Уравнение Гельмгольца частице

Записывается уравнение Гельмгольца для волны де Бройля, характеризующей движение частицы в потенциальном поле. [c.65]

Все последующее изложение ведется в предположении о том, что временная зависимость искомых характеристик звукового поля определяется множителем При использовании комплексной временной функции наиболее просто формулируются условия на бесконечности. С учетом принятой временной зависимости основное уравнение для потенциала скоростей частиц акустической среды (1.2) превращается в уравнение Гельмгольца [c.8]

Критерий фазового равновесия, выраженный через свободную энергию Гельмгольца, можно получить дифференцированием уравнения (8-18) по числу частиц компонента i в фазе / при постоянстве температуры, объема и числа частиц всех других компонентов [c.237]

Сумма в уравнении (8-20) представляет собой изменение свободной энергии Гельмгольца для всей системы при переходе компонента t из одной фазы в другую при постоянстве температуры и объема, причем число частиц других компонентов в каждой фазе поддерживается постоянным. Суммирование уравнения (8-20) по всем компонентам дает общее изменение А при межфазном переходе частиц всех компонентов при постоянстве температуры и объема. Так как каждый отдельный член такой суммы должен быть равен нулю, то критерий равновесия можно выразить следующим образом [c.237]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Выведем теперь для вращения частицы жидкости известную теорему, открытую Гельмгольцем, предполагая, что действующие силы имеют потенциал при этом будем исходить из уравнений (7). [c.141]

Выраженному уравнениями (16) и (17) предложению мы дадим еще другую форму. Вообразим в некоторый момент исходящую из некоторой точки жидкости линию, направление которой всюду совпадает с направлением оси вращения частиц, через которые она проходит такую линию мы будем называть вместе с Гельмгольцем вихревой линией. Тогда уравнения (16) показывают, что все частицы жидкости, которые в некоторый момент лежат на вихревой линии, в каждый другой момент также находятся на ней. Поэтому мы можем говорить об изменении, которое получает вихревая линия со временем, причем мы устанавливаем, что вихревая линия всегда проходит через одни и те же частицы жидкости. Чтобы выразить иначе доказанное уравнением (17) предложение, введем новое определение. Мы будем понимать под вихревой нитью бесконечно тонкую нить, которая будет вырезана из жидкости вихревыми линиями, проходящими через точки контура бесконечно малой площади. Мы можем говорить об изменениях, которые испытывает вихревая нить со временем, установив, что вихревая нить всегда содержит одни и те же частицы жидкости. Рассмотрим бесконечно короткий отрезок вихревой нити и обозначим через I его длину, а через у — его поперечное сечение тогда есть его масса, которая не изменяется со временем. Но, по (17), скорость вращения этого отрезка пропорциональна р.1, откуда следует, что ук постоянно, т. е. что произведение скорости вращения на поперечное сечение бесконечно короткого отрезка вихревой нити не изменяется с течением времени. [c.144]

Для идеальной несжимаемой жидкости Гельмгольц доказал, что в консервативном силовом поле вихревые линии всегда состоят из одних и тех же частиц, а интенсивность (поток вихря) вихревых трубок постоянна. Доказательства Гельмгольц дал, приведя уравнения движения жидкости к виду эквивалентному векторной записи [c.74]

Вихревое поле (129). Теоремы Гельмгольца о вихревых трубках (130). Теорема Гельмгольца (о разложении поля скоростей сплошной среды в окрестности точки) (132). Деформация частицы сплошной среды (133). Закон изменения масс и уравнения непрерывности (136). [c.7]

Вихревая теория сопротивления. Принципиальный вопрос, который прежде всего должна решить любая теория сопротивления давления, строящаяся на уравнениях идеальной жидкости, есть вопрос о физической схеме течения. Именно, необходимо решить вопрос о способе (или физической гипотезе), которым будет эта теория пользоваться для нарушения симметрии потока. Если физическая гипотеза правильно схватывает основные особенности процесса обтекания тел реальной маловязкой жидкостью (или воздухом), тогда из уравнений идеальной жидкости можно получать результаты, хорошо подтверждающиеся опытом. Ярким примером плодотворной гипотезы является гипотеза Н. Е. Жуковского в теории подъемной силы профиля крыла. Гипотеза Гельмгольца о полном покое частиц жидкости в кильватерной зоне обтекаемого тела, по-ви-димому, не отражает суть происходящих процессов. В самом деле, если мы поместим в потоке реальной маловязкой жидкости плохообтекаемое тело (например, цилиндр, пластину, параллелепипед и др.), то процесс течения, как показывает опыт, будет развиваться во времени следующим образом [c.349]

На самом деле знание действительных кардинальных элементов мало что дает, если предмет или его изображение, или оба они расположены в поле линзы. В этом случае на частицы действует лишь часть поля, зависящая от положений объекта и изображения. Если предмет движется, изменяется действующая часть поля. Соответственно придется определять фокусное расстояние (и все кардинальные элементы) отдельно для каждого положения предмета с тем, чтобы иметь возможность использовать формулу Ньютона (1.51). При этом вычисления не проще, чем непосредственное использование уравнения изображения (4.58). Вообще говоря, это уравнение и соотношение Гельмгольца — Лагранжа (4.65) являются единственными математическими выражениями, которые можно использовать для установления связи между предметом и изображением. [c.199]

В данной главе были рассмотрены основные свойства аксиально-симметричных полей, формирующих изображения. Мы начали главу теоремой Буша (4.9), которая определяет азимутальную компоненту скорости заряженной частицы в аксиально-симметричном поле. Затем мы вывели основное траекторное уравнение (4.21) и перешли к гауссовской диоптрике, записав уравнение параксиальных лучей (4.31). Это уравнение можно упростить, написав его в комплексном виде (4.40) или (4.50). Затем была доказана способность аксиально-симметричных полей формировать изображения. Мы ввели кардинальные элементы и выяснили отличия действительных параметров линзы от асимптотических. Наиболее важными соотношениями являются уравнение изображения (4.58), формула Гельмгольца— Лагранжа (4.65) и (4.76), формулы увеличения (4.77) и [c.246]

С помощью найденного комплексного потенциала течения получим теперь уравнения движения вихрей. Согласно формуле Гельмгольца [14], для нахождения скорости вихря из комплексной скорости частиц жидкости в точке расположения вихревой нити необходимо вычесть самодействие [c.417]

Движение частицы жидкости в поле п точечных вихрей описывается уравнениями (2.1). Согласно теореме Гельмгольца—Томсона, вихри вморожены в идеальную жидкость и их интенсивности не меняются со временем. Следовательно, движение самих вихрей можно описать системой дифференциальных уравнений [c.26]

Учитывая, что контуры L,,, согласно теореме Гельмгольца, являются жидкими и скорость их частиц совпадает с наведенной скоростью, получаем динамические уравнения, описывающие эволюцию точек X., на внешней границе [c.61]

Согласно теории Гельмгольца, вихревая нить движется вместе с частицами ее образующими. Поэтому выражение для комплексной скорости и—IV вихря в точке 2 —будет г. Именно это обстоятельство позволяет утверждать, что такой кинетический вывод уравнений движения на самом деле является и динамическим, поскольку [c.73]

Классическим представителем акустических систем является резонатор Гельмгольца (рис. 3.1,в). Здесь замкнутый объем V, заполненный воздухом, соединяется через узкую трубку длиной I с внешней средой, во входное отверстие трубки поступает звуковая волна. В этом случае в канале / возникнут колебания частиц воздуха. Воздух, сконцентрированный в объеме V, выполняет роль упругого элемента — пружины, способствуя концентрации частиц среды в трубке I и образуя тем самым элемент — массу. Так же проявляется и механическое сопротивление в виде трения частиц воздуха о стенки трубки. Вследствие периодического воздействия внешней силы от звуковой волны в такой системе возникают механические колебания среды. Колебательный процесс в резонаторе можно описывать, как и в приведенной на рис. 3.1,6 механической системе с дискретными элементами. Логика сопоставления электрических и механических колебаний опирается и на сходство-между известным уравнением, описывающим колебательный процесс в последовательном электрическом контуре (рис. 3.1,а) под воздействием приложенного синусоидального напряжения [c.72]

При тепловом движении молекул воды коллоидные частицы воспринимают их воздействие и вовлекаются в молекулярно-кинетическое (броуновское) движение, при котором вместе с коллоидной частицей движется двойной электрический слой с частью противо-ионов диффузного слоя, содержащихся в оболочке воды. Остальные противоионы отрываются от движущейся частицы, оставаясь во внешней части — за границей скольжения. Это приводит к возникновению электрокинетического потенциала или -потенциала между движущейся коллоидной частицей и раствором (см. рис. 2.1, а). Значение -потенциала зависит от числа противоионов, увлекаемых частицей с увеличением числа противоионов -потенциал уменьща-ется. Рост концентрации противоионов в растворе должен приводить к увеличению их концентрации в оболочке воды, окружающей частицу, и, следовательно, к снижению -потенциала. В пределе повышение концентрации противоионов может привести к перезарядке частицы, т.е. к изменению знака заряда. Естественно, что существует определенная концентрация противоионов, при которой С-потен-циал становится равным нулю (см. рис. 2.1, б), pH среды при этом носит название pH изоэлектрической точки. Экспериментально значение электрокинетического потенциала определяют методом электрофореза. Для расчета -потенциала. В, для коллоидных частиц, находящихся в разбавленных водных растворах (природных водах), используют соотношение, полученное преобразованием уравнения Гельмгольца [c.52]

Рассмотрим наиболее простой случай возбуждения волн в полупространстве при действии поверхностных нагрузок. Он характерен тем, что происходит генерация только сдвиговых горизонтально поляризованных SH-волн. При их распространении смещения частиц среды параллельны граничной поверхности. Такая задача описывается одним скалярным уравнением Гельмгольца и во многих аспектах подобна задаче для акустической среды. Относительная простота характера движения здесь обусловлена специальным выбором типа внешнего нагружения. Нагрузка схематически изображена на рис. 29 и состоит из единственного компонента вектора усилий qg= Gf (х) exp (—i at). Иные типы нагрузки q x) ядх (х), которые также приводят к двумерным задачам, возбуждают значительно более сложные волновые поля. [c.81]

Q = rot в каждый момент времени остается постоянным в пространстве и одинаковым для всех жидких частиц. В рассматриваемой гидродинамической системе имеются три линейно независимых поля скорости, каждое из которых соответствует стационарному однородному эллиптическому вращению жидкости вокруг какой-либо из трех главных осей эллипсоида. Эти стандартные бездивергент-ные векторные поля скорости, которые, очевидно, зависят от координат, касаются границы области, т. е. удовлетворяют граничному условию (2), и являются точными решениями уравнения Гельмгольца (1). С помощью таких опорных полей можно описать более сложное течение жидкости в эллипсоидальной полости, в котором скорости жидких частиц зависят от времени, но по-прежнему являются линейными функциями их координат. [c.28]

В рассматриваемой задаче и других подобных задачах, возникающих при изучении рассеянных звуковых полей, неединственность решения. может быть обусловлена тем, что в процессе его получения использованы не все условия, необходимые для однозначного построения представлений характеристик звукового поля. В данном случае представления для потенциалов скоростей удовлетворяют уравнениям Гельмгольца, условиям излучения [153], но не подчинены условиям на ребре, удовлетворение которых как раз необходимо для построения единственного решения задачи 1113, 171]. В работе 11201 приведен конкретный пример задачи рассеивания звука, в которой удается явно показать возможность существования неединственного решения бесконечной системы, возникающей при удовлетворении граничных условий на поверхности с углами. В связи с этим необходимо развить такие подходы к решению бесконечных систем типа (1.58) — (1.60), которые бы давали некоторое достаточно точное решение системы и именно то решение, которое соответствует смыслу задачи и представля ет соответствующие принятой модели локальные особенности в поле скоростей частиц среды. [c.31]

По уравнению (25-3) Кельвина —Гельмгольца и кривой предела перенасыщения SS) может быть подсчитан радиус кривизны для наименьших жидких капель, которые могут расти, образовывая частицы тумана. Найдено, что они имеют размеры от 4,2 10- мм при наинизших давлениях (0,42 кГ см абс.) до 5,1 10 мм при наивысших давлениях (2,8 KFj M абс.). Ниже будет показано, что капля радиусом 4,2 10 мм содержит около 12 молекул. Сомнительно, достоверно ли уравнение Кельвина — Гельмгольца, даже приблизительно, для радиуса такой величины, но из него следует, что перенасыщение будет существовать до тех пор, пока случайно собравшаяся небольшая группа молекул не начнет расти. [c.246]

В своих опытах с потоком водяного пара через сопло Иэллотт и Холланд показали, что в некоторой точке процесса расширения в не-запно образуется туман, который при надлежащем освещении можно рассмотреть в виде голубой дымки. Вероятно, перед началом конденсации в паре присутствуют частицы жидкости достаточна большие, чтобы обеспечить рост в среде перенасыщенного пара в точке конденсации. Уравнение Кельвина—Гельмгольца позволяет подсчитать в зависимости от поверхностного натяжения жидкости размер капель, которые могут расти. Например, Иэллотт и Холланд нашли степень перенасыщения, равную 5,6, когда температура пара равна 65° С непосредственно перед точкой конденсации. Если мы выберем для поверхностного натяжения величину, соответствующую горизонтальной поверхности (р —р"=0) при 65° С, мы получим для радиуса капли, начинающей расти, [c.247]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

Случай 2=0 соответствует полости, имеющей форму эллиптического цилиндра, внутри которого сделана прямоугольная пластинка, пересекающая нижнее и верхнее основания цилиндра по прямым, соединяющим фокусы. То обстоятельство, что при вращении этого цилиндра около оси, параллельной его образующей, наибольшая относительная скорость бесконечно велика, приводит нас на основании 7 к заключению, что давление жидкости внутри такой полости тоже беспредельно велико. В действительности в этом случае происходит разрыв сплошности, на который указывает Гельмгольц ), и траектории частиц жидкости отступают от вида, данного уравнением (21). Внутри полости образуется некоторая поверхность раздела AB D (фиг. 8), с двух сторон которой жидкость будет течь с различными скоро- [c.205]

Уравнения (21) дагот скорости точек частицы жидкости относительно осей О х у У. Преобразуем по Гельмгольцу выражения этих скоростей. Возьмем первое из уравнений (21) и, прибавив ко второй части выражение 2 1 дх " дх дх [c.707]

Это свойство позволяет, как увидим ниже, сразу доказать обе теоремы Гельмгольца для несжимаемой жидкости. Обозначая через со удельный объем (со = 1/р) и через F — внешнюю заданную силу, действующую на единицу массы данной жидкой частицы, можем уравнения гидродина- [c.14]

Первая теорема Гельмгольца, как известно, состоит в том, что частицы жидкости, находящиеся в какой-то момент времени на вихревой линии, остаются на ней и во все последующее время. Вторая теорема утверждает, что интенсивность вихревой трубки со временем не изменяется. Необходимые и достаточные условия того, чтобы обе теоремы Гельмгольца имели силу для векторных трубок или векторных линий в поле вектора А при скорости В, впервые установлены Зоравским (Zorawski) и Бьеркнесом (Bjerknes) . Эти условия вытекают из уравнения [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...