Вигнера функция значения

Верхняя граница функции Вигнера. Функция Вигнера не может принимать произвольно большие значения. Существует верхняя граница 1/(тгЙ) этой функции. Для доказательства напомним определение [c.96]

Так как свойства функции Вигнера аналогичны свойствам классической функции кл(1, р), кажется разумным интерпретировать функцию Вигнера как совместную квантовую функцию распределения координат и импульса. Такая интерпретация является, однако, ошибочной, поскольку в квантовой механике координаты и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. В математическом отношении это проявляется в том, что функция Вигнера не удовлетворяет всем необходимым условиям для функции распределения. Хотя / (г,р) является действительной функцией ), она может принимать отрицательные значения. Тем не менее, связь между функцией Вигнера и классической функцией распределения существует и может быть найдена путем усреднения / (г,р) по фазовой ячейке Аг Ар, объем которой велик по сравнению с (27r/i) . Операция усреднения разрушает квантовую интерференцию состояний и можно показать [71], что для Аг Ар > (27r/i) [c.30]

Заметим, однако, что условия (1.2.79) и (1.2.80) для вероятностей не определяют однозначно правило преобразования волновой функции. Папример, эти условия выполняются, если умножить Ф на множитель ехр(ш) с произвольным значением фазы а. Вигнер [164] предложил правило преобразования волновых функций при обращении времени, которое совместимо с условиями (1.2.79), (1.2.80) и в настоящее время является общепринятым в квантовой механике. В координатном -представлении преобразование Вигнера выражается формулой [c.40]

Перейдем теперь к макроскопически неоднородным состояниям. В этом случае кинетическое уравнение выводится для средних значений или для диагональных матричных элементов / (г,р ) = / (г,р ) функции Вигнера (4.1.44). Как и ранее, мы предполагаем, что эти величины не зависят от спиновых переменных, т. е. индекс а снова может быть опущен. Поскольку рассматриваемая модель используется, в основном, для расчета проводимости (см. приложение 4Б), будем считать, что [c.281]

Вспомним теперь, что функция Вигнера / ,(r,p i) есть среднее значение оператора [c.290]

Основной вклад в интеграл по х дают значения х , где Хв — средняя длина волны де Бройля. Если векторный потенциал мало изменяется на расстояниях порядка то в формуле (4.4.23) можно разложить А в ряд по х. В главном приближении имеем А = А(г, ). Тогда интегралы в формуле (4.4.26) легко вычисляются и мы получаем простую связь между функциями Вигнера [c.301]

Мы уже видели, что для описания кинетических процессов наиболее удобно использовать смешанное координатно-импульсное представление одночастичной матрицы плотности, т. е. функцию Вигнера (4.1.44). Запишем эту функцию как среднее значение [c.387]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, которое описывается операторами координаты и импульса жир соответственно. В силу коммутационного соотношения = Ш между х и р невозможно определить истинное распределение в фазовом пространстве. Можно определить функцию, зависяш,ую от собственных значений X и р, однако у такого распределения есть недостатки. В частности, оно может принимать отрицательные значения. Мы покажем ниже, что центральное понятие интерференции амплитуд вероятностей отражается в этих отрицательных частях функции Вигнера. [c.91]

До сих пор мы мотивировали введение функции Вигнера необходимостью наглядного представления абстрактного понятия квантового состояния. Однако, как будет видно ниже, с помощью функции Вигнера можно добиться много большего, а именно, вычислить квантовомеханические средние значения, используя понятия классической ста- [c.92]

Функция Вигнера чистого нормируемого состояния не может принимать значений больших, чем 1/(тгЙ). [c.96]

Функции Вигнера могут принимать отрицательные значения. Снова возвращаемся к удивительному свойству (3.5) следа от произведения двух матриц плотности. Для случая двух матриц р и р2 таких, что [c.97]

Из этого условия с необходимостью следует, что функция Вигнера р или (и) р должна принимать отрицательные значения. В частности, в гл. 4 мы покажем, что функция Вигнера собственного энергетического состояния гармонического осциллятора может принимать отрицательные значения. Это поразительное свойство делает невозможной интерпретацию функции Вигнера как реального распределения вероятностей. Тем не менее, функция Вигнера полезна при вычислении квантово-механических средних значений. [c.97]

Обратимся к уравнению на собственные значения для функции Вигнера, которое превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение благодаря симметрии, накладываемой классическим уравнением Лиувилля. С помощью соотнощений [c.110]

Функция Вигнера даёт ясное представление о рассматриваемом квантовом состоянии. Однако квантовое состояние — только одна сторона монеты. Другая — это эрмитов оператор, соответствующий той или иной наблюдаемой. Только объединив эти два понятия, можно дойти до соприкосновения с экспериментом. Действительно, знание квантового состояния необходимо для вычисления средних значений операторов. [c.112]

Таким способом, мы определяем классическое представление в фазовом пространстве оператора А, которое уже позволяет вычислить квантовомеханические средние значения типа (А) с помощью функции распределения Вигнера в фазовом пространстве х,р). [c.114]

Таким образом, слева мы имеем произведение двух операторов, а справа — один оператор, умноженный на с-число. Если воспользоваться правилом соответствия Вейля-Вигнера, то правая часть этого уравнения превращается в функцию Вигнера собственного энергетического состояния, умноженную на собственное значение. Левая часть сложнее, так как содержит произведение двух операторов. [c.115]

Поскольку в это выражение входит только безразмерная энергия г], функция Вигнера постоянна вдоль траекторий в фазовом пространстве, отвечающих постоянной энергии, то есть вдоль эллипсов. Однако зависимость т от энергии довольно интересная. Так как т-й полином Лагерра 1/ш(С) является полиномом т-й степени, он имеет т нулей как функция Следовательно, функция осциллирует между положительными и отрицательными значениями, как это показано на зис. 4.4, то есть функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния состоит из волновых горбов и впадин. Здесь важно заметить, что Ьт 0) = 1 и поэтому [c.131]

На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие распределения для координаты и импульса, полученные интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно. Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла [c.132]

Распределение вероятностей Х ) получается как перекрытие между функцией Вигнера р интересующего нас состояния и бесконечно тонкой полосой фазового пространства, представленной -функцией. Отсюда каждая полоса, заданная собственным значением Х , определяет линию, вдоль которой нужно интегрировать функцию Вигнера. Процедура интегрирования приводит к распределению Х ) для фиксированного угла в фазовом пространстве, что схематически показано на рис. 4.21. Поэтому мы можем получить все распределения Хг ), если известна функция Вигнера. Это и не удивительно, поскольку р содержит всю информацию о квантовом состоянии. Но можно ли обратить процедуру [c.172]

Рис. 4.21. Функция Вигнера р х,р), представленная одной из своих горизонталей. Каждое перекрытие между бесконечно тонкими полосами в фазовом пространстве при заданных Х приводит к значению Х ). Все такие перекрытия при фиксированном угле 19 в фазовом пространстве образуют полное

Последующая свободная эволюция, которая описывается формулой (20.26), изображена на рис. 20.2 для трёх фиксированных значений времени, т. е. для трёх фиксированных значений координаты вне области взаимодействия с полем. Заметим, что ширина функции Вигнера по пространственной переменной х сначала уменьшается, а затем возрастает, достигая своего минимального значения в тот момент, когда сигарообразное распределение пересекает линию х = Xf. Таково физическое происхождение пространственной фокусировки атомов. [c.649]

Если спин-орбитальное взаимодействие не настолько мало, чтобы им можно было пренебречь, то удобнее пользоваться спиновыми функциями в координатах, фиксированных относительно молекулы. Такие спиновые функции преобразуются операциями симметрии и должны принадлежать к одному из типов симметрии точечной группы молекулы. Чтобы определить тип спиновой функции, сначала рассмотрим свойства симметрии спиновых функций свободного атома (точечная группа К )- Вигнер [44] нашел, что при целочисленном спине (т. е. при четном числе электронов) спиновая функция принадлежит к одному из четных типов группы ЛСд, а именно Dog, Dig, Dzg, в соответствии со значениями 6 = О, 1, 2,. . . (табл. 55 приложения I). Например, при 6 == 1 получается трижды вырожденный тип Dig (соответствующий типу орбиты Pg). Набор из трех спиновых функций будет [c.22]

Если бы у меня была большая вычислительная машина, я,— пишет Вигнер,— по-видимому, использовал бы ее для решения уравнения Шредингера для каждого металла и получил бы величины энергии сцепления, параметры решетки и т. д. Не ясно, однако, многое ли это даст. Возможно, все результаты будут согласовываться с экспериментальными значениями, и расчет с познавательной точки зрения даст мало. Интересней было бы получить ясную картину поведения волновой функции, простое описание сущности сцепления атомов в металлах и понимание причин изменения сил сцепления при переходе от элемента к элементу. Следовательно, та цель, которая стоит перед нами, не является чисто научной она отчасти носит и учебный характер. Ее решение не может быть единственным существует возможность представить одну и ту же волновую функцию различными способами (так же, как, скажем, существует ряд способов построения кубической решетки с плотнейшей упаковкой), а одна и та же энергия может быть разложена разными способами на различные основные составные части. Следовательно, значение любого подхода к проблеме зависит от той цели, которая преследуется. С точки зрения настоящей статьи принципиальная цель точных расчетов должна состоять в том, чтобы подтвердить, что не было-пропущено ничего действительно существенного . [c.361]

Как было отмечено Вигнером ([1], стр. 106), в похожем, но несколько отличающемся случае существенно использовать свойства Р(ф как оператора, действующего на функции. Забывая об этом, мы можем совершить серьезную ошибку, применяя операторы прямо к числам, т. е. к определенным значениям [c.214]

Примером такой функции, которая играет роль, аналогичную плотности вероятности, но может принимать отрицательные значения в квантовомеханическом смысле, является функция распределения Вигнера [13]. [c.90]

При комплексном О (О, ф) собственные значения уравнения (9.24) могут быть комплексными и можно подобрать такую функцию 2, что собственным значением будет а(й). Аналогично можно провести мысленный эксперимент с введением порождающего сектора 1 , который непрерывно восстанавливает вероятность, утекающую на бесконечность в процессе распада резонансов. При определенном выборе время жизни резонанса становится бесконечным и соответственно энергия Е — вещественной. Подобным образом получена связь между обычной интерпретацией резонансов по Брейту — Вигнеру и их представлением с помощью комплексных угловых моментов. В дальнейшем, поскольку не изотропно, угловой момент не остается постоянной движения и первоначальная симметрия резонанса нарушается. [c.140]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Так же, как и в классической механике, пространственно однородная система определяется требованием трансляционной инвариантности вигнеровских функций [см. формулу (3.5.1)]. Если, однако, использовать представление Фурье, то это свойство будет выражаться немного иначе. Из соотношения (3.6.15) видно, что добавление ко всем координатам q произвольного вектора а, вообще говоря, приводит к изменению функции fV (ч> P)i не изм1внявтся лишь вклад, обусловленный теми значениями к, сумма KOfopHX равна нулю. Следовательно, в вигнеров-хкую функцию, описывающую однородную систему, могут давать вклад только фзфье-компоненты с волновыми векторами, дающими в сз мме нуль [c.119]

Вигнер вводит группу операций Ря, которые преобразуют функции, в отличие от группы операций R, которые преобразуют значения координат ядер и значения функций от них. Группы Ps) и У являются изоморфными. Мы выбрали определен ие операций перестановки ядер как переставляющих ядра и преобразующих функции согласно (1.18). [c.95]

Форма функции Вигнера. Из общего определения функции Вигнера (3.1) и правила для следа произведения (3.5) можно установить различные свойства формы функции Вигнера. Мы не можем сжать состояние так, чтобы оно оказалось локализованным в области фазового пространства меньше, чем 2тгЙ. Кроме того, функция Вигнера нормируемого состояния не может принимать произвольно больших значений и, самое важное, она может стать отрицательной. [c.95]

Условие (3.9) не исключает возможности, что существуют функции Вигнера, принимающие всюду положительные значения. Напомним, что полученное условие выполняется только для двух ортогональных состояний. Например, в гл. 4 мы обсудим функции Вигнера когерентного и сжатого волновых пакетов. Они имеют вид гауссовских функций и поэтому везде положительны. Это тесно связано с теоремой Хадсо-на-Пике, утверждающей, что единственной неотрицательной функцией Вигнера является гауссовское распределение. [c.97]

Определение функции Моэля. Прежде чем обсуждать дифференциальные уравнения в фазовом пространстве, обоснуем значение функций Моэля. Для этого начнём с зависящей от времени функции Вигнера в виде [c.100]

Рис. 3.2. Пространственная плотность вероятности (на заднем плане) и функция Вигнера (передний план) собственного энергетического состояния осциллятора Морса. Функция Вигнера обладает сложной структурой в области фазового пространства, окружённой классической траекторией, соответствующей квантовому значению энергии. В области фазового пространства вне траектории видна рябь. Взято из работы М. Hug et al., Phys. Rev. A. 1998.

Функция Вигнера как волновая функция. Чтобы проиллюстрировать это, решим два связанных уравнения для случая собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. На этом примере мы покажем, что уравнение на собственные значения энергии в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора сводится к уравнению Шрёдингера двумерного гармонического осциллятора. [c.109]

Аналогично, функция Вигнера этого собственного состояния данной энергии находится путём решения дифференциального уравнения типа уравнения Шрёдингера (3.27а). Оно является уравнением в частных производных в фазовом пространстве. Следовательно граничные условия в фазовом пространстве определяют собственные значения энергии. [c.110]

Рис. 3.4. Экспериментально восстановленная функция Вигнера состояния, близкого к фоковскому состоянию п = 1). Чёрный контур отвечает значению W ) = 0. Отрицательные значения в окрестности начала координат выявляют неклассический характер этого состояния. Взято из работы Leibfried et al.,

Этот элементарный пример ясно показывает, что суш,ествует много классических пределов одних и тех же операторов, зависяш,их от того, как мы выберем порядок некоммутируюш,их операторов, прежде чем заменять их на с-числа. Эта проблема известна в литературе как проблема упорядочивания. Следовательно, процедура усреднения с помош,ью функции Вигнера может быть согласована с квантово-механическим результатом только при условии правильного выбора упорядочивания. В следуюш,ем разделе мы покажем, что функция Вигнера действительно позволяет вычислить средние значения симметрично упорядоченных операторов. [c.113]

Показать, что при больших по модулю значениях энергии функция Вигнера приближённо совпадает с функцией Эйри вдоль классической траектории, отвечающей энергии Е. Для нулевой энергии функция Вигнера равна функции Бесселя нулевого порядка. Обсудить явление туннелирования на языке функций Вигнера. [c.118]

Переход от положительных к отрицательным значениям функции Вигнера в начале координат при переходе от одного т к другому имеет важное следствие. Последним волновым фронтом всегда является волновой горб, то есть функция Вигнера здесь всегда положительна. Этот последний горб находится в окрестности квантованной траектории в базовом поостоанстве [c.131]

Координатная волновая функция повёрнутых квадратурных состояний. Наша цель заключается в том, чтобы получить функцию Вигнера W x ) собственного состояния Х ). Для этого нужна волновая функция Х х Х ) = х Х ) в координатном представлении. Это выражение должно, очевидно, зависеть от переменной координаты X и собственного значения Х , задаюш,его состояние при фиксированном угле Обозначим эту волновую функцию Х х Х ). [c.168]

Преобразование Радона. В гл. 13 мы покажем, что в случае светового поля гомодинный детектор измеряет квадратурные распределения Хг ). Предположим, что мы измерили эти распределения для всех значений углов в интервале О тг. Можно ли тогда на основе этой информации реконструировать полную функцию Вигнера Ответ утвердительный и основан на преобразовании Радона. [c.173]

Кроме того, каждое из этих распределений отвечает специальному выбору упорядочения операторов. Действительно, ( -распределение, распределение Вигнера и Р-распределение связаны, соответственно, с антинормальным, симметричным и нормальным упорядочением. С помощью этих функций распределения мы можем, как в статистической механике, вычислять средние значения квантово-механических операторов, но при условии, что сначала мы соответствующим образом упорядочили операторы. [c.363]

Напомним, что функция Вигнера подчёркивает саму сущность интерференции и поэтому полезна, когда мы хотим изучать интерференционные явления. Один вопрос, тем не менее, остаётся если отвлечься от наглядного изображения квантового состояния, какая ещё есть польза от функции распределения в фазовом пространстве В данном эазделе мы показываем, что (Э-функция может быть использована для вычисления среднего значения антинормально упорядоченного произведения операторов уничтожения и рождения. [c.372]

Каким образом можно определить внутреннюю структуру квантового состояния, то есть, как можно измерить распределения в фазовом пространстве В данной главе мы представляем и анализируем два подхода, которые позволяют достичь этой цели. Метод томографии квантового состояния использует единственный делитель пучка (светоделитель), чтобы смешать полевую моду с локальным осциллятором и разрезать функцию Вигнера на множество тонких слоёв. Из функций заспределения для этих слоёв, полученных для различных значений фазы локального осциллятора, можно восстановить функцию Вигнера с помош,ью преобразования Радона, которое обсуждалось в разделе 4.5.1. Следовательно, этот метод напрямую измеряет нарезанные заспределения и уже математически вычисляет функцию Вигнера. [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...