Модули упругости третьего порядка

Число независимых модулей упругости третьего порядка, необходимых для описания нелинейных свойств, зависит от симметрии кристаллической решетки и уменьшается при ее повышении с 56 для триклинной до 6 (8) для кубической (см. табл. 16.1). [c.254]

Экспериментальное определение модулей упругости третьего порядка практически заключается в сопоставлении значений модулей упругости второго порядка, определенных вблизи естественного состояния и в деформированном состоянии. Чаще всего деформированное состояние задается всесторонним сжатием в условиях гидростатического давления. Определяемые в этом случае эффективные модули упругости в рамках линейного приближения будут связаны с модулями упругости второго и третьего [c.254]

Формулы связи, позволяющие решением системы линейных уравнений определить модули упругости третьего порядка по результатам измерений скоростей распространения упругих волн при различных сочетаниях трех векторов приведены в табл. 16.4. [c.255]

Модули упругости третьего порядка [c.392]

Экспериментальное определение модулей упругости третьего порядка можно произвести путем статических измерений. Некоторые измерения такого типа описаны Бриджменом [213]. Другая и существенно более точная методика основана иа определении модулей упругости по результатам измерения скорости распространения звука, как это сделано, например, Юзом и Келли [214]. [c.392]

Для определения модулей упругости третьего порядка необходима высокая степень точности измерений. С этой точки зрения измерения при гидростатическом сжатии проведены на достаточно высоком уровне, однако методика измерений при одноосном сжатии требует дальнейшего усовершенствования. [c.392]

Нелинейные взаимодействия приводят к изменению параметров акустич. волны под влиянием постоянных или медленно меняющихся механич. или электрич. полей. При механич. деформировании кристаллов, напр., изменяются фазовая и групповая скорости акустич. волн и их поляризация. В пьезоэлектрич. кристаллах фазовая скорость акустич. волн изменяется также при приложении постоянных электрич. полей. Указанные эффекты используются для измерения внутр. напряжений, определения модулей упругости третьего я более высоких порядков, управления акустич. волнами. [c.291]

Рассмотрим, наконец, равнонаклоненную к координатным осям ось симметрии третьего порядка (/3). Нетрудно видеть, что поворот вокруг этой оси па угол 2я/3 = = 120° переводит первую координатную ось во вторую, вторую — в третью и третью — в первую. При этом неизменность модулей упругости имеет место при [c.34]

Упругие модули третьего порядка некоторых изотропных твердых тел [c.305]

Значение упругих модулей третьего порядка и их комбинаций для некоторых кубических монокристаллов при комнатных температурах (хЮ , ди/сл ) [c.311]

Подставляя в уравнение (Х.77) компоненты тензора деформаций (1.5) и вводя вместо констант Ламэ модуль объемной упругости /С = Я -г (2 3) 1-1 и модуль сдвига С =- л, получаем с точностью до величин третьего порядка малости [c.237]

Обычно в литературе для описания свойств нелинейной упругости изотропных гиперупругих материалов достаточно трех независимых постоянных, в качестве которых используют линейные комбинации модулей упругости третьего порядка (МУТП) [c.255]

Секоян С. С. Исследование влияния статических напряжений на скорости распространения упругих волн в стали и определение модулей упругости третьего порядка. Упругость и пеупругость. - М. Изд. Моск. ун-та, 1971. Вып. 1. С. 268-269. [c.230]

По сравнению с прежним выражением (1.21), полученным для случая линейной упругости, характеризуелюй двумя модулями Я и л, здесь появились еще три константы А, В и С. Поскольку эти константы входят в разложение энергии при кубических членах, их называют модулями упругости третьего порядка или нелинейными модулями. Таким образом, упругость изотропного твердого тела в первом приближении характеризуется в целом пятью константами, и поэтому нелинейную теорию упругости, основанную на таком приближении, называют пятиконстаптиой . Следующие приближения потребовали бы введения еще четырех модулей четвертого порядка, пяти людулей пятого порядка, и т. д. В дальнейшем мы ограничимся основами только пятикоыстантной теории. [c.237]

В заключение отметим, что выше рассматривалась только линейная упругость кристаллов и речь шла, соответственно, о модулях упругости второго порядка, т. е. о линейных модулях. Для описания нелинейной упругости даже кристаллов кубической симметрии требуется 14 модулей упругости третьего порядка, а для триклинных кристаллов их число достигает 56 [80. Поэтому уравнения нелинейной акустики кристаллов обычно строятся для особенных кристаллографических направлений, для которых они приобретают форму рассмотренных выше нелинейных уравнений упругости изотропного твердого тела с соответствуюш,им набором нелинейных параметров. Эти параметры, т. е. модули упругости третьего по-ркдка, также определяются из ультразвуковых измерений 180]. Таких измерений проведено мало, а между тем нелинейные акустические эффекты играют важную роль в квантовой акустике для описания таких процессов, как фонон-фононные взаимодействия, а также спин-фононные, фотон-фононные и другие виды взаимодейст ВИЙ [87]. Эти интересные вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. [c.265]

Особый интерес представляет распространение звука в тех направлениях кристалла, в которых при фазовом переходе на изменениях волновых характеристик существенно сказывается изменение или обращение в нуль некоторых как линейных, так и нелинейных упругих модулей, связанное с изменением структуры кристалла. Характер этих изменений зависит от того, является ли связь деформаций с параметром порядка в высокосимметричной фазе линейной или квадратичной. В первом случае соответствующие модули второго и третьего порядков стремятся к нулю в точке фазового перехода, причем по довольно сложному закону. В случае квадратичной зависимости при переходе в высокосимметричную фазу модули упругости второго порядка должны испытывать скачок, а модули третьего порядка — оставаться неизменными. Эксперименты по наблюдению вторых гармоник, однако, показывают, что эффективность их генерации резко возрастает вблизи точки фазового перехода [50]. Этот факт не может быть объяснен на основе простой релаксационной теории. Улучшить положение можно, если включить в рассмотрение пространственные флуктуации параметра порядка в окрестности точки фазового перехода (см. [22]), которые можно описать посредством введения в разложение термодинамического потенциала (4.7) добавочного члена (grad т)). Учет пространственных флуктуаций дает возрастание модулей упругости третьего порядка по закону Т—Г ) , гдех=—(1/2—3/2)—критический индекс, значение которого определяется симметрией кристалла. Однако и флуктуационные поправки не приводят к полному согласию с экспериментами, которые показывают, что наблюдаемые критические индексы обычно больше теоретически предсказываемых. Таким образом, необходимы дальнейшие уточнения теоретических [c.297]

Приведенные здесь результаты соответствуют акустическому числу Рейнольдса Reaк=Ыo /a(o O,05 (здесь — амплитуда смещения, — волновое число основной волны, — коэффициент затухания). Обнаружение нелинейных эффектов при такой малой нелинейности оказывается возможным благодаря резонансному методу измерений и высокой добротности стержня (около 10 ). Подобные измерения были сделаны и на стоячих поперечных волнах. Изложенная методика благодаря своей простоте и высокой чувствительности находит применение для изучения нелинейных свойств твердых тел и измерения модулей упругости третьего порядка [5, б, 22]. [c.303]

Э111ект11вный линейный юдуль упругости (его называют часто модулем упругости второго порядка, - модуль третьего порядка), а соотношением [c.132]

В последние десятилетия наряду с традиционными материалами появились новые искусственные материалы — так называемые композиты. Строго говоря, термин композитный материал или композит следовало бы относить ко всем гетерогенным материалам, состоящим из двух или большего числа фаз. Сюда относятся практически все сплавы, применяемые для изготовления элементов конструкций, несущих нагрузку. Соединение хаотически ориентированных зерен пластичного металла и второй более прочной, но хрупкой фазы позволяет в известной мере регулировать свойства конечного продукта, т. е. получать материал с необходимой прочностью и достаточной пластичностью. Усилиями металлургов созданы прочные сплавы на основе железа, алюминия, титана, содержащие различные. тегирующие добавки. Достигнутый к настоящему времени предел прочности составляет примерно 150 кгс/мм для сталей, 50 кгс/мм для алюминиевых сплавов, 100 кгс/мм для титановых сплавов. Эти цифры относятся к материалам, из которых можно путем механической обработки получать изделия разнообразной формы. Теоретический предел прочности атомной решетки металла, представляющий собою верхнюю границу того, к чему можно в идеале стремиться, по разным моделям оценивается по-разному, в среднем это 1/10—1/15 от модуля упругости материала. Так, для железа теоретическая прочность оценивается значением примерно 1400 кгс/мм что в десять раз выше названной для сплава на железной основе цифры. В настоящее время существуют способы получепия тонкой металлической проволоки или ленты с прочностью порядка 400—500 кгс/мм , что составляет около одной трети теоретической прочности. Однако применение таких проволок пли лент в конструктивных элементах неизбежным образом ограничено. [c.683]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Серый чугун в отливках для этих деталей (с учетом преобладающей толщины стенки) должен иметь прочность порядка 15—20 кГ1мм и модуль упругости около (0,8—1,05) 10 кПмм . Для отливок деталей третьего класса рекомендуются две марки серого чугуна СЧ 15-32 и СЧ 21-40. [c.96]

Известно [62, 296], что для построения полного корреляционного приближения решения краевой задачи теории упругости микронеодно-родной среды в перемещениях с определением статистических характеристик случайных полей микронапряжений и микродеформаций в компонентах композита в качестве исходной информации о структуре материала необходима следующая совокупность моментных функций структурных модулей упругости двухточечные и трехточечные моментные функции второго, третьего, четвертого и пятого порядков. [c.40]

Главное слагаемое величины по структуре совпадает с вьфа-жением Da ip в (2.27), однако коэффициент ai ф 1 тл зависит от упругих модулей третьего порядка. Эта зависимость в формуле (4.9) не усматривается. Главное слагаемое величины и по структуре, и по порядку отличается от слагаемого Da p в (2.27). Следовательно, в зоне сильного изгиба, где [c.347]

Весьма интенсивное экспериментальное исследование упругих модулей третьего порядка в последние годы отчасти связано с одним практическим применением звукоупругого эффекта возможностью определить величину напряжения в той или иной конструкции по различию скоростей сдвиговых волн, поляризация которых направлена в одном случае вдоль одноосного напряжения, в другом — перпендикулярно, а волновые векторы этих двух волн направлены перпендикулярио к направлению напряжения. [c.288]

Как ВЙДПО из (8.10) и (8.11), для описания неишней-ных свойств изотропного твердого тела во втором приближении помимо двух линейных постоянных — модуля всестороннего сжатия Ё и модуля сдвига Ц. (модулей второго порядка) ) — необходимо ввести еще три нелинейные постоянные (модули третьего порядка). Как и в случае модулей второго порядка, модули третьего порядка могут быть выбраны различными путями. В первых работах по нелинейной теории упругости Мэриаган [3] пользовался модулями третьего порядка I, т, п. В дальнейшем вслед за [2] мы будем пользоваться модулями третьего порядка А, В ж С. Из (8.11) легко найти связь [c.295]

Эта нелинейная теория упругости B lopioro приближе-ния иногда называется пятиконстайтной. Из вида функции U I, Is, /3) следует, что для учета величин третьего порядка малости в изотропном теле потребовалось бы еще ввести дополнительно четыре модуля четвертого порядка. Вообще для учета величин и-го по >ядка малоста в изотропном теле к уже существующим п [c.296]

Уравнение (8.17) вместе с граничными и начальными условиями является основным уравнением пятиконстант-яой теории упругости. Это уравнение нелинейно. Формальными причинами нелинейности являются упомянутая ранее геометрическая нелинейность и нелинейность обобщенного закона Гука (8.16). Последнюю обычно называют физич еской нелинейностью, ибо она связана с нелинейной упругостью конкретного твердого тела. Физическая нелинейность во втором приближении определяется упругими модулями третьего порядка (8.12), Пятиконстантная теория упругости является по существу нелинейной теорией с зачетом величин второго порядка малости. Поэтому естественно вдесь воспользоваться методом малого параметра вектор смещения можно представить в виде [c.298]

Адиабатические модули третьего порядка принципиально могут быть измерены танже по искажению и взаимодействию упругих волн в твердых телах. Величины этих акустических нелинейных эффектов (см. 3 этой главы) зависят от различных комбинаций А, В С. Однако этот Метод имеет свои весьма существенные трудности. Как и при определении нелинейного параметра жидкости (см. гл. 4, 2), нужны абсолютные измерения звукового поля. В прозрачных твердых телах их можно сделать оптическими методами в непрозрачных же [c.304]

Необходимо отметить еще одну трудность определения раздельно каждого из модулей третьего порядка акустическими методами даже в том случае, когда проведены три независимых эксперимента и абсолютные измерения звукового поля в изотропном теле или соответствующее количество экспериментов в кристалле. Обычно эти модули (так же как и в жидкостях) определяются из результатов амплитудных измерений величин втч)рого порядка малости. Одни только амплитудные измерения не дают возможности определить знак нелинейного параметра, состоящего из комбинации модулей третьего порядка и характеризующего данный нелинейный эффект. Практически это приводит к невозможности определить раздельно модули третьего порядка. Эти методы дают возможность определить некоторые комбинации упругих модулей третьего порядка (нелинейный параметр) что касается их знака, то здесь могут быть высказаны только качест- [c.306]

Говоря об определении модулей третьего порядка, остановимся еще на одном весьма существенном обстоятельстве. Пятиконстантная теория упругости, так же как л обычная линейная теория упругости, предполагает, что [c.307]

В общем случае дефекты твердых тел оказывают влияние на упругие модули третьего порядка. В настоящее время имеются прямые экспериментальные доказательства такого влияиия [17, 18] (см. 4 этой гладаы). Следовательно, измеряемые экспериментально модули третьего порядка имеют примесь , связанную с дефектами твердого тела. В некоторых случаях эта примесь мала по сравнению с модулями третьего порядка идеального изотропного твердого тела. Так, по-видимому, обстоит дело при измерении нелинейного параметра для продольных волн в свободных от внепших механических напряжений образцах экспериментальное значение нелЕшейного параметра при этом удовлетворительно совпадает с тем, что можно получить на основании элементарной теории твердого тела Борна или Из значения коэффициента теплового расширения твердых тел [19]. В других случаях, например при искажении формы продля поперечной волны (второй сдвиговой гармоники), примесь является основ-вгой причиной наблюдаемого эффекта согласно пятиконстантной теории упругости этот эффект не должен был бы наблюдаться вовсе (см. далее). [c.308]

Это соотношение соответствует разложению (1.6) для уравнения состояния газа или жидкости. Наряду с модулями всестороннего сжатия и сдвига в формулу (2.13) входят еше три константы А, В, С, назьюае-мые модулями треты го порядка, или нелинейными модулями упругости, в связи с тем что они являются коэффициентами при кубичных членах разложения внутренней энергии по инвариантам тенэора деформации. Таким образом, нелинейные деформации изотропного упругого тела в соответствии с формулой (2.13) характеризуются пятью параметрами (пятиконстантная теория). Подставляя (2.13) в (2.11), получим уравнение [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...