Минимум функции одного переменного

Здесь ограничимся разработкой такого алгоритма для определенной кинематической схемы манипулятора (рис. 1), когда п = 5. Для такой схемы малое перемещение захвата определяет двумерную плоскость в пятимерном пространстве проверку существования допустимого многогранника и отыскание оптимального вектора Дф удается свести к определению минимума функции одной переменной. [c.56]

Поиск минимума функции одной переменной [c.277]

Минимизация по параметру т осуществляется одним из численных методов поиска минимума функции одной переменной. Минимизируемая функция S m) вычисляется с подстановкой для ц в выражении (2.6) значения, вычисленного по формулам (2.9) и (2.10). [c.87]

Процедура поиска минимума функции одной переменной [c.214]

В самой математике уже издавна разрабатывались методы определения максимума или минимума функции одной или нескольких переменных. Как известно, необходимое условие экстремума определяется из простого условия в искомой точке экстремума все первые производные функции по каждой переменной должны равняться нулю. Однако если точка удовлетворяет этим условиям, то это еще не означает, что именно в ней достигается экстремум. Эти условия являются лишь только необходимыми условиями экстремума, но далеко не всегда достаточными. Правда, если заранее известно, что точка экстремума наверняка существует и она единственная, то необходимые условия экстремума выделяют именно эту искомую точку. Даже если мы и не уверены заранее, что точка максимума (или минимума) единственна, то необходимые условия помогают нам выделить некоторую ограниченную совокупность точек, нз которых нетрудно даже простой поочередной проверкой каждой точки из этой совокупности установить, в какой же именно точке достигается абсолютный максимум (или минимум — в зависимости от того, что, мы ищем). [c.146]

Пусть / х) — функция одной переменной целевая функция), которая минимизируется на множестве А с К. Точка X е X называется точкой глобального минимума функции / на множестве X, если /(х) < f (х) для всех X X, и называется точкой строгого локального минимума, если существует такая окрестность (У этой точки, что /(х) < /(х) для всех X X П [c.139]

Если решается задача об экстремуме данной функции, то все сводится к определению тех значений независимых переменных, при которых эта функция получает максимум или минимум. В случае функции одной переменной для этого необходимо решить уравнение [c.155]

Таким образом данная проблема механики ) сводится к простой задаче на максимумы и минимумы, разрешение которой зависит только от вариации одной переменной z, являющейся согласно допущению функцией X VI у п. 35). [c.146]

Исходные данные для вычислений функции затрат (К) или 5оп (п) взяты те же, что в примере 3 (см. п. 7.3). Итак, ставится задача найти минимум функции затрат зависящей от одного аргумента. Если вопрос о способе обработки контрольных данных (о методе статистического регулирования) не предрешен, то в качестве аргумента функции затрат надо взять крутизну К оперативной характеристики. Позже будут выбраны объем выборки и границы регулирования, соответствующие оптимальной крутизне К применительно к тому или иному методу статистического регулирования. Если заведомо известно, что будет применен метод класса А (на основе средней арифметической), аргументом следует взять объем выборки я. В первом случае аргумент будет непрерывной, во втором случае — целочисленной переменной величиной. В примерах представлены оба случая. [c.162]

ЭКСТРЕМУМЫ. Вычисление максимума и минимума функции па отмеченном интервале ФУНКЦИЯ. Числовое решение заданной функции одной или двух переменных ИНДЕКСИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА. Присвоение отмеченному об1 екту индекса [c.78]

Определение минимума функции при одной переменной. Предполагается, что между выбранным экономическим показателем S и основным параметром существует функциональная зависимость. Эта функция дифференцируема. Требуется отыскать такое значение параметра внутри промежутка Ik , при котором функция = ф k ) принимает наименьшее значение, т. е. полные народнохозяйственные затраты будут минимальными. [c.43]

Определение минимума функции при одной переменной. Предполагается, что между выбранными экономическим показателем Sy и основным параметром ki существует функциональная зависимость. Эта функция дифференцируется. Требуется отыскать такое значение параметра ki в промежутке (ki,ki), при котором функция 5у = ф(/г() принимает наименьшее значение, т. е. удельные совокупные затраты будут минимальными. [c.83]

Если по каким-либо причинам задано дополнительное условие, то нахождение минимума функции двух независимых переменных сводится к более простому случаю нахождения функции одной независимой переменной. Это относится к случаю, когда заданы конструктивные характеристики воздухоподогревателя Хг и Хв, а следовательно, и ф. [c.72]

Методы одномерной минимизации. Методы одномерной минимизации [55] функции 4> х) одного переменного, как правила, позволяют получить последовательность отрезков. [а , Ьп], стягивающихся в точке д минимума функции. Большинство таких методов 9 [c.131]

Для контроля и уточнения задача оптимизации решалась также и методом нелинейного программирования с помощью ЭВМ. В данном случае задача поиска минимума функции Ка двух переменных d и к, которые связаны условием (60), не решается в явном виде относительно одной переменной. Для решения задачи оптимизации применялся метод обобщенного критерия в сочетании с методом сканирования [61. Результаты вычислений Ка min приведены на рис. 20, а опт в табл. 8. и данные и результаты вычислений из уравнений (60), (61) практически одинаковы. [c.184]

Конечно, нет необходимости начинать все сначала и искать максимум энтропии, считая ее неявно (через Т и р) заданной функцией энергии и объема. Раз одной из переменных является температура, можно сразу искать минимум функции [c.122]

Полагая образующие профиля прямолинейными, можно представить погрешности образующих в функции только одной переменной и для двух крайних значений Дг. Тогда, исследуя функции на максимум и минимум при крайних значениях Аг д и Дг д, по каждому из заходов можно найти наибольшее и наименьшее значения из всех максимумов и минимумов этих функций, которые будут определять предельные значения погрешностей текущих точек образующих профиля в исследуемом промежутке по каждому заходу. [c.181]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления, или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота или других объектов) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошен- [c.141]

Решая систему уравнений (27.14), можно найти одну или несколько равновесных конфигураций системы, т. е. один или несколько наборов значений обобщенных координат д о, д о, , которым соответствуют те или иные стационарные значения потенциальной энергии системы. Это не обязательно должен быть минимум или максимум функции и, так как с точки зрения математики уравнения (27.14) представляют собой только необходимые, но не достаточные условия существования экстремума функции многих переменных. [c.157]

В случае одного переменного известно [77], что меры могут быть отождествлены с функциями ограниченной вариации. Поэтому в случае одного переменного пространство функций ограниченной вариации и является иско- 1ьт расширением пространства в котором существует минимум функционала, описываюш,его движение жесткопластической среды. [c.51]

Теорема. При / 7 стабильные особенности границы области эллиптичности /-параметрического семейства многочленов диффеоморфны особенностям графиков функций минимума типичных семейств многочленов от одной переменной. [c.137]

Интегральная функция, максимум или минимум которой определяется, может содерн ать и другие интегралы какова бы, однако, она нп была, ее всегда можно преобразовать таким образом, чтобы она содержала только конечные переменные и их дифференциалы и зависела только от одного пли нескольких условных уравнений между теми же переменными, которым всегда можно удовлетворить с помощью метода множителей. [c.126]

Итак, мы видим, что в задачах на максимумы и минимумы, касающихся двойных интегралов, в которых одна из трех переменных является функцией двух остальных, получается, строго говоря, только одно уравнение, которое может быть получено непосредственно, а именно путем варьирования по S только той переменной, которую мы признали функцией двух других переменных ). Это уравнение представляет собою уравнение поверхности, удовлетворяющей данной задаче. Таким именно образом и было найдено уравнение в частных дифференциалах минимальной поверхности, причем было положено и — [c.143]

При выполнении процедуры SEIDEL производится обращение к процедуре MINIMUM поиска минимума функции одной переменной. [c.215]

Как известно, достаточным условием, гарантирующим существование экст ремума действительной функции одного переменного, является положительная определенность производной второго порядка (/ "(j o)>0) в случае минимума и отрицательная (/"(j )<0)—в случае максимума. Аналогичных условий для вто- рой вариации т. е. 6 F>0 или t F[c.219]

Минимум функции трех переменных ифзх] >2z) при одном добавочном условии, связывающем эти переменные, найдем по методу Лагранжа. Введем неопределенный множитель /. и рассмотрим функцию четырех переменных [c.79]

Данная задача значительно сложнее первой. Рассмотрим ее решение на примере функции двух переменных. Алгоритм может быть распространен на функции большего числа переменных. Для минимизации функций нескольких переменных MATLAB использует симплекс-метод Нелдера-Мида. Данный метод является одним из лучших методов поиска минимума функций многих переменных, где не вычисляются производные или градиент функции. Он сводится к построению симплекса в -мерном пространстве, заданного п +1 вершиной. В двумерном пространстве симплекс является треугольником, а в трехмерном — пирамидой. На каждом шаге итераций выбирается новая точка решения внутри или вблизи симплекса. Она сравнивается с одной из вершин симплекса. Ближайшая к этой точке вершина симплекса заменяется этой точкой. Таким образом, симплекс перестраивается и позволяет найти новое, более точное положение точки решения. Алгоритм поиска повторяется, пока размеры симплекса по всем переменным не станут меньше заданной погрешности решения. [c.279]

Описанным алгоритмом реализуется метод Остроградского — Зайделя поиска минимума функции нескольких переменных последовательным определением частных минимумов при изменении только одной независимой переменной. Процедура имеет некоторые ограничения в ее использовании, например в случае неунимодальной функции или при наличии гребней или оврагов в поверхности отклика для исследуемой функции. Поэтому ее применение в конкретных технологических задачах обосновывается. [c.215]

Метод конфигураций Розенброка [17] основан на поиске минимума вдоль линий разрыва производных и часто оказывается эффективным, когда другие методы не позволяют получить решение. Его нередко называют методом вращения осей координат , поскольку исследование в окрестности выбранной точки ведется именно таким способом. В отличие от предыдущих методов, в которых исходным переменным сообщают независимые приращения, в методе Розенброка система координат поворачивается так, чтобы одна из осей была направлена вдоль линии разрыва производных, положение которой определяется в результате предварительного исследования. Остальные оси образуют с ней ортогональную систему координат. Метод Розенброка основан на предположении об унимодальности целевой функции и предназначен для отыскания минимума функции многих переменных вида [c.182]

В 1933 г. Л. В. Канторовичем ) предложен метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Метод Л. В. Канторовича позволяет свести двумерную задачу к задаче одномерной. Позже, в 1946 г., В. 3. Власовым ) идея метода Л. В. Канторовича применена к решению задач строительной механики пластин и оболочек. Для сведения двумерной задачи изгиба пластин и оболочек к одномерной функция прогиба представляется в виде суммы произведений функций, одна из которых по одной переменной считается известной (задается), а другая (по другой переменной) подлежит определению. [c.202]

Изменение принятого ранее значения одной из переменных, например xi на величину Ах , и вычисление значения целевой функции при новом значении Xi + Axi этой переменной и неизменных значениях остальных переменных. Если определяется минимум функции цели z и если вычисленное значение 2 (xi -j-+ Ajjj, Х2, xj меньше значения z (xi, Х2,. .., то направление поиска по переменной ш выбрано правильно и в памяти ЭВМ следует удержать это значение функции цели. Если же новое значение функции цели больше предыдущего, то знак приращения Дх следует изменить на обратный, вычисляя новое значение целевой функции по координате xi—Ал. При этом значение z(xi — Aa l, Х2,. ..V х ) либо уменьшается по сравнению со значением Z Xi, х ,. .., х ), либо увеличивается, если достигнут минимум Z по переменной Xi. При поиске максимума функции цели все изложенные рассуждения соответственно обращаются. [c.115]

Того же самого требует и сущность задания ведь если между данными пределами разыскивается та кривая, для которой Jii5 составлял бы минимум, то тем самым предполагается, что в каждом из обоих пределов скорость тела одна и та же, какая бы кривая ни являлась путем тела. Сколько бы ни было неподвижных центров сил, скорость тела в любой точке М (рис. 2) выражается определенной функцией обеих переменных СЯ = х и РМ = у. [c.39]

Для поиска минимума расчетных затрат по АЭС в области допустимых решений используется одна из модификаций градиентного метода [75], предусматриваюш ая применение численного дифференцирования при вычислении значения антиградиента. В связи с длительностью определения антиградиента при большом числе переменных движение по направлению антиградиента осуществляется не па один шаг, а до получения минимума функции цели на данном направлении или достижения границы области допустимых решений. Истинность найденного минимума функции проверяется изменением начальной точки оптимизации (исходного вектора параметров). [c.90]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

Для оценки качества временнбй селекции сигнала на фоне помех в ОЭП применимы критерии, нашедшие впервые широкое распространение в радиолокации [84]. Как уже отмечалось, для систем обнаружения основными показателями качества являются условные вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F, а критерием оптимального обнаружения служит критерий максимума отношения правдоподобия, являющийся следствием более общего критерия — минимума среднего риска. Для оценки качества временнбй селекции величины D, F, г рассматриваются как функции только одного переменного—времени. [c.34]

По поводу последнего условия необходимо сделать следующее замечание. Если рассматриваемое течение является изэнтропическим, то вместо дифференциальной связи (2.11) с граничными условиями (2.12) можно использовать одно изопериметрическое условие (2.7). о показывает, что соответствующий множитель Лагранжа Л2 будет постоянен, а его величина определяется из условия (2.7). В этом случае равенство (2.23) является условием трансверсальности. Если же течение неизэнтропично, то величина Л2 переменна, а равенство (2.23) можно рассматривать как граничное условие для Xj. Последнее означает, что условие (2.23) выполняется на всех функциях сравнения. Это различие в смысле равенства (2.23) при изэнтропических и неизэнтропических течениях несущественно при рассмотрении необходимых условий экстремума, но оно должно быть использовано при выводе необходимых условий минимума. [c.72]

Если J [а], al) > J ( 1, aJ), то вращение па ДО продолжается до тех нор, пока следующее значение не станет меньше предыдущего или равно ему. На рис. 7.44 такой точкой стала четвертая по счету. После этого начинает вращаться точка О вокруг точки 4 и т. д. Как видно из рисунка, в этом алгоритме последовательность точек приближения спускается в овраг и движется вдоль него до минимума. Метод движения но оврагу легко обобщается на случай многих переменных параметров (см, [125]). Он также позволяет обойтн еще одну трудность, возникающую при необходимости находить локальные экстремумы в задачах акустической оптимизации машин. Трудность заключается в том, что целевые функции часто содержат абсолютные значения комплексных выражении, зависящих от параметров а,, и поэтому не [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...