Периодическая точка, траектория

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

Тривиальные примеры инвариантных марковских подмножеств неподвижная или периодическая точка, траектория 5 "ж , асимптотическая при п 00 к периодическим или неподвижным точкам. [c.149]

Все материальные точки в течении, описываемом уравнениями (5-4.11) — (5-4.13), движутся периодически величина б описывает смещение относительно средней точки траектории.) Можно представить S в виде [c.198]

Отметим в заключение, что информация о преобразованиях монодромии стандартным образом переводится на язык дифференциальных уравнений неподвижным или периодическим точкам соответствуют замкнутые траектории, инвариантным окружностям — инвариантные торы или бутылки Клейна и т. д. [c.55]

Негиперболические циклы. Исследуем гомоклинические траектории негиперболических циклов. В однопараметрических семействах общего положения могут встречаться негиперболические циклы, имеющие один мультипликатор 1 или —1 или пару невещественных мультипликаторов е " . Если остальные мультипликаторы лежат внутри (вне) единичной окружности, то будем говорить, что такой цикл — типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае цикл — типа седло по гиперболическим переменным. Аналогичные определения даются для неподвижной или периодической точки диффеоморфизма. Опишем устойчивые и неустойчивые множества негиперболических циклов, предполагая, что выполнены требования общности положения из 1 главы 2. [c.90]

Если Vx/vy есть число рациональное, то написанные функции будут периодическими, а траектория точки будет замкнутой фигурой Лиссажу. Но если числа v и Vy несоизмеримы, то получающаяся фигура не будет замкнутой, и движение не будет строго повторяющимся. Уравнения (9.50) будут в этом случае простейшими частными случаями уравнения (9.49). [c.324]

Если это требование выполняется, то траектория будет замкнутой и алгебраической, в противном случае движение точки Р не будет периодическим, и траектория будет незамкнутой и трансцендентной. [c.138]

Простой маятник. Для простоты положим = О и 0о = О, так что начальному положению груза будет соответствовать наинизшее его положение. Зависимость 6 от t для различных начальных скоростей представлена на рис. 5. Если ij произвольно, а 01 произвольно в пределах —я < Bj < я, то траектория, разумеется, не будет единственной. Единственность траектории можно гарантировать, если принять следующие ограничения а) рассматривать лишь периодические движения с амплитудой, меньшей л, исключив из рассмотрения траектории, где 9 изменяется монотонно Ь) рассматривать только положительные начальные значения 0 с) считать, что конечное значение достигается за время, меньшее, чем один полный период. [c.276]

ТО все движения будут периодическими с периодом 2я/со. Это утверждение справедливо независимо от начальных условий. Простым примером может служить изотропный осциллятор. В других системах периодическими являются все траектории, которые начинаются в некоторой области фазового пространства. Если, например, частица движется к центру под действием ньютоновского притяжения то траектория, начинающаяся в момент t = О из точки X, у, Z, рх, Pij, Pz фазового пространства, будет периодической, если начальная точка лежит в области [c.280]

Так как обе функции, и и 5, содержат h п а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречаюш ейся здесь особенности. [c.308]

Если Гр > 1, то г > О и г - .оо вместе с t. Если 1 > Го > 1/2, то г < О и г 1/2 когда г -> оо траекторией является спираль, накручивающаяся снаружи на окружность г = 1/2. Если 1/2 > Го > 1/3, то г > О и г 1/2, когда t оо траекторией является спираль, накручивающаяся изнутри на окружность г = 1/2. Вообще, если О < Го < 1 и Го не имеет вида 1/ге, то траектория представляет собой спираль, накручивающуюся изнутри или снаружи на ближайшую окружность, радиус которой равен обратной величине четного целого числа. Добавление членов высшего порядка не изменяет устойчивости, установленной линейным приближением она не становится асимптотической. Не все траектории вблизи точки О являются периодическими (как это было в примере 19.10А, 1) и в примере 19.ЮС). Читатель может попробовать самостоятельна [c.382]

Координаты Хс и у для точек траектории центра тяжести будут являться некоторыми периодическими функциями угла поворота кривошипа [c.187]

НОМ пунктирной линией на фиг. П.4.4, а) движение является периодическим соответствующие траектории представлены любой отдельной точкой пунктирной окружности. Все другие торы содержат эргодические траектории, которые здесь изображены непрерывными окружностями. [c.370]

Предположим теперь, что система (1.1) имеет то (О то п —1) первых интегралов 1(ж),. .., т(ж), аналитических в К . Докажем, что если в точках траектории периодического решения х 1, ) ранг матрицы [c.77]

Периодические решения, о которых идет речь в предложении 1, по аналогии с системами с одной степенью свободы, назовем либрациями. Вращениями естественно назвать периодические решения, траектории которых пе имеют общих точек с границей области возможных движений. Легко сообразить, что в натуральных механических системах периодических решений другого типа нет. [c.141]

Для доказательства рассмотрим невырожденные периодические решения 7 (е), рождающиеся из семейства периодических решений, расположенных на резонансном торе у К (см. теорему 5). Ввиду их невырожденности при е ф О, функции Н и Р зависимы во всех точках траектории 7(5) (см. теорему 4). Устремим е к нулю. Периодическое решение у(е) перейдет в одно из периодических решений 7(0) невозмущенной задачи, лежащее на торе у = у , а функции Н и Р станут равными Щ м Ро. По непрерывности они будут зависимы во всех точках траектории 7(0). Следовательно, [c.227]

Обсудим некоторые следствия теоремы 2. Как и в п. 1, доказывается, что 8 действует на Л транзитивно (имеются траектории, всюду плотно заполняющие Л) и что периодические точки плотны в Л. [c.306]

В число особенностей фазового потока входят, в частности, неблуждающие фазовые точки (т. е. такие, что любая их окрестность пересекается с некоторой фазовой траекторией по меньшей мере дважды). К числу таких точек относятся, в частности, неподвижные точки, соответствующие стационарным решениям уравнений гидродинамики, и периодические точки, лежащие на замкнутых траекториях, соответствующих периодическим по времени решениям. Далее, к ним относятся предельные точки траекторий о)< [c.95]

Если эти частоты несоизмеримы, то траектория точки будет незамкнутой и, следовательно, точка никогда ие займет повторно того положения, которое она уже занимала, хотя через достаточно большой интервал времени точка как угодно близко подойдет к этому положению (такое движение является примером условно-периодического движения). [c.442]

Сложность динамической системы и энтропия. Последовательность представляет собой экспериментальные данные о системе. Еслн в ней обнаруживается простая закономерность, например если оиа оказывается периодической, то мы не склонны считать изучаемую систему или по крайней мере траекторию "х случайной. Еслн же эта последовательность достаточно сложна и непредсказуема , то естественно приписать изучаемой системе случайные свойства. Разумеется, одна траектория и отвечающая ей запись показаний прибора ф(х) могут не быть достаточно представительными . Поэтому в расчет должны приниматься либо вся совокупность траекторий, либо особо примечательные траектории. Сначала мы рассмотрим первую возможность, стараясь охарактеризовать сложность системы, исходя из разнообразия ее запаса фазовых траекторий. [c.198]

Мы уже встречались с такими свойствами, связанными с наличием некоторого возвраш ения траекторий, как топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2). Топологический тип замыкания множества Рег(/) всех периодических точек представляет собой другой инвариант того же типа. Кроме того, из определения 1.6.2 нам известны понятия ш-пре-дельного и а-предельного /-инвариантного множества х для каждой точки X. Некоторые инварианты топологического сопряжения можно получить, изучая топологический тип совокупности а-и w-предельных множеств например, топологическая транзитивность эквивалентна тому факту, что одно из этих множеств содержит все пространство. Объединение всех а-или w-предельных множеств не обязано быть замкнутым. Топологический тип [c.138]

Полученный результат следовало ожидать заранее, так как мы знаем, что в случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, траектория движущейся точки является замкнутой (при iS < 0). Поэтому изучаемое движение должно быть строго периодическим и, следовательно, полностью вырождающимся. Если бы центральная сила содержала член (вносимый релятивистскими поправками), то траектория была бы незамкнутой, а движение было бы непериодическим (оно совершалось бы по прецессирующему эллипсу). Одно из вырождений было бы в этом случае уничтожено, но движение все еще было бы вырождающимся, так как равенство ve = Vф справедливо для всех центральных сил. [c.332]

Если ц есть число иррациональное, то движение не будет периодическим, а траектория будет располагаться вся внутри прямоугольника (ai х bi, i>2) плоскости ху, оставаясь незамкнутой (рис. 49). Такое движение называют квазипериодическим. Более подробное изучение квазипериодических движений связано с введением так называемых угловых пережнных. Это исследование мы отложим до рассмотрения общего случая п переменных. (В 1.3 был указан один простой пример введения угловой переменной для системы с одной степенью свободы.) [c.307]

Действительно, периодические решения Г(/х), рождающиеся из состава периодических решений, расположенных на произвольном резонансном торе Тд С задачи Эйлера-Пуансо, невырождены, поэтому, как доказано в 1, функции Ж и зависимы во всех точках траектории Г(/х). Устремим /X к нулю. Периодическое решение Г(/х) перейдет в периодическое решение Г(0) невозмущенной задачи, лежащее на Тд, а функции Ж ш перейдут соответственно в Ж и По непрерывности функции Жо и о будут зависимы во всех точках траектории периодического решения Г(0). В некоторой окрестности тора Тд, на котором лежит Г(0), введем переменные действие-угол задачи Эйлера-Пуансо /1, /2, приведенной задачи Эйлера-Пуансо). Так как функции Жо и о зависимы на Г(0), [c.97]

Сценарий Помо и Манне-БИЛЯ (1980) возникновение перемежаемости во времени периодического и стохастического движения после обратной тангенциальной бифуркации (слияния и исчезновения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек отображения Пуанкаре, т. е. устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий), причем промежутки времени со стохастическим движением случайны,, а с периодическим — пропорциональны ц — Примером мо- [c.138]

Если периодическая точка х принадлежит dS", то ardn (x)> I. Чтобы учесть эту неоднозначность, вводятся вторичные ТМЦ, состояния которых — это наборы прямо угольников Ei, разбитые иа поднаборы. Пусть % = f x, Setx= Яь...,ед. Периодическая траектория x,fx,.,. [c.229]

Мера максимальной энтропии и распределение периодических точек. В работах данного сборника гиббсовские меры для А-снстем строятся с помощью марковских разбне-нин. Возможен н другой подход, развитый Боуэном в рабо тах [24], [25], [26], для мер с максимальной энтропией. При STOM подходе мера с максимальной энтропией получается как предел мер, сосредоточенных на периодических траекториях. [c.230]

Но в момент to Т координаты р = а + д и z принимают свои начальные значения ро = а + Хо и Zo (для случая X == т, 2о = 0), а v to- Т)= Vo2пЬо. Поэтому, так как feo, вообще говоря, есть число иррациональное, то траектория не замыкается и движение точки Р, соответствующее какому-либо из двух периодических решений системы (7,25), само не является периодическим. [c.329]

Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных рещений так называемые эллипсоидальные и ги-перболоидальные орбиты [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсопда. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137]. [c.848]

Строгий результат относительно (3.1) заключается в следующем (Я. Г. Синай). В окрестности иолуцелых значений К = = Л + /г (Л = 1, 2,. ..) расположены области конечной меры такие, что при значениях К, попадающих в эти области, существуют устойчивые периодические точки Xi, Хг,. .., к которым притягиваются траектории. Таких областей бесконечно много, и их размер уменьшается с ростом К. Приведем качественное исследование этого случая [80]. [c.84]

Обратимся теперь к случаю, когда совокупность С содержит отрезки, которые не являются полностью непересекающимися, а именно могут иметь общие концы. В этом случае построение такого же полусопряжения, как выше, затруднено тем обстоятельством, что траектории точек не вполне определяются траекториями отрезков . Пример тентообразных отображений (упражнение 2.4.1) показывает, что само отображение действительно может быть (нетривиальным) фактором цепи Маркова. Вообще говоря, полусопряжения в обеих направлениях могут отсутствовать (см. п. 2.5 а). Однако квазисопряжения , которые можно получить, обладают достаточно хорошими свойствами для того, чтобы сделать те же выводы, что и выше, относительно энтропии и роста числа периодических точек. [c.494]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Следовательно, фй = 0(гГ + ф°. Эти формулы задают условно-периодическое движение на двумерном торе T = фl, фгто(12я с постоянными частотами Qi и 0,2. Области, изображенные на рис. 40, являются проекциями тора на плоскость R2 = a , у). Если отношение 0 /Й2 = Тг/т1 рационально, то траектория точки в эллипсе замкнута. В противном случае траектория заполняет указанные области всюду плотно. Наличие инвариантных торов с условно-периодическими движениями — характерное свойство интегрируемых гамильтоновых систем (см. по этому поводу [3, гл. 4]). [c.103]

Несколько менее наглядными, но не менее изящными оказываются периодические долетные траектории. На рис. 89, а показана одна из них. В момент, когда Луна находится в точке Л , космический аппарат, получив эллиптическую горизонтальную скорость, начинает движение по траектории с апогеем Ль лежащим за орбитой Луны. Оставив позади место пересечения орбиты Луны и не встретив там Луну (она еще туда не дошла), он минует затем свой апогей и, возвращаясь к Земле, вновь подходит к орбите Луны. С момента отлета с Земли прошло немного более полумесяца. За это время Луна подошла к точке Лх, и аппарат попадает в сферу действия Луны. Описав под действием притяжения Луны петлю вокруг нее, аппарат выходит из сферы действия Луны наружу по отношению к орбите Луны с эллиптической геоцентрической скоростью и начинает движение по новой эллиптической орбите. Эта орбита отличаегся от предыдущей только положением большой оси в пространстве. Пройдя апогей Л а, аппарат вновь направляется к Земле. На этот раз, пересекая орбиту Луны, он уже не находит там Луну, которая ушла за это время далеко вперед, и беспрепятственно продолжает свой путь к Земле. Через полмесяца с лишним после встречи с Луной, когда сама Луна уже оказалась в точке Л , аппарат снова проходит вблизи Земли. Это происходит через месяц с лишним после его отлета с Земли. Хотя траектория аппарата не замыкается, но он проходит над поверхностью Земли в точности на той же высоте и имеет ту же по величине горизонтальную скорость, чго и в начальный момент. Поэтому его новый эллиптический путь, показанный пунктиром, [c.232]

В любой заданный момент времени траектории в фазовом пространстве не пересекаются. Это очевидно из того факта, что начальные условия однозначно определяют последующее движение. Поэтому если бы две траектории совпали, т. е. в какой-то момент времени их значения р vi q оказались бы одинаковыми, то и последующее их движение было бы одинаковым. Если гамильтониан не зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве также не зависят от врекгени и, следовательно, вообще не могут пересекаться. Очевидно, что в расширенном фазовом пространстве с добавочной временной координатой траектории не будут пересекаться, даже если гамильтониан периодически зависит от времени ). [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...