Уравнение неудерживающей связи

Удерживающие и неудерживающие связи. Удерживающими связями называются связи, которые сохраняют свое действие во все время движения точек системы. Неудерживающими связями называются связи, которые могут в некоторые промежутки времени прекращать и возобновлять свое действие. Чаще всего такого рода связи прекращают свое действие в определенном направлении и сохраняют свое действие в противоположном направлении. Уравнения удерживающих связей задаются равенствами, а уравнения неудерживающих связей задаются неравенствами. [c.747]

Связи, при которых точки механической системы имеют возможные перемещения, противоположные которым не являются возможными, называются неудерживающими связями. Такую связь можно получить, если в предыдущем примере идеальный стержень ОА заменить нитью. Тогда точки О и А отдалиться друг от друга не могут, но приблизиться имеют возможность, так как при этом произойдет смятие нити (рис. 10.2). Уравнение неудерживающей связи имеет вид [c.387]

С отрывом от поверхности плоскости (стационарная неудерживающая связь). Уравнение неудерживающей связи в этом случае имеет вид [c.26]

Неудерживающие связи математически представляются в виде неравенств. Ёаш в процессе движения механической системы все неудерживающие связи напряжены, то реакции их могут быть учтены в уравнениях движения с помощью множителей Лагранжа [5], которые должны иметь определенный знак. [c.57]

Интегрирование дифференциальных уравнений Лагранжа первого рода в случае наличия неудерживающих связей надо вести в изложенной ниже последовательности. [c.34]

Реакция неудерживающей связи. Дифференциальные уравнения движения частицы, подчинённой идеальной неудерживающей связи. Положим, что свобода частицы массы т стеснена неудерживающей связью [c.193]

Из сказанного выводим, что в качестве уравнения движения частицы, подчинённой идеальной неудерживающей связи, приходится брать либо уравнение (20.35), либо следующее [c.194]

Займёмся теперь определением величины реакции окружности на частицу. Положим сначала, что, например, маятник представляет собой весомую частицу, подвешенную на нити. Тогда уравнение рассматриваемой неудерживающей связи согласно условию о написании знака неравенства, установленному в 114, будет [c.223]

Затем надо снова произвести исследование функций, определяющих после новой интеграции величины и. Может случиться также, что система, не лежавшая на какой-либо неудерживающей связи, например снова придёт на неё, т. е. наступит момент, когда окажется / = =0. Тогда может произойти явление, называемое ударом, т. е. скорости точек системы могут измениться мгновенно. Как определить эти изменения, увидим впоследствии. Во всяком случае к новым скоростям после удара мы должны отнестись, как к новым начальным данным и так продолжать наше исследование и переход от уравнений одного типа к уравнениям другого типа, пока не исчерпаем, если сможем, все моменты, когда или какие-либо из множителей или Дз становятся отрицательными, или когда ослабленная связь приходит в состояние напряжения. [c.301]

Пусть мы сперва дали системе такое виртуальное перемещение, что в ослабление пришла только одна связь / тогда в левой части последнего неравенства сохранится лишь один член bf , откуда, ввиду положитель-.ности множителя мы должны сделать вывод, что неотрицательно. Повторив это рассуждение в отношении остальных множителей неудерживающих связей, приходим к общему результату, что все эти множители должны быть неотрицательны. При этом условии, следовательно, имеют место уравнения движения (34.2). Заметим, что вышеприведён-350 [c.350]

Анализ движения изделия по вибрирующему лотку и решение связанных с этим практических задач осложняется тем, что уравнения движения изделия в полете и при скольжении имеют разную аналитическую форму кроме того, на них действуют силы сухого трения, неудерживающие связи и упругость соударения, обусловливающие нелинейность уравнений движения причем между параметрами движения существуют не только функциональные, но и стохастические связи. [c.71]

Остальные два уравнения системы (1 ) остаются без изменения. В этих уравнениях F , F , Fj, — проекции активных сил, приложенных к точке соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль iV , Щ — проекции нормальной реакции на главную нормаль и бинормаль,/ — коэффициент трения скольжения. Если кривая, по которой движется точка, является неудерживающей связью, то точка сойдет с кривой в тот момент, когда реакция кривой обратится в нуль. Уравнение кривой задается двумя уравнениями поверхностей [c.50]

Вместе с тем уравнениями Лагранжа нецелесообразно пользоваться при наличии сил трения, зависящих от переменного давления. Кроме того, в случаях систем с неудерживающими связями одних уравнений Лагранжа для решения задач может оказаться недостаточно. [c.549]

Остановимся несколько подробнее на неудерживающих связях. До тех пор пока связь удерживает тело (нить или трос натянуты, стержень опирается на направляющую и т. п.), в условии связи стоит знак равенства и мы можем применять к системам с такими связями все выводы и уравнения, которые будут установлены для систем с удерживающими связями. Но, в отличие от последних, неудерживающие связи могут не удержать тело (момент отделения тела определяется по обращению в нуль соответствующей реакции связи). Это следует всегда иметь в виду при исследовании систем с неудерживающими связями (см. 19.4). [c.402]

Особенности применения уравнений Лагранжа второго рода к сис темам с неидеальными и неудерживающими связями [c.443]

Учёту варьированного уравнения одной связи в варьированном уравнении другой связи с применением неопределённых множителей посвящена заметка М. В. Остроградского [80]. Эта заметка приведена полностью с нашими примечаниями. В ней обсуждается применение неопределённых множителей на разных этапах дифференцирования функции, исследуемой на экстремум, а также представление реакций идеальных удерживающих и неудерживающих связей. Сформулирована задача оптимального особого управления с использованием в качестве управлений неопределённых множителей. [c.75]

Для второго периода удара записываются аналогичные уравнения за исключением (3), так как при t= 2 неудерживающая связь не дей ствует . [c.17]

В случае псевдоциклических координат использование преобразования Лежандра с соответствующим числом / приводит к понижению порядка системы на п — / единиц. Процедура исключения циклических координат посредством перехода к уравнениям Рауса носит название процедуры игнорирования циклических координат по Раусу. Уравнения Рауса используются также для систем с неудерживающими связями ( 33). [c.128]

Уравнения Лагранжа для систем с неудерживающими связями [c.139]

Осталось выяснить, как преобразуется выражение неудерживающей связи. Поскольку 91 = х > О выполняется при любых X G (—00,00), то на новые переменные никаких ограничений не наложено. Связь исключена. Имеем систему, для которой справедливы уравнения Лагранжа [c.145]

В этом примере и выражение для обобщенной силы оказалось инвариантным к выполненной замене. Исходная неудерживающая связь ни к каким ограничениям на новую переменную не приводит. Уравнение движения в переменной х имеет вид [c.146]

В этом пункте излагается прием, позволяющий выписать регулярные уравнения систем с неудерживающими связями в явном виде для любых таких систем. В основе этого приема лежит изложенное в п. 1 настоящего параграфа свойство 3 (теорема Аппеля), согласно которому обобщенные импульсы, соответствующие переменным, на которые не наложена неудерживающая связь, в момент удара не терпят разрыва. Следовательно, если выбрать эти импульсы в качестве фазовых переменных, то дифференциальные уравнения могут содержать не более чем разрывы первого рода. [c.150]

Переход от части обобщенных скоростей к обобщенным импульсам соответствует переходу от уравнений Лагранжа к уравнениям Рауса ( 29). Будем исходить из выражения системы с неудерживающей связью в виде, представленном в п. 2 настоящего параграфа. Кинетическая энергия [c.150]

Неудерживающих связей может быть и больше трех, так как область пространства, в котором принуждена двигаться точка, может быть ограничена достаточно большим числом поверхностей (например, многогранник) необходимо только, чтобы координаты движущейся точки одновременно удовлетворяли неравенствам, вытекающим из уравнений, ограничивающих поверхностей. [c.287]

Введем в рассмотрение освобожденную систему систему, которая получается после снятия всех неудерживающих п любой части удерживающих связей. Обозначая, как и ранее, через УУу ускорения материальных точек освобожденной системы в ее действительном движении в поле тех же сил и из того же состояния, имеем общее уравнение аналитической динамики 62 [c.62]

Угловое ускорение (ф) с помощью уравнений движения можно выразить через параметры диска и состояния <р, ф, так как при безотрьш-ном качении имеем систему с одной степенью свободы. Из уравнений плоского движения с удерживаюи(ей связью х = Rip и напряженной неудерживающей связью у = 0) находятся также нормальная составляющая (N) и касательная составляющая (F) реакции в точке контакта. Причем N = О, когда вместо неравенства (1.157) выполняется равенство левой и правой частей. [c.65]

Дифференциальная связь, уравнение которой не может быть проинтегрировано, назылается неголономной. Если влияние связи не может прекратиться или, иначе говоря, система не может освободиться от связи, то последняя ндзывается удерживающей. Если же система может покинуть связь, то связь является неудерживающей. Например, жесткий невесомый стержень является удерживающей связью для математического маятника, так как точка М всегда отстоит от точки подвеса О на расстоянии I. Если же математический маятник подвешен на гибкой нерастяжимой нити, то в процессе движения нить может смяться, и расстояние ОМ окажется меньше I, т. е. точка М покинет связь. Поэтому в данпом случае гибкая нить является неудерживающей связью, и ее уравнение можно записать в виде неравенства + В дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать механические системы с голономными стационарными удерживающими связями. [c.104]

Легко определить критерий, указывающий, когда надо брать уравнения одного типа, когда другого. Из сравнения выражений (20.38) и (20,39) видим, что для неудерживающей связи множитель реакщ1и должен быть неотрицателен [c.194]

Таким образом, при неудерживающих связях под виртуальными перемещениями можно понимать такие бесконечно малые перемещения, которые, будучи сложены с возможными перемещениями, оставляющими систему на связях, дают снова возможные перемещения, причём эти последние могут или оставлять сйстему на связях, или сводить её со связей. С этой точки зрения, если какая-нибудь из связей неудерживающая, соответствующее ей уравнение для виртуальных перемещений надо или заменить одним из неравенств (28.11), или вовсе отбросить. [c.285]

Реакции идеальных неудерживающих связей. Представим себе теперь, что одна из связей, например стала неудерживаюшей. Тогда соответствовавшее этой связи уравнение (30.3) для возможных ускорений согласно 174 заменится неравенством [c.296]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Неглгцщая регуляризащ1я. Как следует из изложенного выше, в момент выхода системы на идеальную неудерживающую связь обобщенные скорости в общем случае терпят разрыв первого рода как функции времени. В системе возникает удар, движение ее может быть описано дифференциальными уравнениями только в промежутке между двумя ударами. В моменты ударов требуется пересчет начальных условий. [c.144]

Обище уравнения систем с неудерживаюищми связями. Приведенный выше прием сведения кинетической энергии к канонической форме дает принципиальное решение задачи составления регулярных уравнений движения систем с неудерживающими связями в самом общем случае. Однако он требует знания общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для разыскания замены переменных, что при решении конкретных задач может быть препятствием для построения искомых уравнений системы с неудерживающими связями в явном виде. [c.150]

Как и в статических задачах, основой теории динамического контактного взаимодействия является теория движения систем с неудерживающими связями с конечным числом степеней свободы. Последняя была разработана М. В. Остроградским [12] и завершена в работах Майера и Цермело. Здесь, по существу, был построен алгоритм интегрирования уравнений движения, основанный на отбрасывании связей, не оказывающих влияния на систему. Тем самым задача была сведена к классической задаче интегрирования уравнений движения систем с удерживающими связями. [c.478]

В дальнейшем пользуемся упрощенной моделью, в которой предполагается, что взаимодействие тела с преградой происходит в течение всего времени пребывания тела в области л >0. Ясно, что это время больше значения t из предыдущей задачи, и для моментов времени t>f получаем физически абсурдную картину стенка удерживает тело т, когда оно двил<ется от стенки в отрицательном направлении. Таким образом, вторая модель не претендует на физическое обоснование теории удара. Однако (какпоказано ниже) в результате некоторого предельного перехода она также приводит к модели удара с трением, изложенной во введении, а простота получающихся при этом формул позволяет развить эффективный метод решения ряда задач устойчивости движения в системах с неудерживающими связями (см. гл. 3). Идея метода состоит в следующем односторонние связи заменяются средой Кельвина — Фойгта, и в решениях полученных уравнений движения совершается предельный переход, при котором коэффициенты упругости и диссипации некоторым согласованным образом устремляются к бесконечности. В пределе получается движение системы с неупругим ударом, причем характеристики среды Кельвина —Фойгта определяются по заданному с самого начала коэффициенту восстановления. Такой подход позволяет при решении задач о движении систем с ударами использовать обычные дифференциальные уравнения динамики с дополнительными силами определенного вида. Основным результатом здесь являются теоремы [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...