Соотношение ортогональности собственные

Функция f(0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л(т1о) и Л (т]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона (г и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты Л(т1о) и Л(т1) можно получить, используя соответственно-формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (т]о) равен [c.409]

Из (4) следует, что g=S- . Обозначим Um( ) собственный вектор уравнения — + (/.,. ) = 0. Матрица Аш =Ытм удовлетворяет соотношениям ортогональности [c.163]

Соотношения (13.2.5) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм. [c.434]

При свободных колебаниях системы с собственными частотами Рх и Ра уравнение (1. 30) определяет расширенное соотношение ортогональности для собственных функций у,, и у", которое при условии независимости коэффициентов вязкого трения от частоты совпадает с соотношением, полученным Фоссом [И]. [c.29]

В литературе известны работы, в которых приводятся соотношения ортогональности для собственных форм некоторых систем. Наиболее известный результат таков [1] резонансные формы произвольного упругого тела ортогональны с весом р, т. е. [c.6]

После этих преобразований нетрудно вывести соотношение ортогональности для /-ГО собственного вектора и/, соответствующего собственному значению X/, и п-го сопряженного собственного вектора отвечающего другому собственному значению, Х . Поступая обычным в этих случаях образом [4], т. е. умножая уравнение (4) слева на а уравнение (5) справа на Ц/, вычитая одно из другого и интегрируя в интервале [а, Ь], после взятия одного из интегралов по частям получаем [c.7]

Между двумя любыми формами ( х-й и v-й) собственных колебаний существует соотношение ортогональности [c.359]

При определении второй частоты собственных колебаний стержня намечают приближенно форму с ординатами /J имеющую один узел. Однако нужно иметь в виду, что между формами колебаний (Х-й и v-й, соответствующими различным собственным частотам, должны существовать соотношения ортогональности [c.401]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

Эти собственные функции удовлетворяют соотношению ортогональности [c.207]

Это функциональное соотношение должно выполняться в И+, т. е. именно в том объеме, в котором имеет место ортогональность собственных функций, поэтому из него сразу получаем явное выражение для Ап. [c.93]

Общим во всех вариантах обобщенного метода, излагаемых в этой главе, является введение собственных значений в граничные условия однородных задач, а не в уравнения (как это имело место в й- и е-методах). Для этого на поверхности вспомогательного тела, имеющего ту же форму, что и в исходной задаче, вместо истинных граничных условий задачи дифракции ставятся какие-либо вспомогательные условия, содержащие параметр, играющий роль собственного значения. Например, в ш-методе ( 9) на границе тела ставится условие импедансного типа, и собственными значениями соответствующей однородной задачи являются те значения импеданса вспомогательного тела, при которых существуют нетривиальные решения на заданной частоте. Во всех методах этой главы каждая собственная функция обязана удовлетворять тому же уравнению, что и дифрагированное поле (т. е. однородному уравнению с истинной частотой), и тем же условиям на бесконечности (кроме варианта, изложенного в 13). Поэтому представление искомого поля в виде разложения (5.5) удовлетворяет почленно уравнению задачи дифракции и условиям излучения (если таковые накладываются) при любых коэффициентах Л . Эти коэффициенты определяются нз оставшегося условия, состоящего в том, чтобы искомое поле удовлетворяло истинным граничным условиям. При этом используются имеющие здесь место соотношения ортогональности. [c.85]

Рассмотрим подробнее определение спектра собственных частот исследуемой структуры, а также выявим ее параметры, существенно влияющие на собственные частоты. Из сопоставления решений (17) и (20) следует, что формы собственных решений и, следовательно, спектры собственных частот не зависят от вида соотношений ортогональности для собственных вектор-функций. [c.27]

Пользуясь известным правилом преобразования от смещений в декартовых координатах к комплексным нормальным координатам уравнением динамики и соотношениями ортогональности для собственных векторов получим следующее выражение для кинетической энергии [c.331]

Для того чтобы записать соотношения ортогональности для стержня с прикрепленной на конце массой, перепишем задачу на собственные значения [см. уравнение (5.11)] для двух различных форм с номерами I и j колебаний [c.347]

Соотношение ортогональности между собственными функциями потока и ценности может быть получено после следующих операций с уравнениями (10.9), (10.10), (10.16) и (10. 17) [c.430]

Мы видели, что собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма ортогональна ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях, и поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия для собственных форм, наблюдаемых при наличии демпфирования. [c.51]

Значение соотношения ортогональности состоит прежде всего в том, что оно позволяет существенно упростить весьма сложное выражение для кинетической энергии, а ведь именно на этом выражении основываются многочисленные способы расчета колебаний, например собственных колебаний. Если в формулу (6.44) подставить выражения (6.54), то получится [c.277]

Как средняя скорость потока, так и величины подъемной силы и момента в приведенных выше выражениях являются функциями х. В таком случае больше неприменимы соотношения об ортогональности собственных форм колебаний [как это делалось, например, в выражении (6.82)], и выражения для преобразованных с учетом этого передаточных функций становятся еще более сложными. Однако связанные с этим вычисления могут быть проведены на ЭВМ. [c.196]

Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадает с числом степеней свободы колебательной системы и что две нормальные формы колебаний ортогональны, т. е. имеет место соотношение [c.557]

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Пары собственных форм с совпадающими (двукратными) собственными частотами. В спектрах линейно-упругих поворотно-симметричных систем всегда присутствуют пары собственных форм с совпадающими собственными частотами, если S>2, Эти пары образуются из форм с одинаковыми п, принадлежащих парам групп с совпадающими по абсолютной величине числами т. Обе формы из такой пары с точностью, как бы показано выше, до относительного окружного сдвига на четверть окружной волны амплитуд. идентичны. Вместе с тем они, будучи линейно независимыми, попарно взаимно ортогональны. Последнее следует из третьего соотношения условий (1.33). [c.21]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Полученное соотношение ортогональности (7) значительно облегчает процедуру разложения произвольных функций в ряды по собственным формам обобщенных краевых задач и решение неоднородных уравнений вида (1). Описанным здесь способом могут быть получены соотношения ортогональности для резонансных форм движушихся стержней и струн [6] с граничными условиями типа (И), для нормальных волн Лэмба [7] в толстом упругом слое, для волн в тонкой полосе [8] и, по-видимому, для нормальных волн любого твердого волновода. [c.9]

Как видим, пространственно-временное поведение гармоник температурного распределения в канале с твэлом и теплоносителем определено теперь полностью с помощью соотношений (3.155), (3.157), (3.149), (3.152) и (3.159). В отличие от предыдущего параграфа, где используются самосопряженный оператор уравнения теплопроводности и ортогональные собственные функции, в этом случае для полного решения задачи требуется знание собственных функций -фт(г) и ii3m (r), составляющих биортогонзль-ную систему. [c.103]

Решение уравнений изгиба гибкого ротора. Балансировка гибкого ротора должна осуществляться с учетом формы его изгиба, а также соотношений между балаиси-ровочиой, рабочей и критически.ми скоростями и собственных форм, соответствующих Этим скоростям. Для этого приходится решать дифференциальные уравнения колебаний гибкого ротора с Дисбалансом или корректирующими массами, распределенными по его длине по тому или ииому закону. Решение этой задачи существенно облегчается благодаря свойству ортогональности собственных форм (см. справочник, т. 1). Распределенную неуравновешенность можно разложить в ряд по собственным формам, каждая из составляющих вызывает колебания только по своей форме, Балансировку гибкого ротора можио проводить раздельно по каждой из со- [c.62]

В настоящей главе приведено упрощенное изложение метода Кейса применительно к решению одномерного уравнения переноса излучения в плоском слое серой изотропно рассеивающей среды. Приведены собственные функции однородного уравн ения, рассмотрены свойства ортогональности собственных функций и приведены различные интегралы нормировки описан способ представления произвольных функций через собственные функции. Подробное изложение теории метода и его приложений, а также обзор литературы даны в работе [2]. Более поздние работы, посвященные методу Кейса, рассмотрены в [3]. В работах [4, 5] этот метод был распространен на случай анизотропно рассеивающих сред. Несколько полезных соотношений ортогональности для собственных функций приведены в [6—8] Мы не собираемся приводить многочисленные ссылки на применение метода Кэйса в теории переноса нейтронов, но упомянем не сколько работ в области переноса излучения. [c.378]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Ортогональным поляризациям соответствуют нормальные циклические операторы [82], т. е. такие, для которых выполняется соотношение (где — эрмитово сопряженный оператор). Отсюда легко получить условие ортогональности собственных поляризаций [c.154]

Можно показать [76], ЧТО для возможности применения метода возмущений необходимо и достаточно, чтобы невозмущенная матрица Джонса и эрмитово сопряженная матрица имели одни и те же собственные векторы. Этому требованию удовлетворяют нормальные матрицы [82], т. е. такие, для которых справедливо соотношение где знак соответствует эрмитову сопряжению. Существенно также, что для нормальных матриц операция умножения на произвольный вектор с последующим скалярным умножением на другой произвольный вектор обладает свойством коммутативности, т. е. (Л501 62) = ( 02 01). Матрица тогда и только тогда является нормальной, когда она имеет полную ортонормированную систему собственных векторов. Отсюда критерием возможности применения метода возмущений для расчета поляризационных характеристик является ортогональность собственных [c.159]

Применив процедуры, описанные в работе [4], опуаив промежуточные выкладки, получим соотношения ортогональности для собственных вектор-функций [c.15]

Коэффициенты здесь уже могут быть янными функциями времени и характеризовать развитие системы во времени под действием возмущения. (Для удобства мы также включили в них гармонические и экспоненциальные временные множители, входящие в явном виде в (3.55). Одпако входящие в (3.55) постоянные а и Ь теперь могут быть функциями временн.) Подставим введенную в]>т-пю волновую функцию в зависящее от времени уравнение Шредингера (3.11). Умножая обе части получеппого уравнения на и и интегрируя его по всей области изменения координат д, мы можем далее воспользоваться соотношениями ортогональности для собственных функций и в результате получить следующее уравнение для а 1) [c.80]

Выведем, используя (3.8), соотношения ортогональности для собственных векторов о. Пусть — собственное значение, соответствующее собственному вектору Умножая уравнение N%oh= qhtoh слева на Н.ог п используя первое из соотношении [c.113]

Нетрудно показать, что функции Е и представляют собой собственные волны данного волновода — они удовлетворяют однородным (без источников) уравнениям Максвелла и требуемым граничным условиям. Функции (1.2.26) — это -волны данного волновода (Я г "—0), функции (1.2.27) — Я-волны Esг" = 0). Если сечение 51 неодносвязно, то в Е , Н необходимо добавить также ТЕМ-волны (для Л -связной системы имеется N—1 ТЕМ-волн). Как показано в [4, 5], для собственных волн имеет место следующее соотношение ортогональности [c.39]

Это тождество показывает,- что произвольную фук цию, удовлетворяющую заданным граничным ус ВИЯМ, можно разложить в ряд по собственнь функциям Ет. Пользуясь рассмотренными в п. соотношениями ортогональности, находим, что коэ фициенты указанного разложения Фт определяют формулой [c.122]

Пространственная часть собственных функций I, (г, t) уравнения (43.2) дается соотношениями (30.39), а временная часть представляется множителем ехр — iE tlfi), причем собственное значение энергии дается формулой (30.246). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, ортогональны. При расчетах (см. 42) каждое состояние, принадлежащее вырожденному собственному значению, надо рассматривать как самостоятельное. [c.243]

В обеих этих случаях фактические массовые моменты инерции всех дисков должны быть при решении упомянутой задачи заменены на фиктивные по формулам (11.30), так что при обычных для дисков соотношениях размеров все они становятся отрицательными. Вследствие этого характеристическое уравнение, аналогичное (III.34), в первом случае имеет п корней п— число дисков) положительных, равных квадратам критических скоростей прямой прецессии, и п корней отрицательных (эти корни физического смысла не имеют). Соответственно этому представление решения в виде суммы по собственным формам содержит 2п членов, аналогично решению (II 1.42), половина из которых остается ограниченной при любой скорости вращения (о остальные 2w членов этих разложений (в соответствии с порядком уравнений для амплитуд колебаний и-дискового вращающегося ротора, колеблющегося в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, в упомянутых разложениях должно бы было быть 4п членов), аналогично (III.38), тождественно равйы. нулю, так как и в случае -дискового ротора все усилия от небаланса ортогональны к собственным формам, соответствующим критическим скоростям обратной прецессии. [c.126]

Это соотношение выражает свойство ортогональности двух собственных форм колебаний после деления на йцПхг оно может быть переписано также в виде [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...