Функция распределения равновесных флуктуаций

Функция распределения равновесных флуктуаций 71 --флуктуаций энергии 69 [c.295]

В дальнейшем мы покажем, что и такие важные для газодинамики величины, как тензор вязких сил, поток тепла и др., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, как мы видели в 81, важное значение в теории флуктуаций и в теории фазовых переходов. [c.479]

В принципе, формула (1.3.111) применима к произвольным флуктуациям энергии. Однако в общем случае необходимо найти энтропию микроканонического ансамбля как функцию энергии Е. Как уже было сказано, это — очень сложная задача. Покажем, что для малых флуктуаций энергии Ч выражение для функции распределения (1.3.111) можно преобразовать к более простому виду. Разложим S E) по отклонениям энергии АЕ = Е — (Я) от равновесного среднего значения [c.70]

Подставляя это выражение в (1.3.111), легко убедиться, что равновесные термодинамические величины и линейные по АЕ члены сокращаются. Вычисляя затем нормировочную константу А, мы находим, что функция распределения для малых флуктуаций энергии имеет вид распределения Гаусса [c.70]

Как мы видели, флуктуации энергии могут быть выражены через термодинамические величины. Этот пример показывает, что, вычислив статистическую сумму, можно затем вычислить флуктуации динамических переменных, явно входящих в равновесное распределение. Расчет флуктуаций других динамических переменных представляет более сложную задачу, так как в общем случае корреляционные функции не выражаются непосредственно через термодинамические величины. [c.70]

Она напоминает локально-равновесную фазовую функцию распределения, которая уже встречалась в гидродинамике [см. формулу (8.2.20)]. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что физический смысл самих функций (8.2.20), (9.2.4) и входящих в них величин совершенно различен. Напомним, что локально-равновесное распределение g t) описывает состояние жидкости, задаваемое средними значениями базисных переменных (а (г)) , зависящими от времени. Эти средние связаны с параметрами /5(г, ), /х(г, ) и v(r, ) локально-равновесными уравнениями состояния. С другой стороны параметры /5(г), /х(г) и v(r) в распределении (9.2.4) определяются условиями (9.1.67) и, следовательно, являются функциями (или функционалами) от переменных ft (r). Тем не менее, формальное сходство локально-равновесного распределения (8.2.20) с распределением (9.2.4) позволяет распространить термодинамические соотношения на крупномасштабные флуктуации. [c.232]

Итак, мы напомнили читателю некоторые основные понятия из теории фазовых переходов термодинамически равновесных систем. Если мы посмотрим на отдельные формулы теории фазовых переходов Ландау, то сразу увидим поразительную аналогию с уравнениями для лазера. В самом деле, выражение (13.11), в котором стоит функция 5 , определяемая формулой (13.10), в точности соответствует функции распределения для лазера (при г = д). Таким образом, потенциал V фиктивной частицы, введенный нами в теории лазера, играет ту же самую роль, что и свободная энергия в теории фазовых переходов систем, находящихся в термодинамическом равновесии. Кроме того, уравнение (13.18) имеет точно такой же вид, как упоминавшееся ранее лазерное уравнение. Главное различие же заключается в том, что д — действительная величина, а амплитуда поля В — комплексная. Но нетрудно перенести понятия критического замедления, критических флуктуаций и нарушения симметрии в теорию лазера. С формальной точки зрения в случае лазера мы наблюдаем точно те же явления, что и при фазовых переходах в условиях теплового равновесия. Существенное различие же в том, что лазер является системой, далекой от термодинамического равновесия. Это — открытая система, в нее постоянно накачивается энергия, и она отдает энергию наружу в виде лазерного излучения. Указанная аналогия носит чисто формальный характер. Мощность накачки, которой определяется ненасыщенная инверсия,— аналог температуры. Можно показать, что мощность излучения соответствует энтропии. Теплоемкость же заменяется дифференциальной эффективностью, т. е. изменением мощности излучения, отнесенным к изменению мощности накачки. Несмотря на формальный характер этой аналогии, исследование свойств лазерного излучения с позиций теории фазовых переходов оказалось весьма плодотворным. Тем более, что существует аналогия не только с фазовыми переходами I рода, но и с фазовыми переходами II рода. При таких переходах возникает петля гистерезиса. В определенных лазерных устройствах подобные фазовые переходы могут быть реализованы. [c.331]

Флуктуации функции распределения в равновесном газе [c.105]

В отсутствие корреляции на отличных от нуля расстояниях одновременный коррелятор сводится к б-функциям, причем коэффициент при этих функциях определяет средний квадрат флуктуации в одной точке фазового пространства (ср. IX, 88). В идеальном равновесном газе средний квадрат флуктуации функции распределения совпадает со средним значением самой этой функции (см. V, 113) и, таким образом, [c.106]

Кинетическое уравнение (22,1) учитывает столкновения электронов только с молекулами, но не друг с другом. Поэтому здесь нет механизма, устанавливающего одновременную корреляцию между электронами с различными импульсами и начальное условие для функции g I, р) будет таким же, как и в равновесном состоянии. Поскольку речь идет о флуктуации функции распределения, усредненной по всему объему газа, то должно быть учтено постоянство числа частиц (электронов) ). Согласно [c.127]

Вместо термодинамической вероятности образования зародышей будем говорить о пропорциональной ей равновесной (в указанном смысле) функции распределения существующих в среде зародышей различных размеров обозначим ее через fo(a) есть число зародышей с размерами в интервале da в единице объема среды). Согласно термодинамической теории флуктуаций, [c.504]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

В основу нашего курса положен метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. При этом в гл. 11—13 изложено содержание этих методов, а в последующих гл. 14—16 — их прило жение к исследованию различных миогочастичных систем. В гл. 17 излагается теория равновесных флуктуаций. [c.182]

Вычисление флуктуаций динамических величин с помощью равновесных функций распределения представляет собой в общем < лучае такую же сложную задачу, как и вычисление средних значений и термодинамических потенциалов. Поэтому часто используется так называемая квазитермодинамическая (полуфеномено- логическая) теория флуктуаций, в которой при определении флуктуаций различных величин предполагается, что термодинамические функции системы известны. Эта теория ограничена задачами, в которых малую часть системы можно характеризовать термодинамическими параметрами. Вследствие этой посылки она имеет существенно приближенный характер, поскольку принимать параметры малой системы термодинамическими правомерно только в случае больших систем, когда флуктуации, которыми мы интересуемся, пренебрежимо малы. [c.298]

Определяемая кинетическим уравнением функция распределения (которую мы будем обозначать в этом и следующем параграфах как /) дает средние числа молекул, находящихся в элементах фазового объема d xdF-, для статистически равновесного газа функция ( (Г) есть независящая от времени и (если нет внешнего поля) от координат г больцмановская функция распределения (6,7). Естественно возникает вопрос о флуктуациях, испытываемых точной, микроскопической функцией распределения f t, г. Г) в ходе ее изменения со временем при движении частиц газа по их точным уравнениям движения ). [c.105]

Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для бесстолкновительной плазмы задача о флуктуациях в стационарном неравновесном состоянии ставится в особенности естественным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего поля любые функции распределения (р), зависящие только от импульсов частиц, являются стационарным решением кинетического уравнения. Коррелятор флуктуаций относительно такого распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от координат двух точек и от двух моментов времени только через разности т = ту—и 1 = 1 —Бесстолкновительность плазмы означает при этом, что рассматриваются времена малые по сравнению с 1/г, где V—эффективная частота столкновений. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он основан на непосредственном усреднении произведений точных флуктуирующих функций распределения [c.255]

Постоянные s и onst определяются из граничных условий при малых и больших а. Вероятность флуктуаций быстро возрастает с уменьшением размеров поэтому зародыши малых размеров возникают с большой вероятностью. Запас таких зародышей можно считать пополняющимся настолько быстро, что их число продолжает оставаться равновесным, несмотря на постоянный отвод потоком S. Эта ситуация выражается граничным условием при а—+0. Граничное же условие при больших а можно установить, заметив, что в надкритической области функция fg, определенная по формуле (99,1) (в действительности здесь неприменимой), неограниченно возрастает реальная же функция распределения /(а) остается, разумеется, конечной. Эта ситуация выражается условием f/fg = 0, поставленным где-либо в надкритической области где именно — не имеет значения (см. ниже), мы условно отнесем его к а— -схз1). [c.506]

Таким образом, для расчета интересующих нас флуктуаций необходимо подсчитать указанные средние — проблема, казалось бы, чисто математическая. Гиббсовское распределение w при этом использовать в принципе не обязательно. В некоторых простых задачах можно офаничиться даже использованием биномиального распределения и его частных случаев (см. задачи 1-5). Опыт предыдущих разделов курса-по исследованию равновесных статистических систем показывает, что необходимые средние значения по смешанному состоянию удается рассчитать только в некоторых редких случаях (например, дисперсию полной энергии системы (AJ ) , полного числа частиц ANy и др.). Для проведения необходимых оценок в целом ряде случаев эффективным оказывается метод корреляционных функций, широко применяемый при исследовании неидеальных равновесных систем (один такой пример мы рассмотрим в следующем парафафе), иногда же приходится использовать какой-либо аппроксимационный прием полуфеноменологического характера. [c.21]

Расчет дисперсий по указанной в предыдущем парафафе схеме с помощью канонического или большого канонического распределений представляет в основном математическую задачу. В связи с этим, отобрав точно решаемые примеры таких расчетов, мы отнесли весь их цикл в раздел задач (не скрывая сложности некоторых из них). В этом парафафе мы подробно остановимся на использовании метода равновесных корреляционных функций Н. Н. Боголюбова и на простейшем примере — оценке флуктуаций плотности числа частиц с помощью парной корреляционной функции. [c.22]

Раздел Задачи и дополнительные вопросы к главе 1 включает 44 задачи, часть из которых действительно является задачами, использующими предложенный в основном тексте формализм. Из дополнительных вопросов отметим примеры, связанные с использованием методов формальной теории вероятностей (1-5), в разделе Канонические распределения и теория флуктуаций — исследование общего вопроса о гауссоюсти распределения по энергии и числу частиц в рамках канонического распределения Гиббса, в разделе Классические системы — задачи 24, 25, а также 44, связанные с использованием величин рк — фурье-компонент плотности числа частиц и их связи с парной корреляционной функцией и флуктуациями плотности, в задачах 28, 29 участвуют системы из гармонических осцилляторов (резонатор, струна равновесному электромагнитному излучению посвящен самостоятельный раздел), и, наконец, задача 43 — традиционная проблема рассеяния света на флуктуациях плотности. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...