Модуль третьего порядка

В дальнейшем мы пользуемся уже сложившейся терминологией, согласно которой коэ ициенты перед квадратичными членами в разложении внутренней энергии по инвариантам тензора деформации называются модулями второго порядка (иногда линейными модулями), а перед кубическими членами — модулями третьего порядка Последние в обобщенном законе Гука определяют величину квадратичных членов и, следовательно, величину нелинейных эффектов во втором приближении. [c.288]

Упругие модули третьего порядка некоторых изотропных твердых тел [c.305]

Легко видеть, что модулей третьего порядка всего 216. Эти модули симметричны относительно перестановки индексов, т. е. [c.309]

Значение упругих модулей третьего порядка и их комбинаций для некоторых кубических монокристаллов при комнатных температурах (хЮ , ди/сл ) [c.311]

Как видно, в выражении (1.15) появляются еще три постоянных коэффициента — А, В и С. Так как они стоят при кубичных членах разложения их называют модулями третьего порядка или нелинейными модулями упругости (иногда — коэффициентами Ландау). Из выражения (1.15) следует, что, строго говоря, связь между напряжениями и деформациями может считаться линейной только при бесконечно малых деформациях й. Поскольку в разложении [c.193]

Представление о нормальных тепловых колебаниях решетки как о газе невзаимодействующих фононов оказывается недостаточным, чтобы правильно объяснить такие коллективные кинетические явления, как теплопроводность, тепловое расширение твердых тел и поглощение звука. Для такого объяснения в физике твердого тела (об этом на макроскопическом языке шла речь в гл. 8, когда говорилось о модулях третьего порядка и об ангармоничности решетки) учитываются процессы фонон-фо-нонного взаимодействия — фононы испытывают неупругие соударения между собой [c.244]

Выражение (4.7) даже для изотропного диэлектрика все же оказывается достаточно сложным. Хотя мы рассматриваем случай низких температур и (/-процессы не принимаем во внимание, ограничиваясь только акустической ветвью и имея дело лишь с Ы-про-цессами, все же требование выполнения законов сохранения энергии и квазиимпульса (3.5), а также необходимость знания модулей третьего порядка (а они пока известны не для многих кристаллов), делает задачу обычно трудно разрешимой. [c.251]

Измерение содержания гармоник в твердых телах дает в принципе возможность определения адиабатических модулей третьего порядка. Знание этих модулей необходимо в ряде задач физики твердого тела эти модули, как и модули более высокого порядка, начинают играть все возрастающую роль в техническом материаловедении. Об особенностях определения этих модулей и об их численных значениях для большого числа кристаллов и изотропных твердых тел можно прочитать в [5, 6, 22. Поскольку рэлеевские поверхностные волны не обладают дисперсией, а интенсивность их может быть получена достаточной, измерение амплитуд гармоник и комбинационных частот таких волн, возникающих из-за решеточной нелинейности, может быть осуществлено без особых трудностей [12—14]. [c.299]

ЛМ1, но составляет с последним угол, являющийся малой величиной первого порядка малости. На основании элементарных соображений можно показать, что разность ЕМ — АМ — по модулю малая величина третьего порядка малости. Следовательно, с точностью до бесконечно малых величин третьего порядка малости можно положить [c.147]

Вообще говоря, потенциал взаимодействия ядер с электронами — это потенциал кулоновского типа, и поэтому он достаточно велик (по модулю) вблизи ядер. При этом химическая связь и многие физические свойства определяются внешними электронами, поскольку внутренние электроны атома спариваются, с трудом возбуждаются и не вносят ощутимого непосредственного вклада ни в энергию связи, ни в другие характеристики кристалла. Однако было бы ошибкой пренебречь ими полностью. Их особая роль состоит в том, что они экранируют внешние электроны от поля ядра, как бы уменьшая его, притом весьма существенно. Это позволяет во многих случаях считать, что на внешние электроны действует потенциал , заметно меньший потенциала ядра и являющийся достаточно слабым. С таким потенциалом оперировать оказывается несравненно проще, поскольку он допускает использование теории возмущений во втором и третьем порядках. Суще- [c.55]

Рассмотрим, наконец, равнонаклоненную к координатным осям ось симметрии третьего порядка (/3). Нетрудно видеть, что поворот вокруг этой оси па угол 2я/3 = = 120° переводит первую координатную ось во вторую, вторую — в третью и третью — в первую. При этом неизменность модулей упругости имеет место при [c.34]

Главное слагаемое величины по структуре совпадает с вьфа-жением Da ip в (2.27), однако коэффициент ai ф 1 тл зависит от упругих модулей третьего порядка. Эта зависимость в формуле (4.9) не усматривается. Главное слагаемое величины и по структуре, и по порядку отличается от слагаемого Da p в (2.27). Следовательно, в зоне сильного изгиба, где [c.347]

Наряду с нелинейными эффектами в жидкостях и хазах в книгу включены нелинейные эффекты в твердых телах. Исследование последних акустическими методами началось в самое последнее время. Полученные результаты могут представить определенный интерес для ряда вопросов физики твердого тела, ибо нелинейные модули третьего порядка, принципиально определяемые таким образом, позволяют вычислить вероятность фонон-фонон-ного взаимодействия, а это взаимодействие играет важную роль в теории затухания звука и теории теплопроводности. Исследование нелинейных эффектов в твердых телах в дальнейшем, возможно, позволит разработать полезные методы исследования различных микроскопических дефектов структуры кристаллических твердых тел. [c.13]

Весьма интенсивное экспериментальное исследование упругих модулей третьего порядка в последние годы отчасти связано с одним практическим применением звукоупругого эффекта возможностью определить величину напряжения в той или иной конструкции по различию скоростей сдвиговых волн, поляризация которых направлена в одном случае вдоль одноосного напряжения, в другом — перпендикулярно, а волновые векторы этих двух волн направлены перпендикулярио к направлению напряжения. [c.288]

Как ВЙДПО из (8.10) и (8.11), для описания неишней-ных свойств изотропного твердого тела во втором приближении помимо двух линейных постоянных — модуля всестороннего сжатия Ё и модуля сдвига Ц. (модулей второго порядка) ) — необходимо ввести еще три нелинейные постоянные (модули третьего порядка). Как и в случае модулей второго порядка, модули третьего порядка могут быть выбраны различными путями. В первых работах по нелинейной теории упругости Мэриаган [3] пользовался модулями третьего порядка I, т, п. В дальнейшем вслед за [2] мы будем пользоваться модулями третьего порядка А, В ж С. Из (8.11) легко найти связь [c.295]

Уравнение (8.17) вместе с граничными и начальными условиями является основным уравнением пятиконстант-яой теории упругости. Это уравнение нелинейно. Формальными причинами нелинейности являются упомянутая ранее геометрическая нелинейность и нелинейность обобщенного закона Гука (8.16). Последнюю обычно называют физич еской нелинейностью, ибо она связана с нелинейной упругостью конкретного твердого тела. Физическая нелинейность во втором приближении определяется упругими модулями третьего порядка (8.12), Пятиконстантная теория упругости является по существу нелинейной теорией с зачетом величин второго порядка малости. Поэтому естественно вдесь воспользоваться методом малого параметра вектор смещения можно представить в виде [c.298]

Следует остановиться на методической стороне такого рода измерений. Припциппально возможно определение зависимости от внешних статических напряжений как изотермических 5, 7, 8], так и адиабатичесхшх [9—13] модулей второго порядка. В первом случае определяются изотермические модули А, В и. С. Что касается второго из этих методов, то использование его для определения А, В ж С, строго говоря, приводит к неким средним между изотермическими и адиабатическими модулями третьего порядка. Впрочем, в настоящее время такой ригоризм вряд ли необходим, так как, с одной стороны, известно. [c.302]

Адиабатические модули третьего порядка принципиально могут быть измерены танже по искажению и взаимодействию упругих волн в твердых телах. Величины этих акустических нелинейных эффектов (см. 3 этой главы) зависят от различных комбинаций А, В С. Однако этот Метод имеет свои весьма существенные трудности. Как и при определении нелинейного параметра жидкости (см. гл. 4, 2), нужны абсолютные измерения звукового поля. В прозрачных твердых телах их можно сделать оптическими методами в непрозрачных же [c.304]

Необходимо отметить еще одну трудность определения раздельно каждого из модулей третьего порядка акустическими методами даже в том случае, когда проведены три независимых эксперимента и абсолютные измерения звукового поля в изотропном теле или соответствующее количество экспериментов в кристалле. Обычно эти модули (так же как и в жидкостях) определяются из результатов амплитудных измерений величин втч)рого порядка малости. Одни только амплитудные измерения не дают возможности определить знак нелинейного параметра, состоящего из комбинации модулей третьего порядка и характеризующего данный нелинейный эффект. Практически это приводит к невозможности определить раздельно модули третьего порядка. Эти методы дают возможность определить некоторые комбинации упругих модулей третьего порядка (нелинейный параметр) что касается их знака, то здесь могут быть высказаны только качест- [c.306]

Говоря об определении модулей третьего порядка, остановимся еще на одном весьма существенном обстоятельстве. Пятиконстантная теория упругости, так же как л обычная линейная теория упругости, предполагает, что [c.307]

В общем случае дефекты твердых тел оказывают влияние на упругие модули третьего порядка. В настоящее время имеются прямые экспериментальные доказательства такого влияиия [17, 18] (см. 4 этой гладаы). Следовательно, измеряемые экспериментально модули третьего порядка имеют примесь , связанную с дефектами твердого тела. В некоторых случаях эта примесь мала по сравнению с модулями третьего порядка идеального изотропного твердого тела. Так, по-видимому, обстоит дело при измерении нелинейного параметра для продольных волн в свободных от внепших механических напряжений образцах экспериментальное значение нелЕшейного параметра при этом удовлетворительно совпадает с тем, что можно получить на основании элементарной теории твердого тела Борна или Из значения коэффициента теплового расширения твердых тел [19]. В других случаях, например при искажении формы продля поперечной волны (второй сдвиговой гармоники), примесь является основ-вгой причиной наблюдаемого эффекта согласно пятиконстантной теории упругости этот эффект не должен был бы наблюдаться вовсе (см. далее). [c.308]

Из условий симметрии кристаллов [22] мотут быть найдены еще дополнительные соотношения, связывающие модули третьего порядка. В общем случае кристаллов триклЕшной симметрии число модулей третьего порядка сокращается до 56 [23]. В кристаллах, имеющих более высокую симметрию, число модулей третьего порядка еще меньше. Например, для кристаллов, имеющих оси третьего порядка (такую симметрию имеют все пять классов кубической системы), остается всего 20 независимых модулей третьего порядка, а если к этому добавляется еще [c.309]

Модули третьего порядка в ряде кристаллов кубической симметрии рассчитаны [24] и измерены [11, 19, 25, 26]. Значения модулей щриведены в табл. 10. [c.310]

Работ по экспериментальному исследованию различных нелинейных волновых явлений в твердых телах сравнительно мало. Вместе с тем исследование этих явлений помимо изучения особенностей нелинейного взаимодействия волн в твердых телах позволяет принципиально определить адиабатические модули третьего порядка, значения которых могут оказаться полезными в ряде вопросов физики твердого тела, нелинейной акустики, а также в ряде технических приложений звукоупругого эффекта. Модули третьего порядка раньше определялись только по зависимости модулей второго порядка от давления эти методы в достаточной мере трудоемки и пригодны только для твердых тел, выдерживающих сравнительно большие механические напряжения без разрушения. Акустические методы, впрочем, также не свободны от некоторых трудностей, которые уже отмечались выше. [c.334]

Эти эксперименты показывают, что нелинейные модули твердых тел имеют не только решеточную часть, но в некоторой мере зависят также от внутренних напряжений, вносимых различного рода дефектами. Соотношение между решеточной частью и дислокационной для различных модулей третьего порядка (если бы даже удалось включить дефекты в пятиконстантную теорию), по-видимому, будет трудно указать и в дальнейшем, когда будет накоплен больший экспериментальный материал, так как дислокационная часть, как всегда, определяется не только самилг материалом, но и историей приготовления данного образца. Отметим все же, что вторая сдвиговая гармоника в [17] для поликристаллических металлов была на 1—2 порядка меньше продольной гармоники в [18] при относительно небольших нагрузках в монокристалле алюминия вторая продольная гармоника увеличивалась в два раза, т. е. в растянутом кристалле дислокационная часть была приблизительно равна решеточной. [c.345]

Э111ект11вный линейный юдуль упругости (его называют часто модулем упругости второго порядка, - модуль третьего порядка), а соотношением [c.132]

Заметим такя е, что зависимость коэффициента поглощения от амплитуды звука в проведенном рассмотрении не учитывается, т. е. рассматривается линейная теория поглощения. По этому поводу следует сделать следующее замечание. Сам по себе трехфононный процесс представляет собой (так же, как и его феноменологическая трактовка в теории упругости, основанная на введении в рассмотрение модулей третьего порядка) нелинейное явление. Однако метод оассмотрения задачи как при 2x 1, так и при От< 1 ведется в первом порядке теории возмущений, что не дает возможности найти зависимость а от амплитуды исходного звукового сигнала (см. по этому поводу [101). По этой причине настоящая глава предшествует главе о нелинейных явлениях при распространении волн конечной амплитуды в твердых телах (гл. 11), где, как и в гл. 3, для простого случая изотропной среды вопрос о нелинейном коэффициенте поглощения обсуждается. [c.248]

Легко понять, что измерение зависимостей скоростей от значений приложенных внешних сил может использоваться для экспериментального определения упругих модулей третьего порядка, соответствующих естественному состоянию среды (см. уравнение (2.3)), которые, очевидно входят в величины С1атг-. Чтобы 284 [c.284]

Характерной особенностью генерации гармоник в кристаллах оказывается то, что нелинейный параметр r, , является существенно анизотропной величиной. Кроме того, в кристаллах возможна генерация второй гармоники сдвиговых волн. Напомним, что в изотропных телах ( 3) симметрия тензора упругих модулей третьего порядка запрещает генерацию второй сдвиговой гармоники, по крайней мере в совершенных материалах. Для некоторых направлений в кристаллах генерация вторых гармоник сопровождается интересными поляризационньши эффектами, связанными с тем, что условия синхронизма могут выполняться для обеих квазипоперечных волн ортогональных поляризаций [33]. Такими направлениями, очевидно, являются акустические оси. Например, для оси симметрии третьего порядка тригональных кристаллов (кварц, ниобат лития), являющейся акустической осью, компоненты вектора вынуждающей силы N P имеют вид [c.292]

Особый интерес представляет распространение звука в тех направлениях кристалла, в которых при фазовом переходе на изменениях волновых характеристик существенно сказывается изменение или обращение в нуль некоторых как линейных, так и нелинейных упругих модулей, связанное с изменением структуры кристалла. Характер этих изменений зависит от того, является ли связь деформаций с параметром порядка в высокосимметричной фазе линейной или квадратичной. В первом случае соответствующие модули второго и третьего порядков стремятся к нулю в точке фазового перехода, причем по довольно сложному закону. В случае квадратичной зависимости при переходе в высокосимметричную фазу модули упругости второго порядка должны испытывать скачок, а модули третьего порядка — оставаться неизменными. Эксперименты по наблюдению вторых гармоник, однако, показывают, что эффективность их генерации резко возрастает вблизи точки фазового перехода [50]. Этот факт не может быть объяснен на основе простой релаксационной теории. Улучшить положение можно, если включить в рассмотрение пространственные флуктуации параметра порядка в окрестности точки фазового перехода (см. [22]), которые можно описать посредством введения в разложение термодинамического потенциала (4.7) добавочного члена (grad т)). Учет пространственных флуктуаций дает возрастание модулей упругости третьего порядка по закону Т—Г ) , гдех=—(1/2—3/2)—критический индекс, значение которого определяется симметрией кристалла. Однако и флуктуационные поправки не приводят к полному согласию с экспериментами, которые показывают, что наблюдаемые критические индексы обычно больше теоретически предсказываемых. Таким образом, необходимы дальнейшие уточнения теоретических [c.297]

Это выражение является, по существу, лишь первым членом раз-лол<еиия в ряд по степеням А и А. При увеличении модуля 1Л (но когда он все еще остается малым) надо учесть следующие члены этого разложения. Ближайшие следующие — члены третьего порядка по А. Нас, однако, интересует не точное зна-ченне производной, а ее среднее по времени значение, причем усреднение производится по промежуткам времени, большим по сравнению с периодом 2n/ oi периодического множителя ехр(—1(й1 ) (напомним, что, поскольку Ш1 71, этот период мал но сравнению с временем l/yi заметного изменения модуля Л ). Но члены третьего порядка непременно содержат периодический множитель и при усреднении выпадают ). Среди чле- [c.139]

Это выражение—первый член разложения da /dx по степеням а., и al, и при увеличении модуля а2 (но пока он все же остается малым) надо учесть следующий член. Член, содерх<а-щий тот же осциллирующий множитель есть член третьего порядка й2 й2 . Таким образом, приходим к уравнению [c.160]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...