Главные направления для напряжений

Докажем, что в каждой точке изотропного тела главные направления тензора деформаций совпадают с главными направлениями тензора напряжений. Примем главные направления тензора деформаций в некоторой точке тела за оси координат, тогда будем иметь 612=1624 = 631 = 0, в силу формул (4.35) также 012=023=031 = 0, что и требовалось доказать. Поэтому для изотропных тел не различают главные направления тензора деформаций и тензора напряжений те и другие называются главными направлениями. [c.69]

Главные напряжения и их направления для напряженного состояния упругого полупространства в задаче Буссинеска были вычислены в работе , где построены также изолинии главных напряжений, изоклины, изолинии максимальных касательных напряжений и изучена их зависимость от свойств упругой среды. [c.13]

Исследования в условиях сложного нагружения показывают, что направления главных удлинений после внезапного поворота главных напряжений постепенно приближаются к направлениям главных напряжений [6]. Следовательно, если соосность главных направлений для удлинений (скоростей удлинений) и напряжений нарушалась в процессе ползучести, то к моменту наступления состояния квазиустановившейся ползучести она восстанавливается. [c.121]

Уравнения (2.61) (2 64) записаны в производных по главным направлениям тензора напряжений. Такая форма удобна для численного интегрирования [c.66]

Для изотропного материала имеет место совпадение главных направлений тензоров напряжений и скорости деформации. Для компонент напряжений в декартовой системе координат и главных компонент напряжений для изотропного материала имеют место соотношения, вполне аналогичные (1.9.3) [c.92]

Для компонент напряжений имеют место формулы, вполне аналогичные (1.10.22)-(1.10.24), (1.8.9). В общем случае главные направления 1, 2, 3 и 1, 2, 3 не совпадают между собой, 7 1 ,. .. Совпадение главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации имеет место для изотропного материала. [c.114]

Будем предполагать отсутствующим трение между поверхностью среды и поверхностью штампа. В таком случае нормаль к поверхности контакта среды и штампа оказывается первым главным направлением для тех элементов среды, которые примыкают к этой поверхности. Для элементов среды, расположенных на окружности раздела свободной границы среды и поверхности контакта, первое главное направление неопределенно и зависит от пути, по которому совершается приближение к точкам раздела. Если, например, подходить к этим точкам, перемещаясь по свободной границе, то первым главным направлением будет оставаться направление г если же перемещаться по поверхности контакта, то, как было только что указано, — направление нормали к этой поверхности. Напряженное состояние в точках раздела является, таким образом, особенным, оно будет изучено позднее. [c.198]

Выше был введен угол а между первым главным направлением тензора напряжений и осью z. Для свободной границы среды а = п/2. А так как 0 = л/4 — а, то во всех точках этой границы 0 = —л/4. Учитывая, что на ней Oz = О, имеем [c.209]

ДЛЯ отыскания угла 0 между главным направлением тензора напряжения и осью X. Уравнение (2.23.24) допускает два решения, отличающиеся друг от друга на угол п/2, в соответствии с наличием двух взаимно перпендикулярных главных направлений двумерного тензора второго ранга. [c.499]

В теории идеально упругого тела величина W определяет упруго запасенную энергию в объеме V под действием поверх-постных усилий dn и объемных сил F. В теории упругости оказывается естественным (для изотропного и однородного тела), что главные направления тензоров напряжений и деформаций совпадают, а тогда функции W можно придать вид [c.384]

В условиях простого нагружения (см. гл. 3) главные направления тензоров напряжения и скорости деформации совпадают. Опытные данные свидетельствуют о приближенном подобии тензоров напряжения и скорости деформации. Имеется также зависимость между интенсивностями касательных напряжений т,- и скоростей де<] рмации сдвига Ц1, характерная для данного материала при данной температуре. [c.92]

Дифференциальные уравнения равновесия (52.1), очевидно, удовлетворяются. Таким образом, рассматриваемые режимы отвечают равномерному гидростатическому (в плоскости х, у) напряженному состоянию. Любое направление для напряжения является главным. Скорости деформации для режима С равны = Х] 0, = [c.247]

Любопытно отметить, что уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для грани нризмы Треска также являются гиперболическими, характеристические паправлепия ориентированы так же, как и главные нанравления тензора напряжений, т.е. характеристики касаются главных направлений тензора напряжений. [c.106]

Рассмотрим деформацию элемента, имеющего размеры ребер а X Ь X с, по граням которого действуют главные напряжения О , а.д И Оз (рис. 101, а). Для простоты полагаем, что 01 > О, Од > О и Од > 0. В результате деформации длина ребер элемента изменится и станет равной а + Ла Ь + АЬ с + Ас (рис. 101, б). Относительные удлинения в главных направлениях (т. е. в направлении действия главных напряжений) называют главными удлинениями и соответственно [c.150]

Напряжения сжатия, которые возникают в продольном направлении, являются следствием эффекта Пуассона и стесненности деформации, т. е. представляют собой вторичный эффект, вызванный действием напряжений в вертикальном направлении. Поэтому предполагаем, что они по величине меньше, чем вертикальные. Учитывая это, вводим для напряжений обозначения, указанные на рис. 168 (это будут главные напряжения, так как т в гранях бруса, очевидно, отсутствуют). Тогда имеем [c.178]

Рассмотрим направления главных напряжений в различных точках какого-либо сечения / (рис. 254). Тонкими линиями показаны направления (т,, а толстыми—Продолжим направление для точки 2 до пересечения со смежным сечением в точке 2. В этой точке определим вновь направление рассматриваемого главного на-напряжения и, далее поступая аналогичным образом, получим ломаную линию 2—2 -—2" 2". В пределе эта ломаная линия обратится в кривую, касательная к которой совпадает с направлением рассматриваемого главного напряжения в точке касания. Эта кривая называется траекторией главного напряжения. Направление траекторий главных напряжений зависит от вида нагрузки и условий закрепления балки. Очевидно, через каждую точку балки проходят две траектории главных напряжений (соответственно и 03), пересекающиеся между собой под прямым углом. [c.261]

Рассмотрим площадки, равнонаклоненные к главным осям тензора напряжений. Такие площадки называются октаэдрическими. Они образуют геометрическую фигуру октаэдр. Для первого октанта (рис. 2.10, а), образуемого положительными направлениями главных осей, направляющие косинусы внешней нормали V равны и= У2>. Поэтому на основании формул (2.9), (2.30) получаем [c.54]

Помимо ориентации трех главных осей тензора напряжений направляющий тензор определяет также вид напряженного состояния, т. е., например, параметр Лоде либо угол вида напряженного состояния ф. Действительно, для определения главных направлений направляющего тензора согласно (2.43) имеем систему уравнений [c.56]

Простое нагружение сопровождается возрастанием всех компонентов напряжений в данной точке пропорционально какому-то параметру, например, времени. Тогда и внешние нагрузки пропорциональны этому параметру (при внутреннем гидростатическом давлении на трубу). Форма тензора напряжений и его главные направления при простом нагружении все время сохраняются. Иногда для определения простого нагружения используют коэффициент Лоде и Надаи Ца, который при этом виде нагружения остается постоянным ( —1 1) [c.97]

Исследование напряженного состояния в данной точке можно продолжить. Из бесчисленного множества наклонных площадок, построенных в обследуемой точке, можно выделить те — их называют главными площадками для данной точки, на которых отсутствуют касательные напряжения, и потому v, т. е. полное напряжение для главной площадки совпадает по величине и направлению с нормальным напряжением. [c.15]

Поставим новую задачу найти главные напряжения и положение главных площадок, если заданы напряжения Стд,, Оу, х у на неглавных площадках. Обозначим через Оо неизвестный пока угол между направлением оси X и первым главным направлением. Применяя вторую формулу (4.7) для отыскания касательного напряжения на этой первой главной площадке, получаем нуль, т. е. [c.115]

Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224]

Выражения (6.51) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига на линейную деформацию представляет собой величину второго порядка малости. Так, относительные удлинения в направлении действия напряжений и ар (рис. 171, б) [c.195]

Для определения главных направлений при плоском напряженном состоянии удобно воспользоваться выражением для в декартовых осях, в которых уже известны Ох, и Хху. [c.118]

Плоское напряженное состояние. Совместим оси Ох и Оу с главными направлениями. Тогда а - = Oi, Пу = и Хху = 0. В этом случае формулы (6.7) для Ov и Ту примут вид [c.119]

Рассмотрим напряжение на площадке, равнонаклоненной к главным направлениям (октаэдрическая площадка). В главных осях для орта но1)мали к этой площадке получим/ = т = л = 1/ 3. так как 4- т -(- п = 1. [c.121]

Из этого уравнения можно найти два взаимно перпендикулярных направления, для которых касательные напряжения на соответствующих площадках равны нулю. Эти направления называются главными, а соответствующие нормальные напряжения—главными нормальными напряжениями. [c.37]

Изменение компонент напряжений сг и т в зависимости от угла а можно легко представить графически в виде диаграммы в координатах а и t1). Каждой ориентации площадки соответствует точка на этой диаграмме, координаты которой представляют собой значения напряжений о и т, действующих на этой площадке. Такая диаграмма представлена на рис. 13. Для площадок, перпендикулярных к главным направлениям, мы получаем точки Л и В с абсциссами и соответственно. Теперь можно [c.37]

В реальных конструкциях зоны пластической деформации возникают в первую очередь в зонах концентрации цапряжений, где напряженное состояние часто является одномерным или близким к одномерному. Для такого состояния вполне справедливым оказывается применение модели простого нагружения, при котором в каждой точке тела соотношение между компонентами напряжений в процессе нагружения остается неизменным. Модель простого нагружения не приводит к существеннылг погрешностям и в тех случаях, когда главные направления тензора напряжений (или направления главных напряжений) остаются неизменными в процессе нагружения [15, 56]. [c.127]

При макроскопическом рассмотрении. вещество, по которому распространяется плоская ударная волна, претерпевает одномерную деформацию в направлении распространения волны, совпадающем с направлением нормали к поверхности ударного разрыва. В плоскости волнового фронта деформации е , равны нулю. Такой же характер деформации при макроскопическом подходе имеет место при расширении ударно сжатого материала в одномерных волнах разгрузки. Совместим ось х с направлением нормали к фронту ударной волны, которая, в свою очередь, совпадает с одним из главных направлений тензоров напряжений и деформацйй. Соответственно два других главных направления лежат в плоскости фронта. Для одномерной деформации в ударной волне, следовательно, имеем [c.175]

Для монотонных процессов деформирования, когда главные панравлеппя тензора напряжений или скоростей деформаций совпадают в любой момент времени с одними и теми же материальными волокнами, определяющие соотношения могут быть записаны в терминах главных компонент путем прямого обобщения соответствующих видов реологических законов для малых деформаций [71, 138]. Такие соотношения соответствуют связи между напряжениями, деформациями и их скоростями в прямоугольном ортонормироваином базисе главных направлений, который совершает жесткое вращение относительно неподвижного пространства наблюдателя. Типичным представителем этого класса дефор-мацнй тел является осесимметричное деформирование тонких оболочек вращения в рамка.х обобщенных гипотез Кирхгофа [91, 190], когда на срединной поверхности меридиональное, окружное и перпендпкулярпое к ним нанравления по толщине оболочки в любой момент времени остаются главными нанравлениями для напряжений и деформаций [81, 82]. [c.21]

Моделирование работы камер сердца. С того времени как в 1892 г. Вудс впервые воспользовался уравнением Лапласа для исследования механических свойств левого желудочка (ЛЖ) значительные успехи биомеханики, медицинской и компьютерной техники позволили существенным образом расширить область математического моделирования жизнедеятельности сердца. Наибольший интерес у исследователей, традиционно, вызывает моделирование ЛЖ, как органа наиболее напряженного и в наибольшей степени определяющего гемодинамику сердечнососудистой системы (ССС). На современном уровне развития биомеханики ЛЖ можно выделить два главных направления изучение напряженно-деформированного состояния (НДС) стенки ЛЖ и моделирование насосной функции сердца. Исследования, выполняемые в ) азанных областях, как правило, существенно отличаются по постановке задач и методам их решения. [c.552]

В и. 3 рассмотрены общие соотношения теории идеальной пластичности в случае, когда в качестве обобщенных переменных приняты величины среднего напряжения, а также величины двух главных касательных напряжений и величины направляющих косинусов, определяющих ориентацию главных направлений тензора напряжений в декартовой системе координат. По существу, используемый подход эаспрострапяет прием, предложенный М. Леви [2] для линеаризации нелинейных уравнений плоской задачи теории идеальной иластичпо- [c.38]

Предположим, что взаимная ориентация осей координат х, у, г и главных направлений тензора напряжений 1,2,3 определяется напра-вляюгцими косинусами га , нриведенны-ми в табл. 2. Для направляюгцих косинусов mi, ni справедливы соотпогаения (1.1-1.4), для компонент напряжений в декартовой системе координат и главных компонент напряжений имеют место соотногае-ния [c.42]

Используя соотношения (1.120) или (1.121) в качестве обобш енного пластического потенциала, можно получить соотношения ассоциированного закона течения ниже для этих целей изберем другой путь. Для изотропного тела ассоциированный закон течения утверждает совпадение главных направлений тензора напряжений и прираш ений (или скоростей) пластических деформаций. В этом легко [c.35]

Следует отметить, что выражение (7.20) с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для касательного напряжения Токт на октаэдрической площадке, равнонаклоненной к трем главным направлениям (см. 44). Поэтому расчетные уравнения четвертой теории прочности можно получить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных напряжений [c.187]

В заключение рассмотрим случай концентрации напряжений вокруг малого ра-(с диального отверстия в полом тонкостенном валу при кручении (рис. 232). Двумя парами взаимно перпендикулярных площадок, наклоненных под углом 45° к образующим вала, выделим вокруг отверстия некоторый элемент (рис. 233). Эти площадки для рассматриваемой задачи кручения, как было установлено, являются главными, а поэтому по граням рассматриваемого элемента abed будут действовать только нормальные напряжения, равные по величине, но разные по знаку. Абсолютные значения их, как известно, равны касательным напряжениям, определяемым в соответствующих точках поперечного сечения по формулам теории кру-ченля. Анализируя напряженное состояние рассматриваемого элемента и полагая, что отверстие мало, а стенки вала тонкие, легко убедиться, что это напряженное состояние аналогично тому, какое имеет место для тонкой пластинки с малым отверстием, растянутой в одном направлении некоторым напряжением а = т и сжатым таким же по величине напряжением в направлении под углом 90° к первому. [c.238]

Для онрсделсшш двух напряжений и угла, характеризующего главные направления в общем случае, необходимо осуществить дополимтслыю еще два замера. Эти замеры производятся [c.531]

ИХ диаметральными краями. В результате этого в течение одной половины периода электрическое поле ускоряет ионы, образовавшиеся в диаметральном зазоре и направляющиеся во внутреннюю полость одного из электродов, где под действием магнитного поля они движутся по круговым траекториям и в конце концов опять попадают в зазор между электродами. Магнитное поле задается таким образом, чтобы время, необходимое для прохождения полуокружности по траектории внутри электродов, равнялось полупериоду колебаний. Вследствие этого, когда ионы возвратятся в зазор между электродами, электрическое поле изменит свое направление, и, таким образом, ионы, входя внутрь другого электрода, приобретут еще одно приращение скорости. Поскольку радиусы траекторий внутри электродов пропорциональны скоростям ионов, время, необходимое для прохождения таким ионом полуокружности, не зависит от его скорости. Поэтому если ионы затрачивают точно половину периода на первую половину своего оборота, то они будут двигаться и дальше в таком же режиме и, таким образом, будут описывать спираль с периодом обращения, равным периоду колебаний электрического поля, до тех пор, пока они не достигнут наружного края прибора. Их кинетические энергии по окончании процесса ускорения будут больше энергии, соответствующей напряжению, приложенному к электродам, во столько раз, сколько они совершили переходов от одного электрода к другому. Этот метод предназначен главным образом для ускорения легких ионов, и в проведенных опытах особое внимание уделялось получению протонов, обладающих высокими скоростями, потому что предполагалось, что только протоны пригодны для экспериментальных исследований атомных ядер. При применении магнита с плошад- [c.145]

Главные напряжения в стенке резервуара равны 150 Kzj M и 300 Kij M . Определить нормальное, касательное и полное напряжения по величине и направлению для сечения, нормаль к которому составляет угол в 30° с направлением наибольшего главного напряжения. Найти сечение, нормальное к стенке, с наибольшим касательным напряжением и вычислить обе составляющие напряжения по этой площадке. [c.59]

Объемное напряженное состоянне. Выберем в точке, в которой анализируется напряженное состояние, координатные оси, совпадающие с главными направлениями, и в этих осях определим касательное напряжение на наклонной площадке с ортом v. Для полного напряжения согласно формулам (6.2), (5.31) [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...