Частные производные термодинамических функций

При температурах вблизи абсолютного нуля третий закон определяет поведение большинства частных производных термодинамических функций. Независимость от обобщенных сил [c.57]

II. Из записанных выше полных дифференциалов непосредственно выводятся частные производные термодинамических функций и, Н, F и G, а именно [c.39]

Частицы координата 61 Частные производные термодинамических функций 14 Четность 92. [c.552]

Из них получаются также другие неравенства, позволяющие определять знаки термодинамических величин и сопоставлять их значения. Известные соотношения дают возможность распространить такие ограничения на все свойства системы, которые выражаются непосредственно через частные производные характеристических функций. Например, из (13.17) и (13.1) получается, что [c.127]

Из уравнений (8.53) следует, что объем, внутренняя энергия, энтальпия и энтропия двухфазной системы зависят от л и Т (или р), т. е. являются функциями двух независимых параметров. Вообще состояние равновесия двухфазной системы определяется двумя параметрами, в качестве которых может быть выбрана любая пара переменных р. Г, и, х, кроме р, Т, которые независимы одна от другой. Из этого, в частности, следует, что все установленные в 3.5 зависимости между частными производными термодинамических величин для случая независимых переменных у и Г (но не р и Г) имеют силу и для двухфазных состояний. [c.271]

Лучше всего рассматривать величину Gi просто как частную производную математической функции, представленной равенством (19.4), не пытаясь интерпретировать ее физически. В этом смысле Gi можно рассматривать как наклон соответствующей касательной к гиперповерхности, определяемой равенством (19.4). Ясно, что величина Д,-, по определению равная Gi, является интенсивной характеристикой открытой фазы в заданном устойчивом состоянии. В разд. 19.12 мы установим связь между этой величиной и другой, уже известной нам термодинамической характеристикой — с мембранной молярной функцией Гиббса g[. Причина, по которой величина щ названа химическим потенциалом, станет ясной в разд. 19.15. [c.348]

Рассмотрим основные термодинамические потенциалы применительно к процессу упругой деформации сплошной среды. Известно, что если наряду с тензорами напряжений, деформаций и абсолютной температурой рассматривать энтропию в качестве четвертой величины, характеризующей состояние деформации S то можно построить четыре функции, каждая из которых определяется двумя из четырех переменных, характеризующих состояние де форм ации две же другие Переменные состояния получаются из этой функции посредством частных производных. Эти функции называются основными термодина- мическими потенциалами выражения для их плотностей записываются следующим образом [c.39]

Если из этих уравнений исключить функции X, то остается Р(г—1) уравнений равновесия Гиббса. Каково, с другой стороны, число переменных, от которых зависят эти частные производные Термодинамический потенциал -й фазы Ф, — аддитивная функция, т. е. однородная функция по массам первой степени. Поэтому [c.57]

На протяжении всей книги мы будем использовать соотношения между частными производными термодинамических величин. Получение таких соотношений напоминает приятную игру, и многие из них полезны при нахождении интересующих нас величин из величин, легко поддающихся измерению. Допустим, что нам известен объем как функция давления и температуры [c.107]

Термодинамическое состояние системы характеризуется термодинамическими потенциалами. Особенность этих величин (характеристических функций) заключается в том, что их изменения при различных процессах не зависят от пути и промежуточных состояний, а зависят лишь от того, из какого начального в какое конечное состояние переходит система. Все термодинамические параметры системы - давление Р, объем V, температура Т и т.д. -могут быть получены как частные производные термодинамических потенциалов. Отправной точкой метода термодинамических потенциалов служит основное уравнение термодинамики для равновесных процессов [c.47]

Выразить полный дифференциал термодинамической величины ф в функции ее частных производных по двум произвольно выбранным независимым переменным л и у, используя математическое уравнение [c.150]

Полный дифференциал термодинамической функции может быть получен подстановкой соответствующих выражений для частных производных в уравнение (5-2). [c.152]

Если для вычисления изменений термодинамических функций используют экспериментальные данные, выраженные через остаточный объем, то частные производные также удобно выразить в функции а вместо общего объема. Интегралы могут быть затем вычислены с помощью кривых, выражающих зависимость и от р и г, подобно кривым, изображенным на рнс. 20. [c.160]

Критерий равновесия, выраженный через свободную энергию Гельмгольца, применим к системе только при условии постоянства температуры и объема. Однако химический потенциал может быть отнесен к другим термодинамическим функциям при иных ограничивающих условиях. Согласно уравнению (7-56), критерий равновесия может быть выражен через любую из следующих частных производных, определяющих химический потенциал [c.238]

Возможность расчета с помощью фундаментального уравнения всех термодинамических свойств гомогенной системы заложена в самом способе его вывода. Действительно, все упоминавшиеся ранее термодинамические силы являются частными производными функции и(5, V, п) по сопряженным с ними независимым переменным — термодинамическим координатам. Если ввести общее обозначение для термодинамических сил Z=(7 , —X, 111) и для термодинамических координат q=(5, v, n), то правая часть (9.1) приобретает вид, напоминающий выражение для работы (5.7) или (5.13) [c.76]

Пользуясь указанными методами, нетрудно показать, что через функции U S, v, n) или S((7, v, п) и их частные производные по независимым переменным в явном виде выражаются любые термодинамические свойства однородной системы. Например, из (5.20) Су= dil дТ)хг, поэтому [c.78]

Действительно, термодинамические параметры — число частиц N T, а, i) и внутренняя энергия Е(Т, а, ji), — определяемые соответствующими частными производными большого термодинамического потенциала, совпадают со средними значениями числа частиц и функции Гамильтона по большому каноническому распределению Гиббса (12.46). Так, [c.206]

Следовательно, F представляет характеристическую функцию, так как частные производные ее позволяют выразить термодинамические свойства системы. [c.201]

Вблизи абсолютного нуля все термодинамические величины, характери-зуюш,ие равновесное состояние тела, перестают зависеть от температуры. Это означает, что частные производные по температуре не только энтропии, как это уже отмечалось ранее, но и всех других термодинамических функций, например,внутренней энергии,энтальпии и др., а также давления и объема при 7 —> о обращаются в нуль. [c.86]

Исходя из данных о действительном механизме процесса и условий, в которых протекает процесс, всегда можно схематизировать каждый из реальных процессов так, чтобы сделать возможным его термодинамический анализ. Следует отметить, что для вычисления работы и количества теплоты, составляющих главное содержание приложений термодинамики, не обязательно знать все особенности кинетики реального процесса. Вполне достаточно, чтобы наряду с внешними условиями, в которых протекает процесс, были известны конечные и, само собой разумеется, начальные состояния всех участвующих в процессе тел. С помощью функций состояния U, I, S, F, Ф, частные производные которых, как было показано ранее в 3.1, характеризуют физические свойства тел, можно анализировать любые как обратимые, так и необратимые процессы. Использование дифференциальных уравнений термодинамики, связывающих частные производные функций состояния с термическими параметрами и их производными, составляет суть термодинамического анализа. [c.158]

Воспользовавшись общим выражением термодинамического тождества (2.31) для открытой системы, можно выразить обобщенные силы Л и соответствующие им обобщенные координаты aj, термодинамическую температуру Т и химические потенциалы ф через частные производные энтропии, рассматриваемой как функция U, а ,. .., а , [c.122]

Состояние однокомпонентной однородной (однофазной) и двухфазной систем определяется двумя независимыми параметрами. Исходя из термодинамического тождества TdS = dU -f pdV = dl — Vdp, любую частную производную первого порядка от характеристических функций и параметров состояния можно выразить через три другие частные производные первого порядка. Соотношения между несколькими из четырех возможных частных производных первого порядка и составляют в основном совокупность дифференциальных уравнений термодинамики в частных производных, или термодинамических соотношений. Число всевозможных термодинамических соотношений огромно. Обычно ограничиваются теми соотношениями, которые применяются наиболее часто. [c.140]

Свойства тела являются функциями независимых термодинамических переменных, определяющих состояние тела. Изменение свойств тела в зависимости от его состояния определяется соответствующими термодинамическими уравнениями в частных производных. Частным видом этих соотношений являются термическое и калорическое уравнения состояния. Наличие термодинамических уравнений делает возможным применение методов подобия к установлению характера зависимости свойств вещества от состояния. Это очевидно из того, что любое физическое свойство представляет собой следствие движения структурных частиц материи и поэтому должно описываться молекулярной динамикой. При введении молекулярных [c.394]

Из третьего начала термодинамики вытекает следующее важное следствие вблизи абсолютного нуля температуры все термодинамические величины, характеризующие равновесное состояние тела, перестают зависеть от температуры. Отсюда, в частности, следует, что частные производные по температуре от всех термодинамических функций, например энтропии, внутренней энергии, энтальпии и др., а также от давления и объема при 7—0 обращаются в нуль. [c.93]

При переходе через критическую точку из области двухфазного состояния вещества в область однофазных состояний или обратно некоторые частные производные термодинамических функций, в частности производная (дз1дТ)у, претерпевают разрыв или скачок. Подробно эти скачки будут рас- [c.258]

Система в состоянии термодинамического равновесия характеризуется термодинамическими функциями (или термодинамическими потенциалами), которьге представляют собой экстенсивные величины — функции соответствующих независимых неременных. Все термодинамические величины, характеризующие данную систему, могут быть получены как частные производные термодинамических функций, а так называемые термодинамические уравнения представляют собой связи между этими величинами аналитическая формулировка термодинамики). Термодинамика может дать только общие сведения относительно формы термодинамических функций (см. 8), но не д)о ь ет определить, их конкретный вид для каждой частной системы. Эта зависимость должна устанавливаться эмпирически или с помощью статистической механики. [c.142]

Термодинамические соотношения. Соотношения Максвелла являются частным лучаем связей между частными производными первого порядка термодинамических )ункций и параметров, называемых термодинамическими соотношениями. Значение термодинамических соотношений заключается в том, что частные производные термодинамических функций и параметров выражают собой физические свойства вещества, поэтому с помощью термодинамических соотношений по одним свойствам вещества можно определять другие свойства его. В двухпараметрической системе в общем случае имеется три независимых частных производных первого порядка всякая четвертая производная может быть выражена через первые три на основании [c.33]

Система в состоянии термодинамического равновесия характеризуется различными связанными друг с другом определяющими уравнениями термодинамическими величинал и. Особое место среди них занимают величины, которые называются термодинамическими функциями или термодинамическими потенциалами. Каждый термодинамический потенциал зависит от конкретного набора независимых термодинамических величин — аргументов. Все остальные термодинамические величины являются частными производными термодинамического потенциала по аргументам, а термодинамические уравнения представляют собой общие аналитические зависимости между этими величинами. Термодинамика дает только общие сведения о форме термодинамических функций и не может определить их вид для конкретного вещества. [c.34]

Для определения частных производных термодинамического потенциала напищем общее выражение полного дифференциала этой функции при независимых переменных р и Т [c.445]

Применение фактора сжимаемости при вычислении термодинамических функций требует, чтобы частные производные давления, объема и температуры были выражены в функциях Z, Г р и р р-Полученное дифференциальное уравнение можно затем проинтегрировать графически аналогично тому, как это было сделано в примере 7. Действительно, два метода расчетов могут быть сделаны с помощью соотноиюния между а и Z [c.170]

Так как частные производные каждой из рассмотренных характеристических функций U V, S), / р, S), F T, V) и Z(/j, Т) полностью определяют все термодинамические свойства системы, то эти функции по аналогии с механикой, где работа в поле постоянных сил числе1Шо равна разности потенциалов в начальной и конечной точках пути, называют термодинамическими потенциалами. Разность значений в двух состояниях любой из этих функций при обратимом процессе представляет собой полезную работу, совершенную системой. [c.149]

Таким образом, термодинамический эффект, вызванный изменениями количеств веществ в системе, можно вырааить тремя способами. Вонпервых, его можно представить как сумму эффектов от каждого из компонентов системы. Независимыми переменными в этом случае служат количества (или массы) компонентов, и вклад каждого из них о внутреннюю энергию системы записывается в виде ifdrtf. Этот способ описания пригоден для процессов в открытых системах. Вопрос о химическом равновесии внутри системы при нем остается невыясненным. Так функции и(S, V, п) или U(T, V, п) могут относиться как к химически равновесной системе, так и к системе, в которой нет химических превращений веществ. Обе эти возможности должны указываться заранее при формулировке задачи. Последнее замечание относится и к описанию процессов в закрытых системах, у которых все внешние переменные п фиксированы и поэтому обычно не включаются в набор аргументов термодинамических функций. Например, уравнение состояния (2.1) в виде Р = Р(Т, V) справедливо как для химически равновесной смеси веществ, так и для гомогенной системы без химических превращений. Общие выражения (2.2) —(2.7) для частных производных одинаковы в обоих случаях, о численные значения термических коэффициентов av, Pv и других свойств при наличии химических реакций и без них могут существенно различаться. Наглядный пример этого — уравнения (5.30), (5.31). [c.69]

Существование уравнений состояния позволяет считать, что в гомогенных системах частные производные входящих в фундаментальные уравнения термодинамических сил по координатам ((3Zi7 <7/)q отличны от нуля и наряду с другими термодинамическими свойствами являются однозначными функциями состояния фазы. Более определенно этот вывод следует из анализа устойчивости термодинамического равновесия ( 12). Поэтому матрица коэффициентов системы уравнений (9.49) [c.85]

Следовательно, химический потенциал есть частная производная одной из термодинамических функций по массе при постоянных значениях соответствующих независимых переменных. Если термодинамические процессы идут при р — onst и Т = onst, то из уравнения (18.53) следует [c.206]

Обращение некоторых вторых частных производных в критической точке в бесконечность ограничивает возможность представления термодинамических функций в виде рядов по степеням разности двух параметров в критической и рассматриваемой точкйх, вследствие чего такое представление может иметь силу только для некоторых, но не всех функций. Далее существенным является выбор независимых параметров (одного или двух в зависимости от того, рассматриваются ли свойства вещества только на кривой фазового равновесия или также и в окрестностях ее), по которым [c.242]

Системы с переменной дтассой рассматриваются в химической термодинамике. Особенность химической термодинамики состоит в применении так называемых парциальных величин, в частности молекулярных, равных частной производной от соответствующей термодинамической функции системы по числу молекул данного компонента. Основными парциальными молекулярными величинами являются молекулярный объем, молекулярная энтропия, молекулярная внутренняя энтропия, молекулярная энтальпия, молекулярные энергии Гельмгольца и Гиббса (т. е. химический потенциал, отнесенный к одной молекуле). [c.468]

Фуйкции состояния и, 1, S, F, Ф, Э, частные производные. которых, как было показано в 4-1, определяют физические свойства тел, позволяют проводить термодинамическое исследование любых как обратимых, так и необратимых процессов. Использование дифференциальных уравнений термодинамики, связывающих частные производные функций состояния с термическими параметрами и их производными, весьма упрощает это исследование. [c.152]

Частные производные функции С могут быть выражены через термодинамические параметры, если сопоставить урав11ения (53) и ( 08) [c.66]

При соответствующем выборе независимых переменных для термо-механической системы получены следующие четыре характеристические функции и (5, о), I (5, р), Р (7 и), О Т, р). Все эти функции обладают особым свойством — их частные производные по определенным иезавнснмым переменным могут быть выражены через сопряженные термодинамические параметры согласно соотношениям (10Л), (105), (107) и (109) [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...