Уравнения дифференциальные равновесия как уравнения Эйлера

Таким образом, для вариационного уравнения бУ = О уравнениями Эйлера—Остроградского являются дифференциальные зависимости Коши (5.76) и дифференциальные уравнения равновесия (5//7), а естественными граничными условиями — условия (5.78) и (5.79). [c.106]

В положении равновесия должно выполняться условие стационарности полной потенциальной энергии 65 == 0. Воспользуемся сейчас этим условием, чтобы получить дифференциальное уравнение изгиба пластин. Уравнение Эйлера для функционала полной потенциальной энергии пластины имеет вид (см. Приложение I) [c.63]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА [c.9]

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнение Эйлера). [c.13]

Академик Эйлер в сочинении Общие принципы движения жидкости (1755 г.) вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей, дав общее решение задачи. Из дифференциальных уравнений Эйлера легко может быть получено и уравнение Бернулли, являющееся частным решением этих уравнений. [c.7]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА) [c.22]

Полученные уравнения (2.8), (2.8 ) и (2.8") являются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (уравнения Эйлера) [c.24]

Полученные уравнения (18), (18 ) и (18") являются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (Эйлера) [c.27]

Равновесие жидкости описывается диффе- о-ренциальными уравнениями Эйлера, в результате преобразования которых может быть получено основное уравнение равновесия в дифференциальной форме [c.9]

Пример использования вариационного пути получения дифференциальных уравнений и естественных граничных условий в механике твердого деформируемого тела. Пример 15.1. Получить уравнение равновесия изогнутого стержня как уравнение Эйлера вариационной проблемы о минимуме функционала потенциальной энергии системы 1). [c.444]

Таким образом, дифференциальное уравнение Эйлера рассматриваемой вариационной проблемы приобретает вид уравнения равновесия изогнутой балки [c.448]

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

Из условия стационарности функционала П получаются дифференциальные уравнения равновесия как уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной проблемы, из этого же условия вытекают условия равновесия на границе (см. 15.20). Уравнения равновесия для дискретных статически неопределимых систем выводятся из (15.64) в нашей книге (см. сноску ) на стр. 563). [c.487]

Разумеется, поскольку у вектора и, от которого зависит функционал /х (и) и по которому производится варьирование последнего, три составляющих, то и уравнений Эйлера в вариационной задаче для (и) тоже три (дифференциальные уравнения равновесия или три уравнения Ламе, если представлять их не в векторной форме, а в составляющих). [c.520]

Вторая группа уравнений Эйлера для функционала Рейсснера — группа дифференциальных уравнений равновесия в усилиях и моментах — записывается так [c.90]

Сначала исследуем топологические свойства многообразия Е. На Е нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным вращениям (или относительным равновесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих решениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие случаи здесь условились не рассматривать. [c.153]

Применение метода Галеркина из разд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выражениям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же формулировка рассматривается с других позиций, а именно строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля. Здесь рассматривается функционал Рейсснера (П ) [6.16], которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание. [c.194]

Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала П представляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соотношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е. уравнения, получаемые подстановкой соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обратное утверждение было доказано в разд. 5.5 методом взвешенных невязок. [c.195]

Дифференциальные уравнения равновесия текучего тела (Уравнения Эйлера) [c.14]

Откуда после приведения подобных членов и деления на V, получим систему уравнений Эйлера, выражающую в дифференциальной форме условия равновесия жидкости [c.31]

Для получения дифференциальных уравнений движения воспользуемся уравнениями равновесия Л. Эйлера (см. подразд. 2.2), учтя согласно постулату Д Аламбера силы инерции. Силы давления и массовые силы, входящие в дифференциальные уравнения равновесия, представлены в виде проекций X, , Zнa соответствующие координатные оси, причем эти проекции отнесены к единице массы. Проекции сил инерции, также отнесенные к единице массы, должны быть присоединены к уравнениям равновесия (2.2) [c.53]

Эти уравнения представляют собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме, выведенные в 1755 г. Л. Эйлером. [c.18]

Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) один из крупнейших математиков мира. Швейцарец по происхождению, он длительное время жил и работал в Петербурге (1727—1741 гг.), и с 1766 г. до конца жизни являлся действительным членом Петербургской академии наук. Помимо выдающихся математических работ, л. Эйлер опубликовал ряд основополагающих результатов по гидромеханике, в том числе дифференциальные уравнения равновесия и движения невязкой жидкости. [c.29]

Итак, присоединив к дифференциальным уравнениям равновесия Эйлера проекции сил инерции (3.10), получим [c.73]

В 1755—1756 гг. выходят в свет работы Л. П. Эйлера (1707—1783 гг.), где впервые приводится полная система дифференциальных уравнений равновесия и движения идеальной жидкости. [c.7]

Система уравнений (17) и есть дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Впервые их вывел Леонард Эйлер в 1755 г. [c.23]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Гидромеханика (гидравлика) как наука сформировалась в XVIII веке в Российской академии наук работами Д. Бернулли (1700—1782), Л. Эйлера (1707—1783) и М. В. Ломоносова (1711 — 1765). М. В. Ломоносов открыл закон сохранения вещества в движении, который является физической основой уравнений движения жидкости. В своих работах О вольном движении воздуха, в рудниках примеченном , Попытка теории упругой силы воздуха , а также разработкой и изготовлением приборов для измерения скорости и направления ветра М. В. Ломоносов заложил основы гидравлики как прикладной науки. Л. Эйлер составил известные дифференциальные уравнения относительного равновесия и движения жидкости (уравнения Эйлера), а также предложил способы описания движения жидкости. Д. Бернулли получил уравнение запаса удельной энергии в невязкой жидкости при установившемся движении (уравнение Бернулли), являющееся основным в гидравлике. [c.4]

При установившемся движении невязкой жидкости на ее элементарный объем кроме внешних массовых сил и сил давления (см. гл. II, 2, рис. 5) действуют еще силы инерции, обусловленные изменением скорости вдоль потока (в главном направлении). Взяв за основу дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера (22) и прибавив к ним с обратным знаком проекции сил инерции, отнесенные к единице массы, duJdt, dUyldt и duJdt получим дифференциальные уравнения движения Эйлера [c.43]

Предполагаем все пятнадцать функциональных аргументов 1/1, W Охх,. .., а у,. .., е у в (V. ) вполне независимыми, так что они не являются, вообще говоря, перемещениями, напряжени" ями и компонентами деформации. Докажем теперь такую вариацион ную теорему [52]. Вариационное уравнение б/ = О содержит в ка честве (дифференциальных) уравнений Эйлера соотношения Коши закона Гука и условия равновесия, а в качестве естественных (эйле [c.76]

Дифференциальное уравнение равновесия или уравнение Эйлера позволяет после интегрирования получить ра спределение давления р = р(х, у, г) в покоящейся жидкости при заданном распределении напряжения массовой силы 1т= х, у, г), плотности д = [c.26]

Решение. Определяем Ркр методом Эйлера. Находим такое значение силы Р, при котором наряду с исходной прямолинейной формой существует смежная риволинейная форма равновесия стержня (рис. 6). Упругий стержень представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Уравнение равновесия стержня в смежном состоянии будет дифференциальным уравнением изгиба [c.256]

Основоположниками гидравлики являются члены Петербургской Академии наук Михаил Васильевич Ломоносов (1711—1765гг.), Даниил Иванович Бернулли (1700—1782 гг.) и Леонард Павлович Эйлер (1707—1783 гг.). В 1738 г. была опубликована книга Д. И. Бернулли Гидродинамика . В 1748 г. в письме к Л. П. Эйлеру М. В. Ломоносов впервые изложил открытый им закон сохранения энергии. В 1755 г. Л. П. Эйлер дал дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...