассмотрим маленький трансверсальный отрезок 7, содержащий д. В силу непрерывности отображение возвращения на этот отрезок определено в некоторой окрестности точки д в 7. Выберем одностороннюю окрестность I точки д настолько малой, что первая точка пересечения с 7 не содержится в I, ИО бесконечно многие ее образы возвращаются в I. Параметризация этой окрестности параметром нз [О, 5) дает непрерывное отображение / по-лзгинтервала [О, 6) на полуинтервал [О, 8 ) с неподвижной точкой 0. Орбита точки р дает бесконечно больщое количество точек х 6 (О, 5), для которых х) < X, поэтому либо /(х) < X для всех х 6 [О, 5), либо полуинтервал [О, 6) содержит неподвижную точку у. Последний случай невозможен, так как тогда отрезок [О, у] будет инвариантен относительно / и, следовательно, найдется инвариантное относительно потока кольцо, которое отделяет орбиту точки д от орбиты р, так что д ш р). Но если /(г) < х, то все точки X 6 (О, 5) положительно и монотонно стремятся к 0. Так как времена возврата на / ограничены, это значит, что отрезки орбиты точки р между двумя последовательными возвратами сходятся к орбите д, так что ш р) совпадает с орбитой д. [c.456]

Доказательство. Сначала докажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий для Р состоит не более чем из одной точки. Будем рассуждать от противного и предположим, что у 6 И "(х) П И (х) и уф X. Выберем окрестность Р точки х с локальной структурой произведения, которая не содержит у. Поскольку множества Р) = г У г)ПР ф ф0 и Р) = г г)ПРф0 открыты, Ш (Р)пШ (Р) представляет собой окрестность точки у. Так как по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в = Т", существует поднятие у /-периодической точки из множества И (Р) П И (Р) Р. Но П Р 0 и И (у) ПРф0, так что благодаря наличию стр туры произведения на Р найдется точка х W y ) П П Р. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что у 6 х) П 1У (х), уфх я х — поднятие неподвижной точки отображения / (быть может, после перехода к некоторой итерации). Меняя, если нужно, поднятие Р отображения /, мы можем считать, что х — неподвижная точка отображения Р. -гомоклиническая точка у по следствию 6.5.6 является неблуждающей точкой, так что, поскольку периодические точки плотны в iVW(P), найдется периодическая точка г отображения Р вблизи у. Но если п — период г, то тем самым показано, что отображение Р" имеет две неподвижные точки, вопреки лемме 18.6.3. [c.591]

Мы будем писать А с если А с W° p) для некоторой точки реМ. Аналогично мы используем понятия открытости, компактности, непрерывности и измеримости для множеств и функций, определенных на неустойчивом слое иногда мы будем писать множество W° -открыто и т. д. Таким образом, W° -окрестность точки р М — это -открытое множество, содержащее р. Положим (W ") = / M-+R множество supp(/) С W° компактно, ограничение /Lpp(/) непрерывно . Функция расстояния на слое W° (p), индуцированная римановой структурой этого многообразия, будет обозначаться d ", а через Л " мы обозначим меру (Лебега) на каждом неустойчивом слое W (p), индуцированную римановым объемом на этом слое. Множество В° (р, г) = д б W° (p) d "(p, g) < г — г-шар с центром в точке р в W° (p). Это определение переносится также и на другие слоения (W , W , iV ). Подобно отображениям голономии для случая диффеоморфизмов в п. 19.2 б, если точки х,уеА достаточно близки, то существует корректно определенное отображение голономии Н е)-+ W° y), z ь- W (z)r В° (у, S), где е и 5 зависят от а и у. [c.644]

Доказательство. Пусть Wq — допустимое (и, 7, 5, Л)-многообразие в окрестности точки х. Из предложения Д 3.5 следует, что W, — часть такого многообразия W. 6 и, (Г(х)), что = / ( ,(graphT), где г Q x, Л/2)-> — Q x,h/2) принадлежит классу С. По следствию Д 4.6 W, —часть допустимого (и, 7, 5, /1)-многообразия в окрестности точки у. Пусть Vl = ,(graph ip), где tp 6 (( (а , h/2), Q x, h/2)). Теперь продолжим WJj до такого допустимого (и, 7, 5, /1)-многообразия Wq в окрестности х, что [c.675]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...