Уравнение равновесия Эйлера

Итак, присоединив к дифференциальным уравнениям равновесия Эйлера проекции сил инерции (3.10), получим [c.73]

Распределение давления в покоящейся жидкости находится из уравнений равновесия Эйлера [c.15]

Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)) [c.202]

Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси Оу и 02, в результате чего система трех уравнений равновесия жидкости (уравнения Эйлера) запишется в виде " + = дх [c.29]

Таким образом, для вариационного уравнения бУ = О уравнениями Эйлера—Остроградского являются дифференциальные зависимости Коши (5.76) и дифференциальные уравнения равновесия (5//7), а естественными граничными условиями — условия (5.78) и (5.79). [c.106]

Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) один из крупнейших математиков мира. Швейцарец по происхождению, он длительное время жил и работал в Петербурге (1727—1741 гг.), и с 1766 г. до конца жизни являлся действительным членом Петербургской академии наук. Помимо выдающихся математических работ, л. Эйлер опубликовал ряд основополагающих результатов по гидромеханике, в том числе дифференциальные уравнения равновесия и движения невязкой жидкости. [c.29]

Случаи, когда жидкость покоится относительно стенок резервуаров, движущихся с ускорением относительно Земли, называют обычно относительным покоем. Выбирая систему координат, жестко связанную со стенками резервуара, мы приходим к статической задаче, основой для решения которой служат уравнения Эйлера (4-1). В соответствии с известным принципом механики при пользовании уравнениями равновесия в системе координат, которая движется с ускорением, мы должны в число действующих массовых сил включить также силы инерции. Имея это в виду, рассмотрим два случая относительного равновесия. [c.74]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА [c.9]

Леонардом Эйлером были выведены уравнения равновесия и движения жидкостей и газов, указаны некоторые интегралы этих уравнений и сформулирован закон сохранения массы применительно к жидкости. Эйлер исследовал также некоторые вопросы движения к практическим задачам судостроения и конструирования гидравлических машин. [c.7]

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнение Эйлера). [c.13]

Академик Эйлер в сочинении Общие принципы движения жидкости (1755 г.) вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей, дав общее решение задачи. Из дифференциальных уравнений Эйлера легко может быть получено и уравнение Бернулли, являющееся частным решением этих уравнений. [c.7]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА) [c.22]

Полученные уравнения (2.8), (2.8 ) и (2.8") являются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (уравнения Эйлера) [c.24]

Полученные уравнения (18), (18 ) и (18") являются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (Эйлера) [c.27]

В 1755—1756 гг. выходят в свет работы Л. П. Эйлера (1707—1783 гг.), где впервые приводится полная система дифференциальных уравнений равновесия и движения идеальной жидкости. [c.7]

Система уравнений (17) и есть дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Впервые их вывел Леонард Эйлер в 1755 г. [c.23]

Это и есть дифференциальные уравнения равновесия жидкости, выведенные Л. П. Эйлером в 1755 г. [c.11]

Равновесие жидкости описывается диффе- о-ренциальными уравнениями Эйлера, в результате преобразования которых может быть получено основное уравнение равновесия в дифференциальной форме [c.9]

Пример использования вариационного пути получения дифференциальных уравнений и естественных граничных условий в механике твердого деформируемого тела. Пример 15.1. Получить уравнение равновесия изогнутого стержня как уравнение Эйлера вариационной проблемы о минимуме функционала потенциальной энергии системы 1). [c.444]

Таким образом, дифференциальное уравнение Эйлера рассматриваемой вариационной проблемы приобретает вид уравнения равновесия изогнутой балки [c.448]

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

Из условия стационарности функционала П получаются дифференциальные уравнения равновесия как уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной проблемы, из этого же условия вытекают условия равновесия на границе (см. 15.20). Уравнения равновесия для дискретных статически неопределимых систем выводятся из (15.64) в нашей книге (см. сноску ) на стр. 563). [c.487]

Разумеется, поскольку у вектора и, от которого зависит функционал /х (и) и по которому производится варьирование последнего, три составляющих, то и уравнений Эйлера в вариационной задаче для (и) тоже три (дифференциальные уравнения равновесия или три уравнения Ламе, если представлять их не в векторной форме, а в составляющих). [c.520]

Сила Р является параметрической нагрузкой, и, если она неизменна во времени, ее критическое значение можно найти при помощи метода Эйлера. Пусть ф — угол отклонения стержня от вертикали и с—коэффициент жесткости упругого шарнира. Тогда восстанавливающий момент (момент упругого шарнира) составляет —сф, и уравнение равновесия стержня в отклоненном состоянии приобретает вид [c.277]

Уравнение Эйлера (42.16) в проекции на нормаль к линии тока I/2 (уравнение равновесия) [c.289]

Уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.6) являются уравнениями Эйлера и естественными граничными условиями вариационного уравнения (3.18). При этом предполагаются выполненными определяющее соотношения [c.117]

Добавим к силам G и Т силу инерции Q , направнв ее противоположно ускорению а . Согласно принципу Германа—Эйлера — Даламбера, силы G, Т и Q образуют уравновешенную систему. Поэтому, выбрав оси координат, как показано на рис. 1.186, б, составим два уравнения равновесия [c.158]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Решение. Определяем Ркр методом Эйлера. Находим такое значение силы Р, при котором наряду с исходной прямолинейной формой существует смежная риволинейная форма равновесия стержня (рис. 6). Упругий стержень представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Уравнение равновесия стержня в смежном состоянии будет дифференциальным уравнением изгиба [c.256]

Теперь покажем, что уравнениями Эйлера—Остроградекого и естественными граничными условиями для функций щ, реализующих минимум функционала П, являются уравнения равновесия (4.12) и граничные условия (4.21). [c.100]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Критическое состояние упругой системы по Эйлеру соответствует такому значению внешних нагрузок, когда наряду с исходной равновесной ( юрмой становится возможной сколь угодно близкая К первой новг1я равновесная форма при тех же значениях нагрузки. Предположим, что при некотором значении F =/ кр наряду с равновесной прямолинейной формой равновесия упругого стержня становится возможной близкая к ней искривленная форма равновесия, которая может быть описана функцией прогиба и = и (г). В этом случае и уравнение равновесия в изогнутом со- [c.347]

Основоположниками гидравлики являются члены Петербургской Академии наук Михаил Васильевич Ломоносов (1711—1765гг.), Даниил Иванович Бернулли (1700—1782 гг.) и Леонард Павлович Эйлер (1707—1783 гг.). В 1738 г. была опубликована книга Д. И. Бернулли Гидродинамика . В 1748 г. в письме к Л. П. Эйлеру М. В. Ломоносов впервые изложил открытый им закон сохранения энергии. В 1755 г. Л. П. Эйлер дал дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей. [c.4]

При установившемся движении невязкой жидкости на ее элементарный объем кроме внешних массовых сил и сил давления (см. гл. II, 2, рис. 5) действуют еще силы инерции, обусловленные изменением скорости вдоль потока (в главном направлении). Взяв за основу дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера (22) и прибавив к ним с обратным знаком проекции сил инерции, отнесенные к единице массы, duJdt, dUyldt и duJdt получим дифференциальные уравнения движения Эйлера [c.43]

Со во ку пные дисЬГерешиальние уравнения равновесия жидкого тела /отнесенные к единице массы жидкости/ были получены членом Петербургской акадечип наук. Леонардом Эйлером в 1755 г, в виде [c.21]

Отсюда следует, что нулю должны равняться выражения в квадратных скобках. Получаемые при этом равенства суть соответственно уравнения равновесия в области и на границе. Таким образом, доказано сделанное выше утверждение — следствиями стационарности ()>ункционала (и) являются дис х )еренциальное уравнение равновесия во всем объеме тела (которые представляют собой уравнения Эйлера в вариационной проблеме для с )ункцио-нала /i(u)) и уравнения равновесия на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, вытекающие из равенства нулю граничного члена (последний интеграл в (15.111)). [c.520]

Во втором и третьем разделах изложены основы математического моделирования режимов соответственно идеализированного и реального ЦН в координатах действительных чисел (скалярная модель). На базе модифицированного уравнения Эйлера предложена схема замещения насоса, которая состоит из гидравлического источника - аналога электродвижущей силы с постоянным гидравлическим сопротивлением (импедансом). Для учета конечного числа лопастей в рабочих колесах, наличия объемных, гидравлических и механических потерь схема дополняется соответствующими нелинейными сопротивлениями. Расчет параметров этой схемы по конструктивным данным машины ведется в системе относительных единиц, где базовыми приняты номинальные параметры ЦН. На основании уравнений Кирхгофа для схемы замещения записана система нелинейных уравнений равновесия расходов и напоров ЦН, решение которой позволяет построить рабочие характеристики ЦН и оптимизировать его конструктивные параметры. Рассмотрен также вопрос эквивалентирования многопоточных и многоступенчатых насосов одноступенчатой машиной с колесом с односторонним входом. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...