Статистическая средняя равенства

Вычисляя квантово-статистическое среднее от обеих частей последнего равенства, мы придем к следующему уравнению [c.305]

Взяв статистическое среднее от обеих частей этого равенства, получим [c.108]

Чтобы проиллюстрировать использование этих соотношений при вычислении статистических средних, рассмотрим среднее от произведения 1) а t ), которое фигурирует в выражении для функции корреляции первого порядка. Если подставить Ь [1) = = (О и М (О = а(0 в (15.35), то, учитывая равенство (15.23), [c.163]

Поскольку импульсный отклик hk t) инвариантен ко времени, выходной процесс z/f(t) бу,дет стационарным процессом. Эргодичность процесса Zi подтверждается равенством временного и статистического среднего zl i). Статистическое среднее по ансамблю выборочных функций x t) [c.252]

Экспериментальные исследования титановых сплавов [127], показывают, что в интервале 0,4 < (Of / <5(12) < 0,75 относительных уровней напряжения при растяжении и изгибе разных по форме образцов из марок титановых сплавов величина Kis = 30 МПа-м / . Статистическая проверка нулевых гипотез о равенстве средних значений величин Kis и дисперсии по критериям Стьюдента и Фишера при уровне значимости 5 % показала, что нулевые гипотезы принимаются. [c.253]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

Движение взвешенной частицы. Среди различных статистических расчетов, которые мы производили, мы могли бы поместить и вопрос о распределении энергии между молекулами тела — жидкого или газообразного. Применение прежнего способа рассуждения привело бы нас к закону Максвелла. Мы могли бы также, если бы у нас было время, рассмотреть случай, где не все молекулы тождественны, т. е. случай смеси. Основным результатом — ограничимся тем, что сообщим его — было бы равенство между средними кинетическими энергиями, приходящимися на различные молекулы, каковы бы они ни были. Мы могли бы также применить те же методы к эмульсии и нашли бы, что энергия ее частицы должна равняться, в среднем. [c.66]

Другой приближенный способ решения — метод статистической линеаризации — является обобщением на стохастические нелинейные задачи метода гармонической линеаризации, применяемого в детерминистической теории колебаний. Нелинейные функции в исходном уравнении заменяются линейными выражениями f и) ku, которые в некотором смысле дают наилучшее приближение. В качестве критериев обычно используют условия равенства дисперсий (f) = k (м ) или минимума среднего квадратического отклонения линейной функции [c.80]

Корректировка расчета должна основываться на статистическом подходе, предложенном в работе [47 ]. В принципе ряд блоков схемы (способы схематизации, учет асимметрии и другие) вводятся для корректировки формулы (2,8), основанной на гипотезе суммирования повреждений и предназначенной для нагрузочного режима с симметричным циклом. Для повышения точности расчета могут быть использованы различные методы, при этом основными критериями для выбора вида корректирующей зависимости должны быть равенство средних значений и минимальная дисперсия отклонений фактических и рассчитываемых ресурсов. [c.47]

Очевидно, что при контакте поверхностей разрушаться будут только те неровности, которые отвечают условию > а. При этом, если микрорельеф поверхности остается неизменным, то при разрушении микронеровностей должны возникать углубления, т. е. разрушается не только вершина, но и некоторая часть поверхности, расположенная на глубине, под выступом. Это углубление и создает новые неровности, которые по своей средней высоте отвечают исходным. Обозначим величину возникающего углубления 1J. Тогда при статистическом постоянстве микрорельефа поверхности должно соблюдаться равенство [c.18]

Термодинамические соотношения для квантового канонического ансамбля выводятся аналогичным образом. Исходным является равенство (1.3.51). Дифференцируя его по Т и используя выражение (1.3.59) для статистической суммы, находим среднюю энергию в каноническом ансамбле [c.64]

Охарактеризуем здесь кратко главное содержание задач, т. е. охарактеризуем главные утверждения, лежащие в основе статистической механики отношение этих утверждений к принципам микроскопической механики является предметом названной выше общей задачи. Эти утверждения состоят, прежде всего, в требовании равенства средних временных и средних эргодических, т. е. любая физическая величина, характеризующая рассматриваемую в статистической механике систему, имеет среднее во времени значение, равное среднему значению этой величины на поверхности заданной энергии (при усреднении по поверхности с обычной, так называемой эргодической [c.17]

Идея метода статистической линеаризации состоит в том, что сушественно нелинейная функция аппроксимируется соответствующей линейной функцией, которая в статистическом (вероятностном) отношении эквивалентна нелинейной исходной функции. За условие статистической эквивалентности линейной и нелинейной функций принимается равенство их моментов первого и второго порядков, т. е. статистически равноценными считаются такие две функции, у которых средние и средние квадратические значения при заданном законе распределения аргумента равны. [c.37]

Рассуждения, приведшие к равенству (8.5.10), можно обобщить на случай не четырех, а восьми переменных, и тогда мы придем к выводу, что средние амплитудных и фазовых членов могут вычисляться по отдельности (т. е. сумма членов, содержащих логарифмические амплитуды, является статистически независимой от суммы фазовых чле. ов). Напомним, что этот вывод основан на предположении об однородном и изотропном распределении турбулентности. Учитывая, что сумма членов, содержащих логарифмические амплитуды, и сумма фазовых членов подчиняются гауссовскому распределению, мы можем показать [с помощью выражения (8.5.14) и некоторых алгебраических преобразований], что [c.424]

Все эти обстоятельства подлежат дальнейшему тщательному анализу в гл. П. Здесь же отметим только, что основная часть исходных данных, необходимых для расчета годовой дополнительной прибыли, как это ясно из приведенных особенностей их оценки, принципиально не может быть абсолютно точной. Полученные изменения характеристик работы производства служат оценками статистических характеристик случайных процессов, которыми являются технико-экономические показатели производства. Средние квадратические погреш-. ности этих оценок либо рассчитываются по длительности экспериментов, либо оцениваются другим путем. Как известно, средняя квадратическая погрешность сГф любой функции ф х) от случайных независимых аргументов х Хх,. .., Хп приближенно определяется из равенства [c.28]

Условия принятия каждого из этих заключений получают на основе статистической проверки гипотез о равенстве средних [c.15]

При этом среднее статистическое от любого оператора А, составленного из операторов фононов bt и определяется равенством [c.613]

Используя равенства (1.33), легко можно найти статистические характеристики процессов (t). Так, для их средних значений имеем [c.184]

О статистических характеристиках разностей Л и можно все же высказать некоторые приближенные утверждения, весьма просто проверяемые и имеющие широкую область применимости. А именно, можно воспользоваться тем, что как в случае большинства искусственных турбулентных течений (течений за решеткой в аэродинамической трубе, турбулентных струй, течений в трубах, каналах, пограничных слоях и т. д.), так и в случае атмосферной турбулентности пульсации скорости имеют, как правило, заметно меньшую величину, чем типичная средняя скорость. Поэтому можно надеяться, что во всех таких случаях без большой ошибки можно воспользоваться приближенным равенством и (J p, Iq) ( о т. е. заменить щ средней скоростью и в точке (j q, t ). Далее, турбулентные пульсации в фиксированной точке Xq в течение небольшого промежутка времени (ip. 0 + " ) можно попробовать приближенно представить как результат переноса через эту точку с постоянной скоростью и (Xq, iq) = u и без искажений турбулентных возмушений, расположенных в начальный момент вдоль луча J , выходящего из j q и направленного обратно направлению вектора и. Как уже указывалось на стр. 15—16, такое представление было впервые использовано Тэйлором (19386) в применении к турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе с тех пор допущение о его законности называется гипотезой Тэйлора или гипотезой замороженной турбулентности (так как согласно этой гипотезе турбулентные образования в системе отсчета, движущейся со скоростью и, считаются замороженными , т. е. не меняющимися во времени). На самом деле, разумеется, турбулентные возмущения не переносятся осредненным течением без искажений как одно целое, а постепенно эволюционируют в процессе переноса, изменяя свою форму. Смысл гипотезы [c.332]

Число циклов до разрушения N при постоянных напряжениях и температуре имеет существенное рассеяние (в 2—5 раз), связанное со статистической природой усталости. В равенстве (99) под N следует понимать среднее число циклов до разрушения. [c.569]

С целью термодинамического обоснования приближения среднего поля выведем феноменологическое уравнение (5.4) из статистической суммы (5.2). Основное допущение (см. [1.28] и [2]) состоит в отсутствии корреляции между спинами на соседних узлах, за исключением лишь условия, что среднее по ансамблю значение каждого спина отлично от нуля. Для модели Изинга это означает, что полные числа спинов -Ь и — фиксированы согласно равенству (1.22), [c.177]

Ситуация усложняется тем, что правая часть указанного равенства содержит (г — 1) слагаемых. Однако поскольку они статистически независимы, уравнения можно упростить, введя характеристическую функцию [ср. с формулой (5.165)]. Последняя определяется следующим средним по ансамблю [c.445]

Задачи, которые ставит и решает статистическая термодинамика (термодинамическая статистика), можно охарактеризовать следующим образом. Исходя из определенных представлений о строении и механизме снстемы, например газа, кристалла или излучения, определить значения различных физических величин в состоянии термодинамического равновесия, при данных внешних условиях — заданной температуре, объеме и т. д. При этом величипы, характеризующие термодинамическое равновесие, рассматриваются как средние от тех или иных функций координат и импульсов нашей системы. Термодинамические равенства сохраняются при этом как точные равенства, но относящиеся только к этим средним значениям. Это дает возможность ввести в статистическую теорию все термодинамические величины температуру, энтропию, свободную энергию и т. д. [c.163]

Здесь наряду со знаком плюс появляется и знак минус. Знак минус появляется в том члене, в котором оператор попал в антикоммутатор нечетным числом перестановок. Вычисляя квантово-статистическое среднее от обеих частей последнего равенства, мы придем к следующему уравнению [c.312]

Совергаенно иначе будет стоять вопрос в том случае, когда условие постоянства математических ожиданий наругаается. Трактовка его по целому ряду причин осложняется прежде всего, сама многолетняя средняя в значительной степени теряет свой статистический смысл, так как устойчивость ее зависит теперь не только от случайной компоненты, но и от того, насколько выражены систематические тенденции во временных изменениях рассматриваемого метеорологического элемента. Другое осложнение выражается в том, что в нрибли-женные равенства (3) и (4) проникают систематические погреганости, зависягцие от быстроты изменения уровней. Наконец, вопрос о параллелизме систематических изменений изучаемого метеорологического фактора на двух станциях может в некоторых случаях обстоять весьма сложно. [c.77]

Удовлетворительным решением задачи выяснения связи принципов статистической физики и принципов микроскопической механики можит быть лишь такое решение, которое исходит из единой точки зрения при ответах на главные вопросы этой задачи. В большинстве работ, посвяш енных этой теме, постановка вопроса охватывала только часть обш ей задачи главным образом это было или установление равенства средних временных средним фазовым (так называемая проблема эргодичности) или попытки доказательства if-теоремы (проблема необратимости). Методы, применяемые для решения разных частей общей задачи, и делаемые при этом предположения были обычно совершенно различны и не связаны между собой. [c.17]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

Тензоры типа и не являются деформациями и напряжениями, пригодными для инженерных расчетов. Объем их усреднения мал по сравнению с объемом характерных неоднородностей в реальных кристаллах, например зернами. Поэтому для перехода на практический уровень задачи требуется произвести статистическое усреднение по объемам V 3> Уд. Как указано выше, такую процедуру целесообразно осуществлять в пространстве угловых переменных оз. Если считать, что справедлива схема, аналогичная модели Райсса, то можно допустить равенство напряжений для всех микрообластей У в объеме V, имеющих различные угловые ориентации оз. Тогда средние деформации в объеме У должны находиться суммированием по всему множеству Уо, содержащемуся в У. [c.27]

Левая часть этого равенства снова называется в р еменной средней, а правая часть — статистической с р е д н е й. [c.602]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

В силу своей однородности (т.е. равенства весовых множителей для всех узлов) эта модель типа льда может быть решена методами гл. 8. Действительно, как было замечено в конце разд. 8.1, вершины типов 5 и 6 должны встречаться попарно, будучи соответственно стоками и истоками горизонтальных стрелок. Таким образом, весовые множители W5 и появляются только в виде комбинации W5W5. Это означает, что статистическая сумма не изменяется при замене каждого из множителей W5 и на их среднее геометрическое. Тогда, используя (12.4.3а) и (8.3.3) (и замечая, что последовательность вершин на рис. 12.9 совпадает с рис. 8.2 при подходящем повороте изображений), получаем, что 2N Представляет собой статистическую сумму модели типа льда на -У в отсутствие внешнего поля со следующими весовыми множителями [c.340]

Предположим для простоты, что любая постоянная компонента поля, например среднее значение потенциала, исключена из рассмотрения, т. е. среднее значение равно нулю. Это среднее значение можно представить в виде интеграла по большодгу, но конечному объему V, в котором определен вектор К, или в виде интеграла по статистическому ансамблю очень большого числа одинаковых объемов в таком ансамбле величина в любой точке пространства принимает все возможные свои значения. Утверждение о равенстве двух указанных интегралов основывается на существовании эргодической гипотезы. [c.136]

Внутри каждой группы, входящей в статистический (дисперсионный) комплекс, тоже обнаружится варьирование, вызванное влиянием на признак не регулируемых в опыте факторов. Зависимость между этими источниками варьирования вы-разитсЯ равенством Dy=Dx- -De, где Dx — межгрупповая девиата, представляющая собой сумму квадратов отклонений групповых средних (их общее число — а) от общей средней X комплекса, взвешенную на численность вариант в группах п, [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...