Полутраектория отрицательная

Пусть Е (л , е)—полуинтервал оси R" , являющийся максимальной областью определения отрицательной полутраектории 4>jr,e со значениями в U [c.40]

Предельная точка отрицательной полутраектории Ф(р, t) Р>/ > — оо называется а-предельной точкой траектории Ф(р. t). [c.12]

Точку Мо мы иногда будем называть концом полутраектории. В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является ли она положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через и или Ьщ. [c.35]

Определение И. Точка М называется предельной точкой положительной отрицательной) полутраектории ( ), если при всяком е > О и при всяком У > О е С/е М) имеется по крайней мере одна точка полутраектории Ь ) отличная от точки М или совпадающая с ней), соответствующая при любом выборе движения на траектории значению времени > Т С — Г). [c.103]

Из определения 11 следует, что если точка М является предельной точкой положительной полутраектории то либо а) существует последовательность различных точек полутраектории Ь+, соответствующих значениям времени к =1, 2,. . . ) таких, что М —>М, а >оо при к- оо, либо б) сама точка М соответствует бесчисленному множеству значений 1=1) таких, что — -1-оо при к—> оо. Аналогично обстоит дело с предельной точкой отрицательной полутраектории. [c.103]

Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки. Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные на плоскости или произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку. Если полутраектория лежит целиком в области 0 с С, то и предельные точки ее принадлежат области С,. [c.103]

Определение III. Точка М называется предельной точкой траектории L, если она является предельной точкой для положительной полутраектории L+ или отрицательной полутраектории L, выделенной из L. В первом случае точка М называется также (о-предельной, а во втором [c.104]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

Л е м м а 4. Если точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о расположены на части дуги о, лежащей по положительную отрицательную) сторону траекторий Ьо- то точки пересечения той же полутраектории Ь+ с дугой без контакта I также расположены на части дугу I, лежащей по положительную отрицательную) сторону от о- (На рис. 60 точки пересечения полутраектории Ь с дугами 1о и I лежат по отрицательную сторону от Ьо-) [c.110]

Определение IV. Мы будем говорить, что траектория Ьд является предельной для полутраектории и с положительной отрицательной) стороны, если на дугах без контакта, проведенных через точки траектории Ьо, тючки полутраектории и лежат по положительную отрицательную) сторону от Ьд. Мы будем также говорить, что траектория Ьо является со- или а)-предельной для траектории Ь с положительной стороны, если Ьо является предельной с положительной стороны для полутраектории Ь Ь ), выделенной из траектории Ь. [c.110]

Мы можем без ограничения общности считать, что V есть круг с центром в точке О, внутри и на границе которого не содержится других состояний равновесия кроме точки О (так как О — изолированное состояние равновесия). Обозначим граничную окружность круга II через а. Покажем сначала, что существует положительная или отрицательная полутраектория, целиком лежащая в 11. Допустим, что такой полутраектории нет. Пусть о — окружность с центром в О, лежащая в 7 (т. е. внутри а), М — произвольная ее точка, Ь — траектория, проходящая при 1=1 через М (рис. 70). В силу сделанного допущения траектория Ь выходит из области и как при убывании, так и при возрастании Рассмотрим дугу АВ этой траектории, где А — ближайшая по < к значению точка входа Ь в О, а В — ближайшая по к значению to точка выхода Ь из П (эта дуга кроме своих концов А и В, через которые траектория Ь входит в О и выходит из и, может иметь внутренние точки, лежащие на окружности о. Тогда в этих точках траектории Ь касается окружности а (рис. 70)). Обозначим расстояние от точки О до дуги АВ траектории В через / (М). f (М) является положительной функцией, определенной на окружности о. [c.118]

Для решения поставленной нами задачи достаточно выяснить, каково возможное поведение отрицательной полутраектории [c.196]

Как было указано, для нас представляет интерес поведение отрицательной полутраектории q = q(i), 0 = 0 (г) (t с to) системы (23), расположенной в полосе Q. Из первого из уравнений (23), очевидно, следует, [c.197]

Положительная (отрицательная) полутраектория называется орбитно-устойчивой, если она является полутраекторией ш (а)-орбитно-устойчивой траектории. [c.259]

В случае, когда к состоянию равновеспя О стремится отрицательная полутраектория и у этой полутраектории есть общие с кривой С точки, мы совершенно так же будем говорить о последней обп ей с кривой С точке полутраектории Ь 1>. [c.263]

Полутраектория может быть продолжаема но отношению к окружности С с одной только стороны, иапример, с положительной, или с обеих сторон, и с положительной и с отрицательной. [c.266]

О). В самом деле, тогда и вокруг каждой точки полутраектории L+ можно было бы указать такую окрестность, чтобы все пересекающие эту окрестность траектории не выходили бы из ео-окрестности L , что невозможно по самому выбору числа ео. А отсюда следует, что в случае, когда полутраектория L+ орбитно-неустойчива, все траектории, пересекающие либо часть дуги Я,, лежащую по положительную сторону L i, либо часть дуги Я,, лежащую по отрицательную сторону L i (либо и туи другую части дуги Я,), при возрастании t выходят из окружности С. Теорема доказана. [c.267]

Если обе полутраектории L%i и Ь м , входящие в границу сектора g. положительны (отрицательны), то при положительном обходе кривой о на одной из этих полутраекторий индуцируется направление, совпадающее с направлением по t, а на другой — противоположное направлению по t (рис. 158). [c.268]

Если одна из полутраекторий L% положительна, а другая Lu— отрицательна, то при положительном обходе кривой о индуцированное на этих полутраекториях направление либо на обоих совпадает с направлением по t, либо на обоих противоположно направлению по t (рис. 159). [c.268]

Пусть одна из рассматриваемых полутраекторий положительна, например а другая — отрицательна — - [c.269]

В случае, когда дуги без контакта I и / лежат по отрицательную сторону полутраекторий у и Ь 1 соответственно, полутраектория Ь г называется продолжением полутраектории по отношению к окружности С — с отрицательной стороны. [c.270]

О п р е д е л е н и е XX. Если полутраектория Ь является продолжением полутраектории L+ с положительной (отрицательной) [c.275]

Всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновеспя О, может иметь не болое двух продолжений — одного с положительной, а другого — с отрицательной стороны. [c.276]

Всякую орбитно-неустойчивую полутраекторию, стремящуюся к состоянию равновесия О, мы будем называть сепаратрисой этого состояния равновесия. При этом положительную полутраекторию будем называть ш-сепаратрисой состояния равновесия О, а отрицательную -сепаратрисой состояния равновесия О. Мы будем также называть сепаратрисой [c.277]

Лемма 13. а) Вокруг каждой точки неособой целой дуги траектории А, отличной от концов этой дуги., существует окрестность, через все точки которой проходят неособые целые дуги траекторий, пересекающие те же граничные дуги без контакта, что и дуга Л. б) Вокруг каждой точки неособой полутраектории Ь+, конец которой лежит на граничной дуге или цикле) без контакта, существует окрестность, через которую проходят неособые положительные полутраектории, концы которых лежат на той же дуге или цикле) без контакта, что и конец полутраектории (Такое же утверждение справедливо и для отрицательной полутраектории.) [c.296]

Вспомогательная область g строится следующ,им образом пусть Ру и 7 2 — точки траектории Ь, соответствующие при некотором выбранном на и движении значениям и параметра I > t ). Обозначим через g множество точек области g, не принадлежащих отрицательной полутраектории Ьр и положительной полутраектории Множество [c.307]

ПО отрицательную сторону полутраектории Ьр , а дуга МВ — по положительную ее сторону (рис. 184). [c.308]

В п. 7 1 мы ввели термины положительная полутраектория, отрицательная полутраекторпя, просто полутраектория, и ввели обозначения для них. Мы будем пользоваться этими же терминами и обозначениями и в случае сферы. [c.66]

Если через все точки некоторой окрестности состояния равновесия О проходят только положительные (отрицательные) полутраекторип, стремящиеся к нему, то такое состояние равновеспя называется топологическим узлом ). При этом топологический узел называется устойчивым, ссли все стремящиеся к нему полутраектории пологкптельны, и неустойчивым, если все стремящиеся к нему полутраектории отрицательны. [c.327]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

С этим уравнением мы уже встречались дважды (9.8.7) для /с > О и (9.9.14) для А < 0. Зпак к, конечно, существен между задачей о притяжении и задачей об отталкивании имеется существенная разница. Что же касается знака р, то он не играет особенно важной роли, поскольку замена р на —р и на —t приводит к тому же самому уравнению. Положительная полутраектория (траектория для положительных значений t) в одной задаче такая же, как отрицательная полутраектория (траектория для отрицательных значений t) в другой задаче, отличающейся знаком р. Будем считать, что р > О ). [c.185]

Читься. ЧТО одно из чисел Т , или оба они несобственные). Будем называть множество точек Ф(р. t) Tj < i < Tj траекторией системы (1.2) и обозначать Ф(/>. Iq). Множество точек Ф р, t) О i Гз будем называть положительной полутраекторией. Аналогично определяется отрицательная полутраектория. [c.11]

Уравнение кривой в п а-раметрической фор-м е или уравнение траектории. Если добавлено условие i>0, то это положительная полутраектория, исходящая из точки 1,. . ., Х ), если <0, то отрицательная [c.557]

В случае, когда траектория Ь является состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная полутраектории, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекто-рию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутой полутраекторией, а полутраекторию, выделенную ня замкнутой траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией. [c.35]

В дальнейшем, для краткости, мы будем через М 1) обозначать точку траектории, соответствующую значеншо параметра 1. Кроме того, все доказательства, относящиеся к свойствам полутраекторий (а иногда и сами формулировки этих свойств), мы будем давать только для положительных полутраекторий, не оговаривая каждый раз, что они справедливы и для отрицательных. [c.103]

Наряду с этим сепаратрисой седла называют также любую положительную полутраекторию, выделенную из траектории Ьс или Ьс (такие полутраектории называются со-сенаратрисами), и любую отрицательную полутраекторию, выделенную из траектории Ьщ или с-, (а-сепаратрисы). При этом обычно все со-сепаратрисы (или все а-сепаратрисы), выделенные из одной и той же траектории (например, все а-сепаратрисы, выделенные из дц), не считают отличными друг от друга. При таком условии каждое седло имеет всегда в точности четыре сепаратрисы — две а- и две ю-сепа-ратрисы ). [c.160]

Совершенно аналогичное онределение дается в случае, когда дуга без контакта I лежит по отрицательную сторону полутраекторип L, а также в случае, когда рассматриваемая полутраектория является отрицательной полутраекторией, стремящейся к состоянию равновесия О. [c.266]

Мы будем называть продолжением полутраектории Ь относительно окружности Сне только саму полутраекторию /уд7-, ной траекторию из которой нолутраектория Ь г выделена. Очевидно, полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия, не может иметь более двух продолжений по отношению к данной окружности С — одного с положительно , другого с отрицательно стороны. [c.270]

Следующая лемма сформулирована в предположении, что рассматривается положительная полутраектория Полностью аналогичное утверждение может быть доказано и для отрицательной полутраекторип. Окружность С, полутраектории Ьм, дуга без контакта I и т. д. в этой лемме имеют тот же смысл, что и выпге. [c.270]

I, лежащую по положительную отрицательную) сторону полутраекторип Ь и при возрастании I выходят из окружности С. т. е. полутраектория Ь продолжаема с положительной отрицательной) стороны относительно окружности С, то непременно существует отрицательная полутраектория Ь м, являющаяся продолжением Ь с положительной отрицательной) стороны относительно окружности С. [c.270]

Доказательство. Для доказательства леммы нужно показать, что существует отрицательная полутраектория Ь , стремящаяся к состоянию равновесия О и удовлетворяющая определению XIX. Предположим для определенности, что дуга I, конец Q которой лежит на Ь 1, паходится по положительную сторону полутраектории Ь . Возьмем на дуге I последовательность точек стремящихся к точке Q. По предположению траектория при i = о проходящая через любую из точек Qi, при / > [c.270]

Дальнейшие предложения мы формулируем только для положительных полутраекторий, продолжаемых по отношению к некоторо окружности с положительной стороны. Полностью аналогичные предложения справедливы и для полутраекторий (как положительных, так и отрицательных), продолжаемых относительно некоторой окружности с отрицательной стороны. [c.272]

Всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновосия О, может являться продолжением не более чем для двух полутраекторий, и нри этом для одной с положительной, а для другой с отрицательной стороны. [c.276]

Если полутраектория выделенная из траектории L, стрем1[тся к состоянию равновесия О и продолжаема с положительной (отрицательной) стороны, то траектория L называется со-продолжаемой с положительной (отрицательной) стороны. При этом полутраекторпя L -, являющаяся продолжением полутраектории L+, а также траектория L, из которой выделена полутраектория L , называется со-пр одолжением полутраектории L+ с положительной (отрицательной) стороны (илп полутраекторией и траекторией, являющейся о-иродолжсипем траектории L). Совершенно аналогично определяется а-продолжаемая траектория и ее а-продолжение. [c.276]

В силу леммы 4 и леммы 5 3, если точка А дуги АМ достаточно бли.з-ка к точке М, то траектория а-, проходящая через эту точку, в некоторой точке М пересекает дугу Г, а затем при убывании I пересекает в некоторой точке К часть дуги I, лежащую так же, как и дуга Г, по отрицательную сторону траектории Ь. Далее, если точка В дуги МВ достаточно близка к точке N, то траектория Ьв, проходящая через точку В в некоторой точке N ", пересекает дугу Г, а затем при убывании < пересекает часть дуги I, лежащую по положительную сторону траектории Ь в некоторой точке В". Отметим, что траектории Ьа- и Ьв заведомо отличны от траектории Ь, так как по самому выбору дуг V и I" на них кроме концов М нет больше точек траектории Ь . Кроме того, по самому выбору дуги , она не имеет общих точек с полутраекториями и Ь р . Рассмотрим множество точек, состоящее из части А А дуги 5, дуги А В траектории Ьа, части В В" дуги I, дуги В "В траектории в и части В В дуги 5 (рис. 184). Это множество есть континуум, этот континуум состоит из точек области д и не имеет общих точек с полутраекториями Ьр. и Р2, следовательно, все его точки принадлежат области g. В случае, когда части МА и МВ дуги лежат по одну сторону от полутраектории Lя , а также в случае, когда дуга имеет общие точки с полутраскто-рией Ь р или с обеими полутраекториями р, и р,, существование континуума, соединяющего точки Л и и лежащего целиком в области g , доказывается аналогично. Отсюда, очевидно, следует, что множество есть область. Пользуясь теоремой 54, а также самим определением области , нетрудно убедиться, что граничными точками являются точки континуумов 7 1 и АГг и точки полутраекторий p и Полу- [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...