Матрица плотности след оператора

Перейдем теперь к построению матрицы плотности для рассматриваемой системы. Запишем матрицу плотности в представлении, в котором гамильтониан диагонален поскольку матрица плотности равновесной системы может зависеть только от гамильтониана (4.1.4), отсюда следует, что оператор плотности р также диагонален, т. е. что [c.132]

Заметим теперь, что вероятностные коэффициенты (4.5.5) Представляют собой диагональные элементы матрицы плотности в таком представлении, в котором и гамильтониан, и оператор полного числа частиц диагональны. Следует четко представлять, что теперь N считается оператором, собственные значения которого равны всем неотрицательным целым числам. При решении в большом каноническом ансамбле особенно удобен формализм вторичного квантования. Матрицу плотности легко привести к виду, пригодному для любого произвольного представления [c.150]

Определим оператор матрицы плотности р следующим соотношением [c.286]

В последнем выражении фермиевские операторы рождения и уничтожения соответствуют одночастичным состояниям с заданным импульсом р и проекцией спина а. Из формулы (6.1.60) следует, что эффекты поляризации связаны с двухчастичными корреляциями. Поэтому при построении квазиравновесного статистического оператора естественно выбрать в качестве наблюдаемых одночастичную и двухчастичную матрицы плотности. Этот вариант термодинамического описания неравновесных состояний мы уже обсуждали в разделе 6.1.1. Из физических соображений ясно, однако, что наиболее важные корреляции, приводящие к экранированию кулоновского взаимодействия, описываются средними значениями при достаточно малых волновых векторах [c.21]

Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря, неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором ( о) Хотя эта задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать. [c.62]

Сумма гамильтонианов (10.4), (10.13) и (10.21) дает нам гамильтониан, который описывает взаимодействие поля с набором атомов. Но этого суммарного гамильтониана еще недостаточно для описания лазера, так как поле и атомы связаны с соответствующими им термостатами (резервуарами). Действие термостатов на операторы поля и на атомные операторы можно учесть с помощью дополнительных слагаемых в полном гамильтониане (10.1) — операторов Яв,, //в,-/, Нв,, Ив -А- В отличие от операторов Я/, На и Я , явный вид этих дополнительных гамильтонианов нам не понадобится. Нам достаточно знать только некоторые, весьма общие свойства этих гамильтонианов. Основная идея следующего шага состоит в исключении переменных термостата, неявно содержащихся в операторах Яв,,. ... Нв,-А- Это можно сделать двумя способами либо в рамках квантовомеханического уравнения Ланжевена, либо в рамках уравнения для матрицы плотности. В разд. 10.3 и 10.4 мы будем следовать первому подходу, а разд. 11.1 посвятим второму. [c.254]

В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать очень небольшую, но интересную область в окрестности порога, в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию распределения лазерного излучения. Это можно сделать различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми и классическими величинами, что позволяет преобразовать уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера— Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми, и после решения уравнения получить искомую функцию распределения. Такой подход будет изложен в гл. И. В математическом плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер, но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь рассуждений, в которых оператор b считается с-числом, будет дано в следующей главе. [c.280]

След оператора. Операция следа определена не только для матрицы плотности, но и для любого оператора О. Так, определение следа оператора О имеет вид [c.70]

Среднее значение оператора О в квантовом состоянии, которое описывается матрицей плотности р, есть след произведения О и р. [c.72]

Пример. Проиллюстрируем метод вычисления квантово-механиче-ского среднего значения оператора с помощью формализма следа. Для этого вычислим среднее значение самой матрицы плотности, то есть [c.72]

Здесь мы представили матрицу плотности р в виде прямого произведения матриц плотности атома (ат) и поля (п), т.е. р = Рат Рп и использовали тот факт, что полевые операторы Л и коммутируют с атомными величинами рат, д и Кроме того, учли возможность поменять местами Л или Л с рп при вычислении следа, поскольку [c.592]

При наличии магнитного поля, а также в случае ферромагнитной системы функцию распределения следует считать оператором, действующим на спиновые индексы (матрицей плотности), — Вместе с оператором является и энергия квазичастицы В случае, когда отсутствует магнитное поле и система не является ферромагнитной, операторы и е з пропорциональны единичной матрице. Поэтому в общем случае формулу (2.3) следует записать в виде [c.33]

Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента , а величина й1/т равна вероятности "измерения" на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время Л/ следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного "измерения" к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для р , 1) с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности р х,х ) = (ф х)ф х )). Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид р х,х ) представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения М ф). В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства "измерения", а свободный пролет частицы от одного "измерения" до другого "измерения" определяет лишь величину коэффициента диффузии П. [c.142]

Напомним, что все операторы надо брать в представлении взаимодействия (как и матрицу плотности, по которой ведется усреднение). Следует обратить внимание на то, что в отличие от уравнений Гейзенберга в кинетическое уравнение входят уже усредненные величины. Здесь слагаемые, пропорциональные коэффициентам IV, содержат разности населенностей и описывают вынужденные эффекты, а слагаемые, пропорциональные коэффициентам и), содержат населенности возбужденных состояний = Ар тЖт и описывают спонтанные эффекты. Явный вид коэффициентов таков [c.132]

Этот не зависящий от времени сигнал представляет собой фурье-преобразование центральной линии Уг —> — /4, которую мы приняли бесконечно узкой. Однако практически он спадает до нуля за время порядка (2яб)" и наше пренебрежение дипольной шириной б верно только для времен t (2яб) Положение и форма сигналов эха находятся следующим образом. Мы предполагаем, что второй очень короткий по длительности А1 импульс прикладывается через время т после окончания действия первого импульса. Действие такого импульса можно описать посредством унитарного оператора / , который преобразует матрицу плотности д (т), непосредственно ему предшествующую в следующую [c.226]

Наши предыдущие результаты могут быть объединены следующим образом для наиболее общего состояния системы матрица плотности Р определяет среднее значение оператора F [c.119]

Поскольку < I л I > представляет собой среднее значение оператора Л по состояниям />, из свойств 2, 3 и выражения (2.10) с очевидностью следует, что величины ш,- можно интерпретировать как вероятности того, что система находится в состоянии г. Если все Ш),-, кроме одного, равны нулю, мы говорим, что система находится в чистом состоянии-, в противном случае она находится в смешанном состоянии. Нетрудно показать, что необходимое и достаточное условие того, чтобы состояние было чистым, состоит в выполнении равенства p = p Если система находится в чистом состоянии г чист>. матрицу плотности можно представить в виде [c.52]

Можно, правда, усомниться в том, допустимо ли рассматривать Я как число при дифференцировании членов вида однако эту процедуру можно обосновать, разлагая оператор е-1нг 3 степенной ряд. С другой стороны, уравнение (2.30) можно получить из (2.29), дифференцируя матричный элемент < 1 р (О I > Так или иначе уравнение (2.30) верно, и оно играет для матриц плотности такую же роль, какую уравнение Шредингера играет для волновых функций. Следует заметить, что оператор наблюдаемой физической величины в представлении Гейзенберга удовлетворяет уравнению [c.56]

Иными словами, квадратичная форма для матрицы p g неотрицательна. Данное свойство можно считать ближайшим аналогом классического условия (2.2.6). Его следует рассматривать как дополнительное ограничение на класс операторов, допустимых в качестве операторов плотности. [c.64]

Поведение системы частиц, взаимодействующих с диссипативной подсистемой, необходимо описывать квантовостатистическими методами. Будем пользоваться методом матрицы плотности (статистического оператора, см. гл. Х1П в [5]). С помощью метода матрицы плотности исследуем вначале временное затухание пространственно-однородного электромагнитного поля в кристалле, а затем выясним особенности прохождения через кристалл света фиксированной частоты. Исследование второго вопроса будет проведено в представлении волновых пакетов, которое позволит проследить за пространственным перемещением фотонов и экситонов. При изложении будем следовать работе Серикова и автора [379]. [c.485]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

Тогда все матричные элементы и элементы матрицы плотности, отвечающие косым электронным переходам, можно положить равными нулю Аа/З = Аьа == Ра0 = Рьа =0. Пренебрежем также недиагональными элементами матрицы плотности раа, Рьь, Раа И Р00, которыс НС актуальны, при рассмотрении влияния операторов Л и Л в гамильтониане (18.1) в первом неисчезающем приближении. Детализируя первое и второе уравнение системы (18.13), получаем следующую систему уравнений [c.259]

В этом случае мы также можем вместо операт ра эволюции Ъ использовать оператор (матрицу) плотности ). В самом деле, лемма (2.2.10) допускает следующее обобщение [c.65]

На этом этапе, так же как и в разд. 3.1, можно заметить, что след по состояниям N — s) частиц содержит только оператор р. Следовательно, по аналогии с классическими функциями распределения можно ввести часттнш матрицы плотности, взя частичный след оператора р. Однако посредством несколько большего числа преобразований можно достичь более тесной аналогии с уравнениями разд. 3.1. [c.108]

Если это з верждение несправедливо, то из предположения о зависимости оператора р только от Н уже не следует диагональность"р в энергетическом представлении. В самом деле, в таком случае каждое собственное значение энергии многократно вырождено, поскольку для полного описания состояния необходимы добавочные квантовые числа. В таком случае наше предположение говорит лишь о том, что представление оператора р диагонально для энергетических квантовых чисел, но не является таковым для иных чисел. Тогда для построения единственной матрицы плотности тре-бзгготся добавочные предположения. [c.132]

Отметим, что, в отличие от (4.2.14) и уравнений более высокого порядка, уравнение (4.2.13) для одночастичной матрицы плотности не содержит источника из-за условия самосогласования (4.2.10). Чтобы явно найти источники в остальных уравнениях цепочки, нужно задать форму квазиравновесного статистического оператора. Следуя общей идеологии метода статистических ансамблей, Qq t) можно найти из условия максимума информационной энтропии при заданных средних значениях некоторых базисных динамических переменных. Простейшее предположение состоит в том, что одночастичная матрица плотности (4.2.2) является единственной наблюдаемой, которая характеризует неравновесное состояние системы. Тогда мы возвращаемся к ква-зиравновесному статистическому оператору (4.1.32), описывающему идеальный квантовый газ. Мы пока ограничимся только этим случаем. Более общие выражения для квазиравновесных распределений будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.268]

Теперь, когда получены явные выражения для g(2)w i02i)w помощью соотношений (7Г.2) и (7Г.З) можно записать недиагональные элементы матрицы плотности атомов и инверсную населенность через функцию распределения /. Прежде всего с учетом формулы (7В.19) для следа операторов в представлении когерентных состоя- [c.153]

В то время как максимально полный опыт, заключающийся в определении собственных значений всех коммутирующих друг с другом эрмитовских операторов, описывается в квантовой механике Т-функцией, опыт немаксимально полный, по общепринятым сейчас представлениям, всегда может быть описан статистическим оператором (так называемым оператором Неймана [29] или матрицей плотности, см. 4 гл. II). Все квантовомеханические попытки интерпретации статистики исходят поэтому из описания статистических систем либо при помощи Т-функций, либо при помощи статистических операторов. В настоящей главе мы будем рассматривать возможности различных точек зрения, исходя сначала из максимально полного описания, потом — из статистических операторов. Мы переносим в главу III исследование вопроса о возможности описания немаксимально полных опытов при помощи статистических операторов, и следуем в этой главе общепринятым представлениям. [c.136]

При ЭТОМ оператор а действует лишь на неотрпхоианиые переменные матрицы плотности только после такого воздействия следует приравнять штрихованные поременвше негптриховапным. Диагональные элементы матрицы плотности [c.207]

Следовательно, для вычисления средних значений квантовых операторов с помощью матрицы плотности смегаапного представления О (г, р) следует пользоваться обычными правилами классической статистической механики, усредняя вместо квантового оператора соответствующую ему классическую функцию и используя вместо классической функции распределения в фазовом пространстве координат и импульсов матрицу плотности смешанного представления. [c.210]

После введения понятия о когерентных состояниях в лекциях 9—11 было показано, как можно эти состояния использовать в качестве базиса для разложения произвольных состояний и операторов, в частности, для представления оператора матрицы плотности. Ввиду того, что содержание этих лекций перекрывается с опубликованной недавно статьей автора [Phys. Rev., 131, 2766 (1963)], то ниже эта статья приводится целиком. Читателю, изучившему первые 8 лекций, следует читать далее разделы 3—9. Лекция [c.66]

Матрица рассеяния поля. Мы рассдютрели эволюцию статистики поля в простейшем случае — под действием детерминированного тока. Как правило, однако, следует ток также считать оператором и рассматривать совместное изменение общей статистики поля и вещества в результате их взаимодействия. При описании оптических экспериментов нас обычно не интересует эволюция состояния вещества, и его роль сводится к преобразованию статистики падающего поля (которое в общем случае может быть нестационарным, импульсным). Таким образом, задачей теории является вычисление х-функции (или матрицы плотности) рассеянного поля X (°°) = х через % (—оо) = х и начальную х-функцию [c.101]

При последовательном квантовом подходе здесь все величины (кроме -Р) следует считать операторами в представлении Гейзенберга, причем -Р зависит от операторов и поля и вещества. Однако в макроскопической электродинамике поля обычно считаются детерминированными величинами, усредненными по объему, меньшему но все еще содержащему много частиц. При этом Р (Е, Н) вычисляется по теории возмущения и усредняется по ансамблю с помощью матрицы плотности вещества (подробнее см. [8, 11, 13]). Получающиеся в результате макроскопические уравнения Максвелла описывают эволюцию поля под действием внешних источников с учетом затухания и их можно рассматривать как кинетические уравнения ( 2.5) для первых моментов поля. В окнах прозрачности вещества затуханием дюжно пренебречь и тогда эти уравнепия определяют унитарное преобразование полей, так что последние можно считать операторами. [c.103]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэфф. производятся при помощи к и-нетического уравнения. Оно представляет собой интегродифф. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения, к-рая получается из введённой равенством (2) 7У-частичной ф-ции распределения интегрированием по координатам и импульсам всех ч-ц, кроме одной. В квант, случае вместо одночастичной ф-ции распределения пользуются одночастичной матрицей плотности, или статистич. оператором. Такое замкнутое, т. е. не содержащее др. величин, ур-ние невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером явл. кинетическое уравнение Больцмана, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от коэфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, то можно вычислить кинетич. коэфф. газа. Ур-ние Больцмана учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэфф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.722]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...