Вейерштрасса необходимое

Для начальной точки периода полета с маршевым двигателем можно взять произвольное значение Хз, а также задаться несколькими значениями величин у, V, М. Тогда все переменные, включая множители Лагранжа, для периода полета с маршевым двигателем могут быть определены. Но сначала мы производим интегрирование в обратном направлении вдоль дуги, соответствующей пассивному участку полета, или вдоль дуги максимальной тяги (какой именно вид интегрирования выбрать, диктуется критерием Вейерштрасса). Следует убедиться в правильности знака функции Яз(сГ1), соответствующей высоте у, чтобы проверить, правильно ли применен критерий Вейерштрасса (необходимо, чтобы знак Я,з не менялся). Величины, которыми мы задались вначале, должны исправляться в ходе расчета до тех пор, пока не будут получены равенства (аО =У1 и 2(01) =0, так что у нас останутся только две степени свободы в начале периода полета с маршевым двигателем. При этом могут возникнуть следующие положения. [c.772]

Многие советские ученые использовали двоякопериодические функции для определения напряжений внутри композита. Так как при этом необходимо обратиться к теории эллиптических функций Вейерштрасса и специальных мероморфных функций, подробное обсуждение полученных решений выходит за рамки данного обзора. Читатели, интересующиеся деталями, могут обратиться к обширной литературе, которая будет указана ниже. [c.84]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

Вы, конечно, не меньше меня знаете, какие чувства благодарности и дружбы привязывают меня к Вейерштрассу и с каким участием он всегда относился ко всему, что касается меня. Поэтому Вы можете быть уверены, что в таком серьезном деле я вполне последую его совету. В этом вопросе он держится следующего мнения он полагает, что появление женщины в звании доцента на университетской кафедре представляет собой настолько серьезный шаг, который может иметь такие серьезные последствия для цели, которой я главным образом хочу служить, что я не имею права решиться на него прежде, чем своими чисто научными трудами не докажу, на что я способна. Поэтому г. Вейерштрасс считает совершенно необходимым, чтобы я сначала закончила исследования, которыми я занята теперь и которым посвятила уже около года. До их окончания я не должна отвлекаться ничем иным и не брать на себя столь серьезных обязанностей, как те, которые Вы мне предлагаете. Должна признаться, что нахожу доводы г. Вейерштрасса настолько убедительными, что не могу не последовать им. [c.13]

По поводу этого интересного письма необходимо отметить, что С. В. Ковалевская совершенно не упоминает о работах Римана, которые не могли быть ей не известны, так как книга Неймана, о которой она говорит в письме, написана именно с точки зрения Римана. Как известно, центральной и исходной теоремой, на которой построена теория Вейерштрасса, является теорема сложения абелевых интегралов, знаменитая теорема Абеля, представляющая, в свою очередь, гениальное обобще- [c.20]

На последнем заседании Академии г. Фукс прочитал свою работу, которая, кажется, замечательно хороша. Я ее не читала, так как она еще не появилась в печати, но я познакомилась с нею частью по рассказам Кронекера и частью по рассказу самого Фукса. Представьте себе, что Фуксу удалось найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы нелинейное дифференциальное уравнение обладало основным свойством линейных уравнений, именно чтобы критические точки его интегралов не зависели от начальных данных. Не правда ли, что это замечательно Особенно замечательно то, что Фукс никому никогда не рассказывал об этой работе, и еще за несколько дней до заседания он говорил, что сделает свое сообщение против желания. Странный человек этот Фукс. Теперь ясно, что Вейерштрасс прав и что в Фуксе гораздо больше материала , чем можно было предполагать. .. [c.21]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Необходимые условия оптимальности для задачи (8.1) — (8.4) строятся с помош,ью необходимого условия Вейерштрасса сильного минимума функционала I. [c.190]

Принцип максимума обобщает известные необходимые условия экстремума функционала в классич. вариационном исчислении и в случае отсутствия ограничений типа неравенств эквивалентен условию Вейерштрасса. [c.509]

Наконец, отметим необходимый для дальнейшего факт. Так как ряд (3) сходится равномерно внутри своего круга сходимости, то к нему применимы теоремы, сформулированные выше для общего случая рядов с переменными членами, в частности, и теорема Вейерштрасса. Поэтому сумма степенного ряда (3) является аналитической функцией внутри круга сходимости этого ряда, а ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз. [c.530]

Если ы81< 1, то принцип максимума совпадает с необходимым условием Вейерштрасса [2], если же 1ив 1, то классическое условие Вейерштрасса становится непригодным. [c.705]

Для того чтобы применить критерий Вейерштрасса к задаче о нахождении минимума, мы должны также рассмотреть коэффициент вариации величины, минимум которой мы определяем, как это следует из условия трансверсальности. Необходимым условием получения минимальной траектории является следующее во всех ее точках дополнительная функция должна обращаться в нуль или иметь знак, противоположный знаку коэффициента вариации- [c.764]

Полученная система (9.21) является необходимым условием экстремума функционалов (9.15), (9.16). Однако для суждения о максимуме или минимуме экстремума необходимо знать знак второй вариации. Для этого используются условия Лежандра — Клебша и Вейерштрасса, которые являются дополнительными необходимыми условиями экстремума и определяют его вид. [c.180]

Решение вариац. задачи (1), (2) необязательно должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем случае оптимальное решение х (/) может быть кусочно дифференцируемой ф-цией. Тогда в угл. точках х(1) должны вьшол-няться необходимые условия Вейерштрасса—Эрдмана, обеспечивающие непрерывность при переходе через угл. точку выражений Fi и F—xF , а на отрезках между соседними угл. точками ф-ция (/) должна удовлетворять [c.496]

Помимо Э.— Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежандра), условию Вейерштрасса и условию Якоби). [c.497]

Вейерштрасс пришёл к своим функциям Краткое изложение теории Э. ф. в обозначениях Вейерштрасса было опубликовано Г. Шварцем (Н. S hwartz, 1883—84). Необходимо также отметить работы Ш. Эрмита ( h. Hermit), получившего с помощью [c.611]

Разумеется, для окончательного исследования ( зункционала на экстремум необходимо использовать достаточные условия, однако составление функции Вейерштрасса для нашей задачи приводит к большим трудностям. [c.158]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Аналогичные соотношения были выведены и для задач об оптимизации систем, описываемых уравнениями с разрывными функциями / и фь. При этом условия Эрдмана — Вейерштрасса дополняются еще соотношениями, связанными с выходом оптимальных движений на поверхности разрыва функций fs и Также были исследованы задачи с ограничениями на фазовые координаты хг ( ), задачи оптимизации функционалов, включающих функции зависящие от промежуточных значений 1 ) фазовых координат, задачи с условиями разрыва этих координат и т. д. Последние задачи отличаются от подробно рассмотренной выше основной задачи оптимизации с ограничениями только на управления тем, что здесь могут иметь место разрывы непрерывности лагранжевых множителей и функции Н. Поэтому при решении таких задач возникает необходимость преодо ления некоторых дополнительных трудносте . Общие уравнения и соотношений были применены к исследованию оптимальных режимов в линейных системах автоматического управления, при решении задач о накоплении возмущений и при определении наихудшего периодического воздействия на колебательную систему и т. д. Общие критерии оптимальности, выведенные для разрывных систем, были использованы для решения задач оптимизации режимов работы вибротранспорта, для задач оптимизации движений многоступенчатых ракет и т. д. [c.191]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Найдя экстремаль, необходимо исследовать, дает ли она действительно экстремум и что именно — максимум или минимум. В диферен-циалыюм исчислении для решения аналогичной задачи исследуется знак- второй производной в В. и. прежде математики (Якоби) шли путем изучения второй вариации (второй производной по а при а = 0). Но Вейерштрасс показал, что т. о. мы еще не получаем достаточных условий экстремума он дал теорию, основанную на непосредственном сравнении и [c.183]

Если вектор управления и х) претерпевает конечные разрывы в некоторых точках х = а., х = ат......х = аь, принадлежащих отрезку [лго, >С1], то для существования ломаной экстремали (экстремали, каждое звено которой также является экстремалью) необходимо, чтобы выполнялось условие Вейерштрасса — Эрдмана. [c.703]

Необходимое условие п-кратного соударения теорема Вейерштрасса — Слудского — Зундмана) [5], [6], [61]. Необходимым условием м-кратного соударения в задаче п тел в конечный вещественный момент времени является равенство нулю момента количества движения с системы. [c.819]

Вейерштрасс говорил Конечная цель, которую всегда надо иметь в виду, заключается в том, чтобы понять основы... Однако, чтобы хоть сколько-нибудь продвинуться вперед в наукаху нельзя, конечно, обойтись без исследования конкретных проблем. Фактически для успешного изучения основ науки необходимо глубокое понимание ее специальных разделов. Заложить надежный фундамент здания способен лишь тот архитектор, которому во веем объеме и во всех подробностях известно его предназначение.. [c.8]

Так как в силу (4.3) функция 2 — Двоякопериодична, необходимо выполнить лишь условия периодичности 2. Учитывая соотношения (4.3), (4.4) и периодичность функции Вейерштрасса (г), легко получим [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...