Функция распределения Вигнера

Последняя величина непосредственно связана с одночастичной функцией распределения Вигнера, как можно видеть из (3.8.1) и (3.8.3). Частичные функции распределения будут подробно рассматриваться в гл. 7. В настоящем разделе мы ограничимся выводом некоторых результатов, которые понадобятся нам в разд. 5.6 и 5.7. [c.191]

Эти формы связаны с функциями распределения Вигнера соотношением, представляющим собой обобщение соотношения (3.8.14) [c.134]

Таким способом, мы определяем классическое представление в фазовом пространстве оператора А, которое уже позволяет вычислить квантовомеханические средние значения типа (А) с помощью функции распределения Вигнера в фазовом пространстве х,р). [c.114]

Примером такой функции, которая играет роль, аналогичную плотности вероятности, но может принимать отрицательные значения в квантовомеханическом смысле, является функция распределения Вигнера [13]. [c.90]

Функции распределения координат и импульса (т. е. диагональные элементы матрицы плотности) получаются интегрированием функции Вигнера [c.29]

Так как свойства функции Вигнера аналогичны свойствам классической функции кл(1, р), кажется разумным интерпретировать функцию Вигнера как совместную квантовую функцию распределения координат и импульса. Такая интерпретация является, однако, ошибочной, поскольку в квантовой механике координаты и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. В математическом отношении это проявляется в том, что функция Вигнера не удовлетворяет всем необходимым условиям для функции распределения. Хотя / (г,р) является действительной функцией ), она может принимать отрицательные значения. Тем не менее, связь между функцией Вигнера и классической функцией распределения существует и может быть найдена путем усреднения / (г,р) по фазовой ячейке Аг Ар, объем которой велик по сравнению с (27r/i) . Операция усреднения разрушает квантовую интерференцию состояний и можно показать [71], что для Аг Ар > (27r/i) [c.30]

Как уже отмечалось в разделе 1.2.3, для описания квантовых систем удобно использовать функции Вигнера, которые в классическом пределе переходят в приведенные функции распределения. Рассмотрим квантовое уравнение Власова, записанное для одночастичной функции Вигнера. [c.256]

Хотя формула для интеграла столкновений (4.3.58) получена для пространственно однородной системы, она легко обобщается на слабо неоднородные состояния. В этом случае все функции распределения f Pi t) следует заменить на одночастичные функции Вигнера / (г,р-, ), в которых пространственный аргумент г — фиксированный параметр. [c.295]

Существует тесная связь между функцией распределения (7В.28) и одночастичной функцией Вигнера. Этот аспект метода когерентных состояний подробно рассмотрен в книге [60]. [c.149]

Функция Вигнера — это только одна из бесконечного набора функций распределения в фазовом пространстве. Эти обобщённые функции распределения следуют из подходящим образом упорядоченных представлений матрицы плотности с помощью когерентных состояний. Они очень важны для квантовой электродинамики резонаторов. Поэтому мы сначала конспективно излагаем квантование поля излучения, а потом переходим к обсуждению различных квантовых состояний. И вновь фазовое пространство является общей основой, объединяющей эти темы. Многоканальные системы, то есть комбинации светоделителей и устройств для сдвига фаз позволяют измерять такие функции распределения в фазовом пространстве. [c.49]

По этим причинами более удобно сравнивать квантовую механику отдельной частицы с классической механикой ансамбля частиц. Для этой цели хорошо подходит статистическая механика, в частности, уравнение Лиувилля для функции распределения ансамбля классических частиц в фазовом пространстве. В своей Нобелевской лекции М. Борн призывал к такому сравнению двух теорий и представил детальный анализ элементарного примера из квантовой механики — частицы в ящике. В этой книге мы покажем, что различия и сходство классической и квантовой механики наиболее ясно выявляются в фазовом пространстве. С этой целью изучим квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве. В данной главе рассмотрим функцию Вигнера. [c.90]

Возможно ли, что временная эволюция квантовых состояний всё ещё управляется классической механикой даже при условии Н О Действительно, если рассматривается эволюция в потенциале, содержащем только слагаемые не выше второго порядка по координате, классическое уравнение Лиувилля тождественно квантово-механиче-скому уравнению движения для функции Вигнера. В этом случае каждая точка в фазовом пространстве функции Вигнера движется в соответствии с классическими уравнениями движения. Квантовомеханические свойства системы спрятаны в начальном условии. В то время как в классической механике допускается любая нормируемая неотрицательная функция распределения, в квантовой механике это уже не так. Класс функций, которые могут представлять квантовое состояние системы, определяется законами квантовой механики. [c.99]

Существует ли аналогичный метод в квантовой механике Роль классической функции распределения в фазовом пространстве в квантовой механике берёт на себя функция Вигнера. Поэтому поучительно вычислить средние квантово-механического оператора А способом, аналогичным (3.33) [c.112]

Функция Вигнера. В гл. 3 мы ввели понятие функции Вигнера как возможного расширения классической функции распределения в фазовом пространстве на квантовый случай. Было получено выражение для функции Вигнера собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Вывод в гл. 3 основывался на дифференциальном уравнении в частных производных в фазовом [c.129]

На первый взгляд кажется удивительным, что существует много квантовых функций распределения в фазовом пространстве, особенно, если понять, что число таких функций бесконечно. Нас интересует, какая в них польза В предыдущих главах мы использовали, главным образом, функцию Вигнера, чтобы проиллюстрировать свойства некоторого данного квантового состояния. В данном разделе мы кратко обсуждаем применение обобщённых распределений в фазовом пространстве для вычисления квантово-механических средних и устанавливаем связь с функцией Вигнера. [c.362]

В гл. 3 мы ввели функцию Вигнера как наглядное изображение квантового состояния. Мы также показали, что это распределение реализуется в фазовом пространстве, образованном фазовыми переменными координатой и импульсом. В случае электромагнитного поля такими переменными служат напряжённости электрического и магнитного полей. Функция Вигнера, однако, не является единственным распределением в фазовом пространстве. Существует бесконечно много функций распределения. В данном разделе мы вводим так называемую ( -функцию, которая обладает тем замечательным свойством, что она всюду в фазовом пространстве положительна. Мы сначала определяем ( -функцию и иллюстрируем её на различных примерах. [c.365]

До сих пор мы рассматривали движение атома в потенциале 17 , который определяется п-м фоковским состоянием поля. Если состояние поля представляет собой суперпозицию фоковских состояний, функция Вигнера атомного движения х,р-,г) является некогерентной суммой (20.9) функций Вигнера Wn(x,p t), взвешенных с функцией распределения числа фотонов ъип . На рис. 20.3 изображена функция Вигнера VK(ж,p t) на выходе резонатора, а на рис. 20.4 показаны горизонтали этой функции Вигнера в различные моменты времени t, т. е. для различных координат [c.649]

Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, которое описывается операторами координаты и импульса жир соответственно. В силу коммутационного соотношения = Ш между х и р невозможно определить истинное распределение в фазовом пространстве. Можно определить функцию, зависяш,ую от собственных значений X и р, однако у такого распределения есть недостатки. В частности, оно может принимать отрицательные значения. Мы покажем ниже, что центральное понятие интерференции амплитуд вероятностей отражается в этих отрицательных частях функции Вигнера. [c.91]

Предельные распределения. Проинтегрируем функцию Вигнера по переменной р или по переменной х и покажем, что таким образом получается распределение вероятностей координаты или импульса, соответственно. Начнём анализ с интегрирования по р. [c.93]

Отсюда, функция Вигнера обладает тем свойством, что при интегрировании по переменной импульса получается распределение вероятностей У/ х) для координат. [c.93]

Итак, интегрирование функции Вигнера по координате приводит к распределению по импульсам. [c.94]

Из этого условия с необходимостью следует, что функция Вигнера р или (и) р должна принимать отрицательные значения. В частности, в гл. 4 мы покажем, что функция Вигнера собственного энергетического состояния гармонического осциллятора может принимать отрицательные значения. Это поразительное свойство делает невозможной интерпретацию функции Вигнера как реального распределения вероятностей. Тем не менее, функция Вигнера полезна при вычислении квантово-механических средних значений. [c.97]

Рис. 4.5. Функция Вигнера фоковского состояния т = 4) и соответствующие распределения по координатам и импульсам. Так как состояния с данным числом заполнения являются собственными состояниями гармонического осциллятора, функция Вигнера, как и распределения по координатам и импульсам, стационарны. Эти распределения получаются путём интегрирования функции Вигнера вдоль осей импульсов и координат, соответственно. Из-за осцилляций функции Вигнера вторичные распределения также осциллируют

На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие распределения для координаты и импульса, полученные интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно. Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла [c.132]

В импульсном представлении получается аналогичный результат, что будет явно показано в следующем разделе с помощью функции Вигнера. В частности, мы покажем, что соответствующая ширина импульсного распределения Ар = /НМП не зависит от времени. [c.144]

X (Р>Р ) — характеристическая функция распределения Вигнера. Хр(Р.Р ) — характеристическая функция распределения Глаубера—Судершана. [c.22]

В работе [11.8] дано подробное изложение вопроса. Подход основан на представлении Глаубера—Сударшана и характеристической функции для электронов вида (11.95). С предложенными позднее подходами, основанными на функции распределения Вигнера и ее обобщении на атомные переменные, можно ознако.миться по работам [c.342]

ВЙГПЕРА ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — матрица плотности в смешанном координатно-импульсном представлении, предложенном Ю, Вигнером (Е. Wigner) в 1932. [c.273]

Обоснование теории П. и. было достигнуто в рамках статистич. оптики, к-рая ур-ние П. и. выводит из ур-ний Максвелла на основе волновых понятий, описывающих когерентные свойства излучения. При таком подходе яркость I связана с Вигнера функцией распределения /к Д), а последняя — с ф-цией когерентности Г(К,р) комплексной амплитуды поля. Для скалярного монохроматич. поля и(г)ехр(—гы ), для к-рого [c.566]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Тот факт, что для рахождения энтропии в классической и квантовой механике требуется усреднять различные функции, не должен вызывать удивления. Он обусловлен особым характером энтропии,, которая представляет собой не истинное среднее от динамической функции, а нелинейный функционал от функции распределения. Для таких величин правило соответствзм Вигнера несправедливо, так что построение правильного микроскопического выражения для энтропии следует производить путем сравнения с методом статистической суммы. [c.271]

Это заключение подтверждается довольно сложным анализом уравнений Каданова-Вейма в нервом приближении по запаздыванию [48, 9, 130, 154]. Кинетическое уравнение, получаемое в этом приближении, сохраняет полную энергию системы с точностью до первой вириальной поправки, в то время как уравнение (6.3.81) сохраняет лишь кинетическую энергию. Другой важный результат (см. [48]) состоит в том, что с учетом эффектов памяти функция Вигнера представляется в виде суммы двух функций одна из них имеет смысл функции распределения квазичастиц, а другая описывает корреляции. [c.60]

Кроме того, каждое из этих распределений отвечает специальному выбору упорядочения операторов. Действительно, ( -распределение, распределение Вигнера и Р-распределение связаны, соответственно, с антинормальным, симметричным и нормальным упорядочением. С помощью этих функций распределения мы можем, как в статистической механике, вычислять средние значения квантово-механических операторов, но при условии, что сначала мы соответствующим образом упорядочили операторы. [c.363]

Напомним, что функция Вигнера подчёркивает саму сущность интерференции и поэтому полезна, когда мы хотим изучать интерференционные явления. Один вопрос, тем не менее, остаётся если отвлечься от наглядного изображения квантового состояния, какая ещё есть польза от функции распределения в фазовом пространстве В данном эазделе мы показываем, что (Э-функция может быть использована для вычисления среднего значения антинормально упорядоченного произведения операторов уничтожения и рождения. [c.372]

Рис. 20.2. Эволюция атомной функции Вигнера внутри и вне светового поля, находящегося в фоковском состояния с п = 2. В области поля первоначальный гауссовский сигарообразный волновой пакет, узкий по импульсной переменной, но широкий по координате, поворачивается в результате эволюции в параболическом потенциале. Вне светового поля импульс атома сохраняется, что приводит к сдвиговому деформированию функции распределения. Ширина заспределения по пространственной переменной минимальна, когда сигарообразное распределение принимает вертикальное положение, что соответствует

Несмотря на некоторое различие в выборе начальных распределений (гауссовская мера у Вигнера и Портера и мера на группе у Дайсона), конечный результат для функции распределения расстояний между уровнями Р Е АЕ) в обеих теориях одпн и тот же [c.214]

Функция W x,p) называется функцией Вигнера. В классическом случае W x,p) должна совпадать с функцией распределения по х и но в квантовом случае это не так, поскольку измерения значений хяр производятся разными приборами. Соответственно, W x,p) не обязательно должна быть знакоположительной и даже действительной функцией. Кроме того, функция Вигнера может не распадаться на произведение функции только от х и функции только от р. И, наконец, для случая плавного распределенияРх х) по х функцию W x,p) можно считать близкой к W x - р(т , р) с зависимостью от второго аргумента, сильно локализованной вблизи р = р . Пока все это не противоречит классическому распределению вероятностей. Для того чтобы произошел переход к квантовому описанию, должна появиться величина с размерностью длины, которая указывала бы, на каких масштабах длины появляется новая физика. Но оказалось, что такой универсальной величины с размерностью длины нет. Зато была найдена универсальная величина Й — константа Планка с размерностью действия. [c.86]

В гл. III после описания модели свободных электронов Зоммерфельда — Хартри обсуждается аппроксимация Хартри — Фока. Затем дается предварительный и, по существу, исторический обзор работ по изучению взаимодействия в плотном электронном газе. Описаны приближения Вигнера, Бома и Пайнса и Гелл-Манна и Бракнера. Элементарным образом вводятся физически важные понятия экранирования и коллективных колебаний (плазмонов). Далее, несколько формально, даются определения динамического форм-фактора и диэлектрической проницаемости, зависящей от частоты и от волнового вектора. Показывается, как с помощью этих величин можно весьма просто вычислить ряд взаимосвязанных характеристик системы электронов. Сюда относятся, в частности, временная функция корреляции для операторов плотности, сечение рассеяния быстрых заряженных частиц, бинарная функция распределения, а также энергия основного состояния. Упор здесь делается на точное определение отклика системы на продольные поля, изменяющиеся как во времени, так и в пространстве. Затем в приближении хаотических фаз находится выражение для диэлектрической проницаемости системы. В этом же приближении вычисляются и все остальные характеристики, перечисленные выше. Заключительный параграф этой главы посвящен рассмотрению взаимодействия между электронами в простых металлах. Показывается, что аппроксимация хаотических фаз здесь неприменима, после чего дается расчет корреляционной энергии, удельной теплоемкости и спиновой восприимчивости щелочных металлов. [c.29]

Функция lt a (г, ю) может быть физически интерпретирована 1[. двумерное распределение скалярной потенциальной энергии. ически распределение Вигнера представляется в виде трехмсрц5 го изображения поверхности форма которой описывает основй свойства сигнала во временной и в частотной областях (рис. 1.20] [c.28]

В современной науке и технике имеется большая потребность исследования нестационарных и нелинейных случайных процессов. Такие дисциплины, как защита от сейсмической, волновой и ветровой нагрузок, нелинейная стохастическая механика, вибродиагностика, распознание речи и многие другие, нуждаются в надежном и гибком инструменте для разложения и анализа экспериментальных данных, который помог бы создавать модели сложных нестационарных и нелинейных явлений, "не выбрасывая младенца вместе с водой". Другими словами, необходим метод анализа данных, исходящий скорее из физических, чем математических, соображений. Доступные в настоящее время методы в основном пригодны для анализа стационарных во времени процессов. В этой группе - классическое преобразование Фурье, метод спектрограмм, вейвлет-анализ, распределение Вигнера-Вилля, эволюционный спектр и эмпирическое ортогональное разложение функции, оценка тренда методом наименьших квадратов, метод авторегрессии - скользящего среднего и др. [c.3]

Замена отдельной ячейки решетки, например, кубической, на идентичную ячейку сферической формы называется сферизацией единичной ячейки эта операция замены совершенно аналогична приему, использованному в методе Вигнера— Зейца при вычислении первого приближения волновых функций в кристаллической решетке. В основном подобная замена делается для того, чтобы упростить вычисления. Так, например, если решетка является простой кубической решеткой, то отдельная ячейка есть куб и в вычисления распределения нейтронов входят все сферические гармоники порядка 4/г. [c.64]

Условие (3.9) не исключает возможности, что существуют функции Вигнера, принимающие всюду положительные значения. Напомним, что полученное условие выполняется только для двух ортогональных состояний. Например, в гл. 4 мы обсудим функции Вигнера когерентного и сжатого волновых пакетов. Они имеют вид гауссовских функций и поэтому везде положительны. Это тесно связано с теоремой Хадсо-на-Пике, утверждающей, что единственной неотрицательной функцией Вигнера является гауссовское распределение. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...