Уравнение орбиты спутника

В дальнейшем нам предстоит из формул (8) и (9) вывести важные для практики свойства движения спутника законы Кеплера, уравнение орбиты спутника, зависимость положения спутника на этой орбите от времени. [c.45]

УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ СПУТНИКА 55 [c.55]

УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ СПУТНИКА [c.55]

При помощи интеграла площадей и интеграла Лапласа можно получить уравнение орбиты спутника. [c.55]

Это и есть уравнение орбиты спутника (при о =(= 0), [c.56]

УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ СПУТНИКА 59 [c.59]

Уравнение орбиты спутника. Вектор Лапласа можно записать в показательной форме [c.95]

Искомую зависимость между величинами т и 0 (при данных /С, 8, р) можно найти из уравнения орбиты спутника (1) и из интеграла площадей [c.103]

Орбита спутника. Докажите, что период Т обращения спутника по круговой орбите, расположенной непосредственно над экватором однородной планеты, имеющей форму шара с плотностью р, зависит только от плотности этой планеты (выведите уравнение). [c.103]

Рассмотрим уравнение колебания спутника в плоскости орбиты. Пусть орбита эллиптическая с эксцентриситетом е. На углы либрации спутника соответственно в плоскостях, перпендикулярных плоскости орбиты, величина эксцентриситета влияния не оказывает. В уравнении, характеризующем либрационное движение в плоскости орбиты, появится возмущающий момент, обусловленный переменной составляющей скорости движения центра масс спутника по орбите [7] [c.21]

Недавно был разработан метод осреднения , предназначенный для решения -линеаризованных уравнений движения спутника с двойным вращением, свободного от воздействия внешних тел [1 ]. В настояш,ей заметке содержится обобщение задачи с учетом влияния поля тяготения Земли. Предполагается, что спутник обращается по круговой орбите и ось его собственного вращения направлена с определенной точностью перпендикулярно плоскости орбиты. [c.93]

Найдем теперь расстояния от точки М до точки ш, т. е. от притягивающего центра до спутника, соответственно в перицентре и апоцентре, пользуясь уравнением орбиты (П1.28) [c.413]

Пусть орбита спутника Р задана уравнениями вида (1). В каждый момент времени t положение спутника вполне определено, если задано соответствующее число Z, называемое эксцентрической [c.107]

Пусть нам известны шесть элементов эллиптической орбиты спутника Й, gl, е, /q- Тогда можно предсказать его положение в любой момент времени /. Действительно, решая уравнение Кеплера [c.142]

Если бы спутник двигался по этой орбите, то в любой последующий момент его положение и скорость определялись бы формулами задачи двух тел, выведенными в главе II. Таким образом, уравнение орбиты имело бы вид [c.269]

Задача о движении спутника около центра масс обычно рассматривается в ограниченной постановке считается, что движение около центра масс не влияет на орбиту спутника. В ограниченной задаче уравнения движения спутника в гравитационном поле допускают первый интеграл — интеграл типа Якоби, который существует только на круговой орбите и может быть записан в следуюш ем виде (В. В Белецкий, 1959) [c.289]

В настоящем параграфе мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты спутника. Для этого мы воспользуемся методом Гамильтона — Якоби и сфероидальными координатами I, т), и>, которые связаны с прямоугольными координатами X, у, Z формулами [c.49]

Поскольку правая часть содержит sin 2ю, то интегрирование этого уравнения даст нам долгопериодическое возмущение с периодом, равным половине периода обращения перигея орбиты спутника. [c.330]

Из приведенных уравнений можно получить различные приближенные формы уравнений движения спутника относительно центра масс на круговой и эллиптической орбитах. [c.765]

Если орбита центра масс эллиптическая, то дифференциальное уравнение движения спутника относительно центра масс будет иметь вид [c.766]

Уравнение орбиты. Согласно условию (2.2.8) движение спутника происходит в неизменяемой плоскости, т. е. траектория представляет собой плоскую кривую, которую называют орбитой спутника. Для получения уравнения орбиты используем вектор Лапласа. Предварительно найдем скалярное произведение f на г [c.40]

Вычислим с помощью уравнения орбиты (2.2.31) расстояния от притягивающего центра до спутника в перицентре [c.43]

Зная истинную аномалию, можно из уравнения орбиты (2.2.31) определить г — расстояние спутника до притягивающего центра. Радиальная Vr и трансверсальная F составляющие скорости вычисляются по формулам (2.3.5) и (2.3.7). Пусть г и п — единичные векторы, направленные соответственно по радиусу- вектору и по нормали к нему в плоскости движения. Тогда радиус-вектор спутника [c.100]

Воспользуемся полученными в [39] дважды осредненными (за период обращения спутника и за период обращения внешнего возмущающего тела) уравнениями для изменения элементов оскулирующей орбиты спутника [c.415]

Расстояние до объекта порядка радиуса Земли (например, спутник Зе.мли). В этом случае должны применяться точные уравнения. Величины (а — а), (б —б) и (/ —г) теперь уже не являются малыми. Дальность г либо может быть непосредственно измерена ири помощи радиолокатора, либо, если орбита спутника известна, может быть найдена приближенно. Если ни одно из этих условий не выполняется, то учесть поправки, обусловленные геоцентрическим параллаксом, уже не так просто. Для того чтобы получить расстояние, надо иметь данные наблюдений по крайней мере из двух точек на поверхности Земли. Если спутник наблюдают одновременно с двух станций О и О", то на каждой станции получают его видимое положение. Пусть эти положения задаются парами чисел (а, б ) и (а", б"). Геоцентрическое положение спутника задается парой чисел (а, б). Если расстояния от спутника до точек О, О" и до центра Земли обозначить г, г" и г, то тогда мы имеем пять неизвестных величин а, б, г, г" и г. Уравнения (3.28), (3.29) и (3.30) записываются сначала применительно к О, а затем к О". Из полученных таким образом шести уравнений могут быть найдены наши пять неизвестных. Заметим, что на практике одновременное проведение наблюдений маловероятно, так что задача обработки данных наблюдений оказывается значительно более сложной. [c.83]

Анализ последнего выражения показывает, что когда величина 4 изменяется от ее минимального значения, достигаемого в апогее, до максимального значения, достигаемого в перигее, величина сначала возрастает, проходит через максимум, а затем снова уменьшается. Следовательно, минимальное значение 3 достигается в том случае, когда переход с промежуточной орбиты происходит либо в перигее, либо в апогее орбиты спутника. Если переход происходит в апогее, то, положив рз = а и использовав уравнение (19), получим [c.705]

Переход между орбитами в поле центральной силы (перелет от Земли к Марсу в поле Солнца). Задача разыскания траектории оптимального ухода в поле центральной силы описывается системой дифференциальных уравнений (8.24), (8.25), (8.26), (8.34) и (8.35). Эти же уравнения можно использовать и в задаче перехода между орбитами. Такие задачи могут возникнуть при перелете с одной орбиты спутника Земли на другую, или с одной из орбит вокруг Солнца на другую. Доктору Блюму и автору настоящих строк удалось найти [10] ряд оптимальных траекторий перелета с орбиты Земли на орбиту Марса. Искомая траектория должна удовлетворять не только условию равенства координат ракеты и Марса в момент встречи, но и условию равенства их скоростей. Если же их скорости при встрече будут сильно отличаться друг от друга, то может оказаться, что за короткое время прохождения вблизи Марса ракета с двигателем малой тяги не успеет затормозиться и не будет захвачена планетой. [c.310]

Малые колебания системы спутник — стабилизатор в плоскости орбиты в окрестности положения равновесия описываются уравнениями [31 ] [c.91]

Рассмотрим теперь задачу Кеплера требуется найти орбиты двух тел, силы взаимодействия между которыми определяются законом обратных квадратов. Классическим примером объекта для этой задачи является движение планет Солнечной системы. Другие важные примеры — это движение спутников вокруг планет и относительное движение компонентов двойной звезды. Уравнение движения F = М для i-й материальной точки из системы N таких точек имеет следующий вид [c.280]

Для вывода законов Кеплера, уравнения орбиты спутника и некоторых других формул задачи двух тел можно воспользоваться аппаратом комплексных переменных. Пусть материальная точка (Р, т) (непритягивающий спутник) движется под влиянием тяготения к притягивающему центру [c.90]

Если спутник обладает собственным магнитным полем с магнитным моментом /, то действующий на спутник момент сил, как видно из (1.4.1), будет равен нулю, если вектор / параллелен вектору напряженности Н внешнего магнитного поля. Отсюда следует принципиальная возможность ориентировать и стабилизировать спутник относительно магнитного поля Земли, подобно тому как ориентируется стрелка компаса. Учитывая, однако, что вектор Н неравномерно вращается вдоль орбиты спутника, следует ожидать, что точную ориентацию осуществить, вообще говоря, нельзя, так как будут иметь место вынужденные колебания оси / относительно Н вследствие неравномерного вращения вектора Н. Рассмотрим этот эффект в простом случае плоских колебаний на полярной (/ = 90°) круговой орбите (считая, что магнитные полюсы Земли совпадают с географическими). Отметим, кстати, что для экваториальной орбиты имеем, согласно (1.4.7), Я=соп51. Поэтому ориентация спутника по магнитному полю может быть осуществлена точно. Для полярной орбиты в случае плоских колебаний имеем уравнение [c.141]

Обработка измерений магнитометров выполнялась следующим образом. По измерениям, относящимся к некоторому отрезку времени о 1 строились функции Нг 1) (г = 1, 2, 3), которые задавали на этом отрезке компоненты вектора Н(<) местной напряженности магнитного поля Земли в строительной системе координат спутника Зу1у2уз (ось вуг параллельна продольной оси спутника и направлена от спускаемого аппарата к приборному отсеку). С другой стороны, зная орбиту спутника и воспользовавшись аналитической моделью магнитного поля Земли, можно рассчитать компоненты H(i) в инерциальпой системе координат (7 1 2 3 связанной с земным экватором. Эти компоненты обозначим /i(i) (г = = 1, 2, 3). Полученные два набора функций должны быть связаны определенными соотношениями, из условия выполнения которых находилось решение уравнений вращательного движения спутника, аппроксимирующее на отрезке о 1 его фактическое движение. [c.602]

Для этой цели употребляются обычнйе уравнения Ньютона или Лагранжа, определяющие возмущения элементов оскулирующей кепле-ровой орбиты спутника под действием возмущающей силы, заданной своими проекциями на три взаимно перпендикулярные направления. [c.360]

При выводе формул для возмущений обычно предполагают, что элементы орбит Луны и Солнца постоянны, за исключением долгот узла и перигея, которые рассматриваются как линейные функции времени. Такие предположения обоснованы в случае Солнца. Что касается Луны, то ее эксцентриситет изменяется от 0,045 до 0,065, а наклон к эклиптике — от 4°57 до 5°20, что вносит поправку в долготу Луны в десятых долях градуса. В связи с этим И. Козаи [4] предложил использовать комбинированный численно-аналитический метод для вычисления лунносолнечных возмущений. Короткопериодические возмущения учитываются аналитически, а для получения возмущений долгого периода численно интегрируются уравнения в вариациях для элементов орбиты спутника. При этом координаты Луны и Солнца берутся из Астрономического Ежегодника. [c.238]

В этой главе изложена теория промежуточных орбит ИСЗ. Эти орбиты строятся на основе некоторых аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения спутника в квадратурах. Поскольку аппроксимирующие выражения включают в себя основную часть возмущающей функции, обус ловленной несферичностью Земли, промежуточные орбиты оказываются более близкими к истинной орбите спутника, чем кеп-леровский эллипс. В некоторых случаях метод промежуточных орбит позволяет математически строго решить главную проблему в теории движения ИСЗ. [c.577]

В этом параграфе будет рассмотрен другой тип аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли. Эти выражения были предложены Р. Барраром [29], Дж. Винти [30] и М. Д. Кисликом [31]. Все они обладают двумя важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала реальной Земли членами порядка выше первого относительно сжатия. Во-вторых, дифференциальные уравнения движения в гравитационном поле, определяемом аппроксимирующими потенциалами, строго интегрируются в квадратурах. В отличие от промежуточных потенциалов, рассмотренных в предыдущих параграфах, они зависят только от постоянных гравитационного поля Земли, и не зависят от элементов орбиты спутника. Возмущающая функция в этом случае не содержит второй зональной гармоники. [c.581]

Критической величине эксцентриситета орбиты спутника соответствует значение аргумента перицентра (Окрит, которое согласно (8.6.19) и (8.6.24) определяется из уравнения [c.422]

Если пренебречь степеня.ми эксцентриситета и наклонности орбиты спутника выше второй, то можно применить следующие сокращенные уравнения [см. гл. XI, уравнения (21)] [c.277]

Возвращаясь опять к случаю тесной двойной, сопровождаемой удаленной третьей звездой, нетрудно видеть, что элементы орбиты спутника относительно главной звезды будут изменяться. Поскольку возмущающая функция задачи оказывается малой, можно использовать уравнения Лагранжа для построения общей теории возмущений, дающей изменения (коротко-, длиннопериодные и вековые) элементов орбиты. Преимущественно используются разложения, применяемые в теории Луны, что становится понятным, если напомнить, насколько полезными оказываются координаты Якоби как в теории Луны, так и в задаче трех тел. [c.468]

Проведенный в предыдущих параграфах анализ позволяет произвести оценку возможностей одноступенчатой ракеты в отношении подъема полезного груза в космическое пространство. Правда, при выводе груза на орбиту спутника Земли или на траекторию полета к Луне участок активного полета не будет прямолинейным, однако при соответствующем усреднении величины os 0 для приближенного определения конструктивных параметров ракеты, позволяющих достигнуть требуемой скорости, все же можно воспользоваться уравнением (1.14). Оценим сначала требуемое значение х корости ракеты в конце активного участка. Согласно работе [18] Для вывода искусственного спутника Земли на круговую орбиту высотой 200 миль (322 км) — минимальная высота, на которой еще возможно достаточно длительное существование спутника без чрезмерных потерь энергии от трения о воэдух,— необходима конечная скорость 25 400 фут сек ( 7,8 км/сек). При запуске ракеты с экватора в восточ- ном направлении за счет вращения Земли можно получить даром скорость около 1 500 фут/сек (- 460 jtt/сек), так что сама ракета должна будег развить скорость лишь около 24 000 фут/сек (7,35 км/сек). Для полета к Луне минимальная потребная скорость ракеты при использовании скорости вращения Земли составит около 34 ООО фут/сек (10,4 км/сек). [c.30]

Рис. 3.24. Период обращения Г= =2я/( ) искусственкого спутника, описывающего круговую орбиту вокруг Земли. Этот график построен по уравнению (61).

Решение. После того как ракета-носитель вывела спутник массой т на заданную орбиту и сообщила ему скорость V, касательную к орбите, спутник продолжает движение под действием одной лшдь силы притяжения Земли. Для определения скорости V спутника применим принцип Даламбера, т. е. приложим к спутнику центробежную силу инерции и составим уравнение равновесия, спроецировав силы на ось, проходящую через спутник и центр Земли [c.138]

Предметом работы И. Ф. Верещагина К рептепню экстремальной задачи движения точки переменной массы (1960) является достаточно общая экстремальная задача — определение оптимальной в том или ином смысле кривой выведения искусственного спутника Земли на орбиту указан метод построения уравнений, дополнительных к уравнению Мещерского, и с помощью выведенных дифференциальных уравнений экстремалей находится оптимальный угол старта ракеты. [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...