Периодическое решение невырожденное

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении. [c.36]

В случае п = 2 оставшиеся характеристические показатели либо оба действительны, либо оба чисто мнимы. Если они отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденное решение с действительными характеристическими показателями называется гиперболическим, а с чисто мнимыми — эллиптическим. Эллиптическое решение устойчиво в первом приближении, а гиперболическое неустойчиво. [c.77]

В качестве следствия получаем следующее утверждение если п — то характеристических показателей решения х 1, ) отличны от нуля, то на его траектории интегралы 1,. .., зависимы. В частности, на траекториях невырожденных периодических решений двумерной гамильтоновой системы интеграл энергии Ж и любой первый интеграл зависимы. [c.78]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Прежде всего отметим, что критическим точкам потенциальной энергии при малых значениях е отвечают невырожденные периодические решения полной системы. Причем, точки локального минимума порождают решения эллиптического типа (их мультипликаторы лежат на единичной окружности), а точки максимума порождают решения гиперболического типа (их мультипликаторы вещественные и отличны от 1). Период таких решений равен 27г/Л они часто называются гармоническими. [c.236]

Периодическое решение называется невырожденным, если все его мультипликаторы отличны от единицы. [c.220]

Лемма 1. В малой окрестности траектории 7 невырожденного периодического решения нет периодических траекторий близкого периода, отличных от 7. [c.220]

Теорема 1 подсказывает следующий способ доказательства неинтегрируемости динамических систем. Предположим, что совокупность невырожденных периодических решений аналитической системы (8.1) образует ключевое множество для класса функций, аналитических на М. Тогда, очевидно, система (8.1) не допускает непостоянных интегралов, аналитических на всем М. [c.221]

Для доказательства рассмотрим невырожденные периодические решения 7 (е), рождающиеся из семейства периодических решений, расположенных на резонансном торе у К (см. теорему 5). Ввиду их невырожденности при е ф О, функции Н и Р зависимы во всех точках траектории 7(5) (см. теорему 4). Устремим е к нулю. Периодическое решение у(е) перейдет в одно из периодических решений 7(0) невозмущенной задачи, лежащее на торе у = у , а функции Н и Р станут равными Щ м Ро. По непрерывности они будут зависимы во всех точках траектории 7(0). Следовательно, [c.227]

Если возмущающая функция является тригонометрическим многочленом, то теорема 5 дает лишь конечное число невырожденных семейств периодических решений, аналитических по е. Применение канонических преобразований теории возмущений позволяет увеличить число таких семейств. [c.231]

Пусть А = А —невырожденная критическая точка функции h, причем h X )6 < 0. Тогда при малых значениях е > О возмущенная система с гамильтонианом (11.2) имеет (п — 1)-параметриче-ское семейство условно-периодических решений [c.246]

При п = 1 теорема 3 установлена в работе [71]. Точнее, при всех у ф О из плоскости TTj резонансные двумерные торы невозмущенной задачи распадаются при добавлении возмущения, причем для малых Ф О возмущенная задача имеет четное число невырожденных периодических решений. Половина из них имеет гиперболический тип, а половина—эллиптический. [c.249]

Пусть — отображение за период i = 2тг возмущенной системы. Точка С, G — периодическая точка д периода т N, если д ( = = Периодические точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для периодических решений гамильтоновой системы. Если т — период точки (, то 2пт—период решения t z t, ), (Oi ) = С- Периодическая точка ( называется невырожденной, если собственные значения отображения z — g z, линеаризованного в окрестности точки (, отличны от единицы. Ясно, что некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения до- [c.294]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) — русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г). В цикле работ, объединенных в монографии Методы качественного анализа в динамике твердого тела (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера-Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений — расщепление сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования закрыли проблему Пуанкаре, поставленную им в Новых методах небесной механики (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры. [c.26]

Определение 1. Периодическое решение с начальным. условием (ф , фг), имеющее п звеньев, называется невырожденным по Пуанкаре, если спектр матрицы рт"/5ф = Р в точке ф = (фь, ф ) не содержит единицы. [c.67]

Доказательств,о. Зафиксируем п я к. Для любого биллиарда из и А,а по теореме Биркгофа существует периодическая траектория типа (п, к). Построим новую кривую, принадлежащую ил,а, которая как угодно мало отличается от исходной (в смысле метрики пространства и а,а), причем соответствующий биллиард имеет невырожденное периодическое решение того же типа. [c.123]

Рассмотрим множество Уа.л биллиардов, принадлежащих и А, а И таких, что любой из них не имеет невырожденного периодического решения типа п, к) хотя бы для одной пары п, k) N , пу-к. Это множество в силу лемм 2г 3 и 5 есть объединение учетного числа нигде не плотных множеств в пространстве и а. л и является, таким образом, множеством первой категории Бэра. Любой биллиард, лежащий в а.л [c.128]

Из приведенного замечания следует, что в пространстве UA,a множество второй категории Бэра образует граничные кривые, обладающие для любых (п, k) N , n>k, невырожденным гиперболическим периодическим решением типа (п, к). [c.129]

Первые строгие результаты о неинтегрируемости гамильтоновых систем принадлежат Пуанкаре. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведение решений (например, рождение невырожденных периодических решений, расщепление асимптотических поверхностей и т. д.) несовместимо с полной интегрируемостью уравнений Гамильтона. В этой главе изложены основные методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем, основанные йа выявлении различных нетривиальных динамических эффектов, не свойственных вполне интегрируемым системам. Более подробное изложение содержится в работе [13]. [c.226]

Один показатель обращается в нуль из-за автономности гамильтоновой системы, а другой — из-за наличия интеграла Я (который не имеет критических точек на траекториях периодических решений). Если остальные характеристические показатели отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденные решения изолированы в том смысле, что на соответствующем (2п—1)-мерном уровне интеграла энергии Я в малой окрестности периодической тра- [c.229]

Теорема Пуанкаре дает нам метод доказательства неинтегрируемости если траектории невырожденных периодических решений заполняют фазовое пространство всюду плотно или хотя бы это множество обладает ключевым свойством, то гамильтонова система не имеет дополнительного аналитического интеграла. По-видимому, в гамильтоновых системах общего положения периодические траектории действительно всюду плотны (Пуанкаре (34), п. 36). Это пока не доказано. Отметим в связи с гипотезой Пуанкаре следующий результат, касающийся геодезических потоков на римановых многообразиях отрицательной кривизны все периодические решения имеют гиперболический тип и множество их траекторий всюду плотно заполняет фазовое пространство [3]. [c.230]

Для гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых, можно доказать существование большого числа невырожденных периодических решений и из этого факта вывести результаты п. 1.1. Для простоты ограничимся случаем двух степеней свободы. [c.230]

Действительно, периодические решения Г(/х), рождающиеся из состава периодических решений, расположенных на произвольном резонансном торе Тд С задачи Эйлера-Пуансо, невырождены, поэтому, как доказано в 1, функции Ж и зависимы во всех точках траектории Г(/х). Устремим /X к нулю. Периодическое решение Г(/х) перейдет в периодическое решение Г(0) невозмущенной задачи, лежащее на Тд, а функции Ж ш перейдут соответственно в Ж и По непрерывности функции Жо и о будут зависимы во всех точках траектории периодического решения Г(0). В некоторой окрестности тора Тд, на котором лежит Г(0), введем переменные действие-угол задачи Эйлера-Пуансо /1, /2, приведенной задачи Эйлера-Пуансо). Так как функции Жо и о зависимы на Г(0), [c.97]

При /X = О инвариантная поверхность является двумерным тором и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с постоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденности периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариантный тор не исчезнет, а лишь немного изменит свое положение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на [c.105]

В задаче о вынужденных колебаниях маятника (пример б) функция (2.7), очевидно, убывает и, следовательно, частота OJ J) убывает с ростом J. В частности, (РНо/(и < 0. Можно показать, что в этой задаче ряд Фурье для функции g содержит все гармоники с ненулевыми коэффициентами, и поэтому возмущенная задача имеет бесконечное число пар невырожденных 27гп/Л-периодических решений, где п > Л/ о- [c.241]

Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 — замкнутая траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH О в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая траектория 7 лежит на энергетической поверхности S = Н = onst , и лишь один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7, рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической системы на 17, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать изоэнергетически невырожденной периодической траекторией. [c.224]

Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на г-мерном инвариантном торе Т = ж mod 2тг, замкнуты. Эти периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см. следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной ситуации нри малых значениях е возмущенная гамильтонова система имеет несколько невырожденных периодических реП1ений, которые нри е —> О переходят в периодические решения, расноложенные иа резонансном горе Т"о. [c.225]

Тогда при малых ф О существует изоэнергетически невырожденное периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы с периодом т оно аналитически зависит от г и при е = О совпадает с периодическим решением невозмущенной системы [c.226]

При п = 2 имеются два типа возмущенных изоэнергетически невырожденных периодических решений. В первом из них > 0 [c.229]

Предположим, что инвариантный тор и = u ,v mod 2тг невозмущенной задачи заполнен периодическими траекториями. Пусть h — функция на (п - 1)-мерном торе, которая получается в результате усреднения функции Я. (и , v) по траекториям невозмущенной задачи. Можно показать, что, если при и = и выполнены условия (8.15), и критические точки функции h невырождены, то возмущенная система при малых е О имеет по меньшей мере различных невырожденных периодических решений того же периода, аналитических по е. Их характеристические показатели имеют асимптотику а = + о /7) ) (ао Ф 0). [c.231]

Теорема 6. Пусть а,(3 —вершины множества А, удовлетворяющие условиям теоремы 2 из 5, а ф О — точка из расположенная на одной из прямых ка + /3, у) = О (А = 0,1, 2,...), причем компоненты целочисленного вектора ка + 3 взаимно просты. Тогда по крайней мере два периодических решения на резонансном торе у = ф О невозмущенной задачи при возмущении переходят в изоэнергетически невырожденные периодические решения гамильтоновой системы с тем же периодом. [c.231]

Используя теорему 6, получаем, что если выпуклая оболочка Д не является ромбом, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (8.25) при е > О имеют бесконечно много различных изоэнергетически невырожденных решений с одним и тем же периодом (или энергией). К сожалению, область существования этих решений по е неограниченно уменьшается при к —> оо. Поэтому при каждом фиксированном е > О мы можем гарантировать существование большого, но конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических решений. Это обстоятельство не позволяет доказать неинтегрируемость системы (8.25) при малых фиксированных значениях е > 0. Однако можно доказать отсутствие аналитического по е семейства первых интегралов и нетривиальных групп симметрий. [c.232]

Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно 9, при малых > О инвариантные торы являются гиперболическими. При п = 1 они превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 8. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности кевозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы УК ПК эквивалентна двум условиям det V О и det(/i n/< ) ф 0. Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15). Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [c.240]

Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции Г амильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не исчезают, а переходят в периодические решеиия того же периода. Для инвариантных торов размерности m 2 это уже не так. В работах В. К. Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что гиперболические приводимые горы с сильно несоизмеримым набором частот (условие (Ю.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например, устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне (исключение составляют случаи, когда т=1и п=п — 1). Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Ю Мозера [129]. [c.240]

В типичной ситуации функция h является функцией Морса. Поэтому у нее всегда найдутся критические точки, в которьгх h имеет знак, противоположный знаку 6. При п = 1 получаем периодические решения возмущенной задачи, период которьгх кратен 27г/о . Этот случай, по существу, охватывается классической теоремой Пуанкаре о рождении невырожденных периодических решений (см. теорему 5 8). Отметим две особенности. Во-первых, зависимость возмущенных решений аналитична по е, а не по у/г, как в теореме 1. Во-вторых, критическим точкам функции /г, в которьгх к Х )6 > О, при е > О отвечают возмущенные периодические реигения эллиптического типа они устойчивы в линейном приближении. Условия их устойчивости по Ляпунову указаны в работе [123]. [c.247]

Роль малого параметра играет величина h . Из результатов п. 5 вытекает наличие у уравнения (11.12) бесконечного числа различных семейств невырожденных периодических решений, если энергия h достаточно велика. Этот эфс зект препятствует интегрируемости уравнения (11.12). [c.251]

Периодические решения Пуанкаре из теоремы 1 зависят от двух параметров непрерывного е и дискретного п. В предположениях теоремы 1 возмущенная система имеет 2тг7г-периодическое решение при фиксированном п и малом , В зависимости от знака произведения / (Ао) это решение может быть эллиптическим или гиперболическим. Возникает естественный вопрос о поведении возникающих невырожденных периодических решений при увеличении . Эта задача рассмотрена в работе [50. Оказывается, найдется такая положительная постоянная с, что с возрастанием < с/п мультипликаторы А, A периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки А = A = 1 при = О, либо монотонно движутся в противоположных направлениях положительной вещественной по- [c.296]

Трещёв Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой //В кн. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика.— М. изд-во МГУ, 1986. 121-127. [c.423]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Известно, что динамика гамильтоновых систем (в том числе систем с упругими отражениями) подчиняется вариационным принципам. В связи с этим обстоятельством характеристики периодических траекторий гамильтоновых систем можно разбить на два класса динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению уравнений движения. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности (по Пуанкаре) и орбитальной устойчивости. Вторые являются характеристиками периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу, а также введенный ниже определитель Хилла. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...