Теория случайные величины, вероятность

Точное и адекватное описание внешних воздействий и несущей способности материала конструкции требует привлечения методов теории вероятностей. В связи с этим на первый план выступает такая характеристика конструкции, как надежность, мерой которой является вероятность безотказной работы. В последние годы получили большое развитие методы расчета надежности конструкций, основанные как на теории случайных величин, так и на теории случайных функций. [c.3]

Перейдем теперь к одному из важнейших понятий теории вероятности — понятию случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно [9]. Случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно пронумеровать, называется дискретной (прерывной). Если возможные значения случайной величины непрерывно заполняют какой-то промежуток, то она называется непрерывной случайной величиной. [c.101]

Нормальное распределение (рис. 28) (часто называемое гауссовским) играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающееся на практике распределение. Даже в тех случаях, когда распределение заведомо не является нормальным (например, для механических характеристик материала, которые всегда положительны), им нередко пользуются для приближенной замены реальных законов распределения, так как усечения обычно невелики. Кроме зтого, если случайная величина распределена нормально, то распределение остается нормальным и после линейного преобразования случайной величины (включая операции дифференцирования и интегрирования). [c.107]

Более глубокое изучение таких нагрузок возможно лишь с помощью методов статистики и теории вероятности, которые применяются для изучения случайных величин. [c.12]

Основная идея этого метода состоит в следующем. Величины, входящие в уравнения прочности, жесткости и устойчивости, как-то нагрузки, характеристики свойств материала, геометрические характеристики сечений,— рассматриваются не как величины постоянные, строго определенные, а как случайные величины (статистические совокупности), обладающие известной, иногда довольно значительной изменчивостью (рассеянием). Изучение таких величин возможно лишь на основе методов теории вероятностей. [c.338]

Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин [c.96]

Из курса теории вероятности известно, что функция распределения, так же как и плотность распределения, являются исчерпывающими характеристиками случайной величины. Однако во многих случаях достаточно полными характеристиками случайных величин оказываются моменты распределений [c.280]

Теория вероятностей дает широкий ассортимент различных законов распределения случайных величин, которые могут быть использованы и для решения задач надежности. В табл. 10 приведены законы распределения, получившие наибольшее применение в теории надежности. Здесь t = Т — срок службы (наработка) до отказа случайная непрерывная, положительная величина. Основанием для использования того или иного закона распределения и оценки его параметров служат обычно опытные [c.125]

Если величины и о распределены нормально, то учитывая известные из теории вероятности соотношения между коэффициентом вариации случайной величины и средним квадратическим оы лоне-нием ее логарифма [c.66]

Однако вычисление вероятности безотказной работы по формуле (4.15) в больщинстве случаев приводит к серьезным аналитическим трудностям. Если число элементов достаточно велико, можно воспользоваться известной в теории вероятности центральной предельной теоремой. В соответствии с этой теоремой сумма достаточно большого числа случайных слагаемых имеет приближенно нормальное распределение (для практических задач уже 10-12 слагаемых обычно бывает достаточно). Если известны среднее значение величин , равное Г, и ее дисперсия о , то сумма п таких случайных величин будет иметь среднее значение пТ и дисперсию по , т.е. искомая вероятность приближенно может быть записана как t [c.155]

В теории вероятности ковариацией двух случайных величин хиу называется [c.159]

Иное дело — выбор оптимальных статистических методов и операторов при проектировании комплекса обратной связи, осуществляемой с использованием вероятностной информации, с переработкой физических сигналов в команды для регулирующих устройств. Прежде всего это не производственная, а чисто техническая проблема, в которой полностью отсутствует организационный аспект, а экономический аспект сводится к детерминированной функции одного, реже нескольких технических параметров. Во-вторых, если говорить о математическом аспекте, особенно на непрерывных процессах, то на первый план выходит не теория распределения вероятностей случайной величины, а теория случайных функций. [c.245]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

Как известно из теории вероятностей, математическое ожидание (/И. О.) алгебраической суммы любых случайных величин равняется алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых величин [c.109]

Для упрощения вычислений примем во внимание, что ошибка положения, происходящая от перекосов, есть функция многих случайных величин. Поэтому имеются некоторые основания применить предельную теорему теории вероятностей и считать, что ошибка подчиняется закону распределения Гаусса независимо от законов распределения слагаемых. В таком случае существует простая связь между средним арифметическим и средним квадратическим отклонениями [c.111]

Теоретико-вероятностные и статистические понятия и термины, используемые в дальнейшем изложении и относящиеся к характеристикам случайных величин, соответствуют в общем приведенным в ЭСМ, т. 1, кн. 1-я в статьях Сведения из теории вероятностей" и Обработка опытных данных и способ наименьших квадратов", а именно (в скобках даются страницы указанного тома) [c.598]

Станколит с соответствующими вероятностными характеристиками. Закон распределения времени срабатывания отдельного механизма t и цикла линии в целом Т близок к нормальному. Поэтому случайные величины t и Т могут характеризоваться основными параметрами нормального закона распределения, а именно, средними значениями 1 и Т и средним квадратическим отклонением о и сг этих величин. Это дает возможность, используя положения теории вероятностей, находить по известным законам распределения времени срабатывания отдельных механизмов, из которых состоит линия, закон распределения времени цикла линии, т. е. прогнозировать среднюю продолжительность цикла и максимальную величину разброса. [c.142]

Теория вероятностей дает основание считать, что погрешность, получающаяся при обработке, является случайной величиной, зависящей от большого числа производственно-технологических фа кто-. ров. [c.135]

Чтобы уметь управлять свойством ремонтопригодности необходимо располагать набором показателей. Количественные характеристики показателей ремонтопригодности, как и других показателей надежности, являются случайными величинами. Поэтому для их определения привлекается математический аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания. [c.37]

В последние годы все более широко начали применяться количественные методы прогнозирования ремонтопригодности машин. Предпосылкой этого процесса явилось распространение методов теории вероятностей и математической статистики на решение задач качества и надежности при проектировании, производстве и эксплуатации машин. Характеристики качества и надежности машин, в том числе и характеристики ремонтопригодности, рассматриваются как случайные величины, описываемые определенными законами распределения. Такой подход позволил прежде всего разрешить с необходимой математической строгостью вопросы оценки характеристик ремонтопригодности на стадиях испытаний или по данным эксплуатации машин. Таким образом была конкретизирована задача прогнозирования — появились количественные величины, значения которых необходимо предсказывать. [c.142]

Вычисление вероятности получения значений величины в указанных границах, когда известна одна из полных характеристик случайной величины, — решается элементарно на базе теорем сложения вероятностей. [c.39]

На основании известной формулы теории вероятностей закон распределения произведения двух независимых случайных величин (11.56) определите следующим образом [c.397]

Найдем теперь среднее значение и дисперсию суммарного времени простоя до выполнения задания. Воспользовавшись известным результатом из теории вероятностей о том, что математическое ожидание суммы случайного количества одинаково распределенных случайных величин равно произведению математических ожиданий [22], получим [c.120]

Технологические процессы можно исследовать на динамических моделях. В основу таких исследований положен анализ временных закономерностей. Динамические характеристики процессов обработки могут быть вычислены на основе теории случайных функций, являющейся, как и теория случайных величин, одним из разделов теории вероятностей. Примените аьно к автоматическому оборудованию они могут быть использованы для оптимального управления, повышения точности прогнозирования, улучшения качества продукции и надежности процесса обработки. [c.93]

Выбор метода построения модели должен учитывать особенности системы функциональных связей, характер распределения случайных значений Х/, а также требования к объему информации о выходных показателях У/. Для задач вероятностного анализа ЭМУ уу = /у (х,-) представляется в общем виде, как было видно из предыдущих рассуждений, сложными и нелинейными уравнениями, для которых не может быть гарантирована явновыраженность и дифференцируемость. Входные параметры являются, как правило, непрерывными в границах поля допуска случайными величинами, а вероятностные законы их распределения могут быть в принципе различны. Для выходных показателей обычно требуется полная статистическая характеристика на основе методов, используемых в теории вероятностей. [c.131]

Так называемые статистические теории прочности были разработаны первоначально в целях описания результатов испытаний на усталость и предсказания прочности элементов машин, находящихся под действием переменных нагрузок. Краткие сведения об усталости были сообщены в одном из параграфов предпоследней главы ( 19.10). Здесь мы заметим, что результаты испытаний обнаруживают большой разброс, и поэтому современная точка зрения на расчет изделий состоит в том, что мы не можем с абсолютной достоверностью гарантировать прочность изделия, а можем лишь утверждать, что вероятность его разрушения достаточно мала. В основе одной из таких статистических теорий лежит гипотеза слабого звена. Существо этой гипотезы состоит в следующем. Тело мыслится составленным из большого числа структурных элементов, каждый из которых имеет свою локальную прочность. Разрушение всего тела в целом происходит тогда, когда выходит из строя хотя бы один структурный элемент. Для массивных тел такое предположение чрезмерно упрощает фактическое положение дел для разрушения тела как целого, вероятно, необходимо, чтобы вышла из строя некоторая группа элементов, именно так строятся более сложные и совершенные теории. Но для моноволокна гипотеза слабого звена правильно отражает существо дела. Прямое микроскопическое обследование поверхности волокна — борного, угольного или иного — показывает, что на волокне всегда имеются разного рода дефекты — мелкие и крупные. Эти дефекты расположены случайным образом. Прочность образца волокна длиной I определяется прочностью его наиболее слабого дефектного места и, таким образом, является случайной величиной. Результаты испытаний партии из некоторого достаточно большого числа волокон п представляются при помощи диаграмм, подобных изображенной на рис. 20.3.1. Число волокон, разорвавшихся при напряжен1[и, ле- [c.689]

При турбулентном движении жидкости скорость, давление и другие величины в каждой точке потока претерпевают нерегулярные пульсирующие изменения около некоторых средних значений. Поэтому для исследования турбулентных потоков возможно целесообразно использовать понятия теории вероятности в этом случае мгновенные значения механических характеристик рассматриваются как случайные величины,, а средние значения определяются как математические ожидания ). Чаще, однако, средние значения определяются как обычные средние по времени. Промежутки времени, за которые производится осреднение, должны быть достаточно большими по сравнению со временем отдельных пульсаций и должны быть малыми по сравнению со временем заметного изменения средних величин, если осреднённое движение нестационарно ). [c.127]

Согласно определению теории вероятностей, начальные несовершенства — случайные величины, как показывают исследования реальных систем, достаточно малые по сравнению с соответствующими номинальными величинами, определяющими свойетва элемента. Например, для стержня, нагруженного на концах сосредоточенными силами, приложенными в центрах тяжести поперечных сечений (рис. 1.2), можно считать [c.30]

Опыт показывает, что многократно повторяя измерение некоторой величины, мы получаем следующее отношение числа результатов измерений, которые попадают в любой выделенный интервал значений, к общему числу измерений, т. е. относительная частота попадания в выделенный интервал, является приблизительно постоянным числом, причем указанное отношение характеризуется определенным законом распределения. На этом основании к изучению как самих результатов измерения, так и их погрешностей применяют теоретико-вероятностную модель. Другими словами, появление в процессе многократных измерений того или иного значения величины является случайным собы-тием, которое можно исследовать с помощью теории вероятностей. В свою очередь, и погрешность измерения также является случайной величиной. [c.71]

Напомним ряд формул из теории вероятностей. Рассмотрим непрерывную случайную величину X, принимающую значения только из промежутка (а, 61 и имеющую функцию плотности распределения вероятности р (л ), а также вторую случайную величину Л, связанную с X функционально швисимостью Л = г з (X). Математическое ожидание величит, Л — Е X pa 4HTbiBiieT H по формуле [c.186]

Расчет размерных цепей на основе теории вероятностей и математической статистики базируется на правилах суммирования случайных величин, хара.ктеризующих рассеивание размеров. Такой расчет обеспечивает увеличение полей допусков звеньев [c.232]

Кинематические цепи в отличие от размерных характеризуют векторным видом погрешностей. Основой математически обоснованного метода расчета случайных погрешностей размерных и кинематических цепей является суммирование в соответствии с правилами теории погрешностей независимых составляющих погрешности конечного звена цепи, т. е. отклонение размера замыкающего звена размерной цепи или положения ведомого звена кинематической цепи. При этом отклонения в размерах деталей в пределах допусков изготовления подчиняются законам распределения случайных величин погрешностей и должны суммироваться согласно формулам теории вероятностей. Величины, характеризующие центры группирования (наиболее вероятные иогрешности), должны суммироваться алгебраически, например 222 [c.222]

По виду используемой для определения ИПО информации. Существующая теория восстановления основана на информации о случайных величинах времени наработки на отказ 6,, т. е. основана на прямом методе измерения вероятности события (отказа) по частоте его наступления. Предложенные выше формы основного уравнения восстановления являются уравнениями косвенного измерения ИПО, в которых в качестве исходной информации используются данные о СП й (г) и 2 (t). Это позволяет применять для определения характеристик ПО большой объем информации о работоспособности элемента и эксплуатационных нагрузках, получаемой в ходе эксплуатации. Практически любая информация, допускающая описание условий отказа в виде критериев типа (8.4), может быть использована для спределения характеристик ПО. [c.142]

Статистическая обработка результатов исследования проводилась методами теории вероятностей. При этом предполагалось, что случайные величины распределяются по нормальному закону. При вычислении статистических характеристик постоянной времени выхода на заданное сближение поверхностей скольжения и времени его переходного процесса принималось односторонне усеченное нормальное распределение. Точка усечения распределения постоянных времени принималась равной 0,5 сек, а времени переходного нроцеса — 1 сек. [c.41]

Очевидно, что уже предварительный анализ зависимости (2) и характеристик рассеивания отдельных факторов позволит сделать полезные суждения о влиянии каждого из них на величину и рассеивание сил. В данном случае для определения искомого спектра сил мы встречаемся с необходимостью определения вероятностной характеристики величины Р, связанной функциональной зависимостью (2) с системой случайных величин (Afj М2 о Спр А, Ро). Если ориентироваться на решение такой задачи путем аналитического расчета методами теории вероятностей, то обычно возникают большие математические трудности, особенно если исходные распределения случайных величин отличаются от нормальных. Применение метода статистических испытаний (Монте-Карло) [4, 5] позволяет избежать этих трудностей и сравнительно просто с помощью ЭЦВМ выполнить численное решение для любых исходных распределений. Этот чрезвычайно эффективный метод не нашел еще должного применения в практике инженерных расчетов и обычно не изучается в курсе высшей мате-матики машиностроительных вузов. Учитывая вышеуказанное, покажем практические особенности такого расчета для рассматриваемого случая. [c.161]

Дйвляйщем большинстве he отображают какйх-либо реальных схем возникновения случайных явлений или других объективных закономерностей (за исключением, может быть, некоторых схем урновых задач), а получены чисто умозрительным путем формальных математических обобщений ради достижения наибольшего разнообразия внешнего вида кривых для лучшей подгонки их под получаемые эмпирические распределения. Такая подгонка может служить только примитивным целям грубого внешнего описания наблюденного результата, но никак не целям проверки теории практикой и научного выявления этим внутренней сущности и объективных закономерностей исследуемых явлений. В силу этого применение на достигнутом сейчас уровне развития теории вероятностей и, в частности, теории законов распределения случайных величин, устарелых путей, воплощенных в системах Фехнера, Пирсона, Шарлье, представляется нецелесообразным. [c.153]

Рассмотрим теперь характеристики Тср, t-p и inp. Учитывая, что суммарная наработка системы tp есть сумма независимых одинакова распределенных случайных величин, и, используя теоремы теории вероятностей о математическом ожидании и дисперсии сумхмы независимых случайных величин, имеем [c.164]

МАТЕМАТЙЧЕСКИИ МАЯТНИК — см. Маятяик. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ (среднее значение) случайной величины — числовая характеристика случайной величины, Если X = Х(ш) — случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (П, К, Р) (см. Вероятностей теория), то её М. о. МХ (или ЕХ) определяется как интеграл Лебега [c.62]

Теории веройтаостей величина, значения к-рой зависят от случая, причём определены вероятности всех её значений. Примерами являются число выпадеций решки при 10-кратном случайном бросании монеты или расстояние, на к-рое случайно движущаяся броуновская частица отошла от своего начального положения за время t. [c.559]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...