Папковича — Нейбера представление

Папковича — Нейбера представление 184 Перемещение 14 [c.861]

Входящие в представление Папковича—Нейбера (4.40) гармонические функции фй примем следующими [c.337]

Заканчивая изложение вопроса о специальных представлениях статических задач теории упругости, остановимся на частном случае наличия осевой симметрии. Напомним представление Папковича—Нейбера [c.293]

Для решения задачи можно воспользоваться представлениями смещений через гармонические функции в том или ином виде, например, представлениями Папковича — Нейбера (5.16) гл. III. При этом сами гармонические функции представляются через присоединенные функции Лежандра, а для определения требуемых значений % получаются весьма сложные трансцендентные уравнения [c.321]

В заключение обратим внимание на то, что метод представления смещений через гармонические функции (представления Папковича — Нейбера) использовался для исследования особенностей кусочно-однородной среды с поверхностью раздела сред в виде кругового конуса [221]. [c.325]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Известны различные формы представления решения однородной системы уравнений (43.10). При решении задач термоупругости наиболее часто используется решение в форме Папковича — Нейбера [120] [c.350]

Представление решения в форме Папковича—Нейбера. [c.128]

Трудность разыскания частных решений системы уравнений теории упругости в перемещениях обусловлена тем, что каждая из искомых функций и, V, W входит во все три уравнения (1.3.3). Эта трудность устранена в предложенном П. Ф. Папковичем (1932) и Г. Нейбером (1934) представлении перемещений через гармонические функции этим достигается возможность использования хорошо известного каталога частных решений уравнения Лапласа, а иногда даже удается привести задачу теории упругости, если не целиком, то частично, к одной из классических задач теории гармонических функций (теории потенциала). [c.128]

В любой области, из которой исключена полупрямая. В этой области Ф] — гармоническая функция можно непосредственным вычислением проверить, что она удовлетворяет уравнению Лапласа, но в этом нужды нет если известно, что вектор перемещения в задаче теории упругости при отсутствии массовых сил представлен в форме градиента скаляра, то этот скаляр — гармонический его можно отождествить, например, с гармоническим скаляром Bq в решении Папковича — Нейбера (1.4.10) гл. IV. [c.216]

Представление решения в форме Папковича — Нейбера в случае сферы не столь быстро ведет к цели, в особенности для первой краевой задачи. [c.247]

Этот неожиданно простой результат, полученный прямым вычислением, может быть сразу же найден, если основываться на представлении вектора Папковича — Нейбера (4.3.15) гл. IV, в котором плотность а(Мо) как раз является искомым вектором напряжения —in на поверхности полости в упругой среде, что следует из выражения (4.7.1) гл. IV. В нашем случае по (5.2.2) и (5.2.5) проекции вектора В при р = ро равны [c.287]

Это представление, совпадающее с представлением Буссинеска, но полученное независимо, допускает ряд обобщений для случая действия массовых сил, анизотропии и т. д. Аналогично через функции, удовлетворяющие би-гармоническому уравнению, могут быть выражены компоненты тензора напряжений. Папкович, а затем и Нейбер показали, что такое представление является чрезмерно общим и что перемещения изотропного упругого тела могут быть выражены через четыре гармонические функции. В дальнейшем этой проблеме посвятили свои исследования многие авторы, обсуждавшие, в частности, вопрос о том, можно ли уменьшить до трех число независимых гармонических функций, через которые выражается общее решение задачи теории упругости. [c.252]

В основу разработанного способа положен полуобратный метод Сен-Венана, согласно которому перемещения в направлении координатных осей нами представлены в виде явных функций координатного угла 0 (задача рассматривается в цилиндрических координатах г, 0, z ось 2 совмещена с осью модели). Принятое допущение находится в соответствии с известным решением Нейбера для случая изгиба гиперболоида вращения 161. Благодаря такому представлению переменные в выражениях для функций напряжений Папковича — Нейбера разделились, и, тем самым, объемная задача теории упругости об изгибе тела вращения свелась к двумерной. Вследствие этого напряжения выражаются через частные производные этих функций по независимым переменным гили далее — через величины порядков полос пг и пг и параметров изоклин "ф, полученные при просвечивании оптически чувствительного слоя модели в направлении нормали (прямое просвечивание) к его лицевой поверхности и под углом а (наклонное просвечивание) к нормали N — направление (рис. 1). [c.54]

Здесь сг (п= 1,2,3) — главные напряжения Ф = Ф щр,г) (п = 0, 1,2) — функции, входящие в представление Папковича-Нейбера (1.2), (1.3) Ьд = X - Од. Дифференцирование по г, встречающееся в ряде формул (17), можно выполнять под знаками интегралов при Л > О, применяя известные соотношения для цилиндрических функций [15]. [c.194]

Остановимся подробнее на случае тп = О (осевая симметрия). Из граничных условий (2), (3) для и т при тп = О сразу видно, что Лз(/х) = 8з (/х) = 0 и представление Папковича-Нейбера переходит в представление Буссинеска для осесимметричной задачи [14] (в формулах (3) можно положить Ф3 =0). Проинтегрируем граничное условие =0 по г (при т = 0), а в граничном условии а / 2С) = —6 — а) (г] = 0) первую производную по 2 устраним при помощи формулы (12) и соотношения [8] [c.244]

Представление Папковича - Нейбера общего решения уравнений равновесия упругого тела [c.81]

Не останавливаясь на подробностях, поясним один из способов вьшода представления Папковича — Нейбера (см., например, [90, 128]). Перепишем уравнения Ламэ (1.7) в виде [c.82]

Это представление Папковича-Нейбера общего решения теории упругости. Здесь вектор перемещения выражается через четыре произвольные гармонические функции (р,, щ, у/ где у/,,у/2,у з) компоненты /. [c.295]

Представление Папковича—Нейбера [c.184]

Весьма интересное представление решения уравнений в перемещениях предложил Папкович ). Аналогичное представление, найденное другим путем, дал Нейбер ). [c.184]

Представление Папковича — Нейбера часто применяется при решении трехмерных задач эластостатики. [c.184]

Представление Папковича — Нейбера 187 [c.187]

Функции Буссинеска можно вывести из функций Папковича — Нейбера. А именно, если в представлении перемещений через функции Папковича — Нейбера [c.196]

Ниже мы дадим другой способ решения, применимый, однако, исключительно для вертикальных нагрузок. Для решения этой краевой задачи используем представление перемещений с помощью функций Папковича—Нейбера [c.218]

Удобство представления Папковича — Нейбера основано на простоте определения функций Ф и фг как частных решений хорошо известных уравнений (Пуассона, Лапласа) в теории потенциала. Трудности применения метода Папковича — Нейбера связаны с удовлетворением граничным условиям, в которые входят вторые производные как функции Ф, так и функций [c.484]

В гл. 5 мы часто пользовались представлением перемещения U с помощью функций Папковича — Нейбера. Метод этих авторов довольно удобен при решении некоторых краевых задач. Посмотрим, будет ли представление [c.573]

Осесимметричная задача теории упругости для неограниченного пространства, содержаш его две плоские круглые щели, где напряженное состояние симметрично относительно средней плоскости, рассматривалась в работах Я. С. Уфлянда (1958), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда(1960). Решение этой задачи строится с помощью выражения компонент через две гармонические функции (представления Папковича — Нейбера) с последующим сведением задачи с помощью преобразований Ханкеля к парным интегральным уравнениям. [c.385]

Точные решения (пространственная задача). При решении трехмерных задач теории упругости обычно применяют представления Буссинеска — Папковича — Нейбера через четыре гармонические функции. [c.264]

Система уравнений равновесия упругого тела в смещениях имеет эллиптический тип [90, 98]. С этим связаны возможности представления ее общего решения в виде комбинаций гармонических или бигармоничес-ких потенциалов [90, 128]. Мы рассмотрим одно из таких представлений, принадлежащее Папковичу и Нейберу, поскольку им удобно пользоваться при анализе и построении оценок решений смешанных задач теории упругости (см. гл. 5-8). [c.81]

В представлении Папковича—Нейбера (4.39), не нарушая его общности, как было показано в работах М. Г. Слободянского (1954), Р. Юбенкса и Е. Стернберга (1956), можно сохранить только три гармонические функции, т. е. принять его в таком виде [c.78]

В 10 гл. I было показано, что решение задачи Дирихле для шара может быть получено методом разделения переменных с привлечением присоединенных сферических функций. Если же вспомнить, что в 5 гл. III было установлено, что решение пер вой основной задачи теории упругости для шара может быть сведено к трем задачам Дирихле, то появляется возможность непосредственно реализовать метод разделения переменных и для решения задач теории упругости (рассуждения в случае второй основной задачи аналогичны, но более громоздки). Применим метод разделения переменных с использованием представлений Папковича — Нейбера при решении задачи для шара. Первоначально найдем решение осесимметричной задачи, которое позволит построить функцию Грина уже для произвольного случая нагружения. [c.333]

При решении трехмерных задач теории упругости обычно применяют представления Буссннеска — Папковича — Нейбера через четыре гармонические функции 40] [c.548]

Воспользуемся для перемещений в цилиндрических координатах представлением Папковича-Нейбера через четыре гармонические функции, одна из которых может быть выбрана произвольно согласно форк лам (81.1) монографии [5], и положим в этих формулах Ф[ =0. Переобозначив индексы у трех оставшихся функции, получим для перемещений и напряжений следующие выражения ( 1 = 1— 2г/, 2 = 2(1 — р), 3 = 3 — Ар) [c.240]

Укажем яоугой путь вывода решения Папковича — Нейбера. принимая за исходную позицию представление Гельмгольца [c.186]

Представленное здесь общее решение, использующее функции Папковича — Нейбера, Галеркина и Лява, в принципе можно применить и для краевой задачи, в которой на плоскости хз = О задано вертикальное перемещение и нулевые напряжения сгз1 и аз2. Функция Буссинеска, упомянутая в 5.5, также может пригодиться для решения приведенных в 5.9 и 5.10 краевых задач. [c.223]

Из всех рассмотренных до сих пор представлений и(х,/) (через потенциалы Ламе Ф и if, через функцию Яковаке q) и через обобщенные функции Папковича — Нейбера 9 и х) наибольшее практическое значение имеет представление Ламе. Оно приводит к самым простым волновым уравнениям. Представление с помош.ью функции ф удобно для определения перемеш ений в бесконечной среде и в упругом полупространстве. Наименее удобное представление дают функции 0, х ввиду связанности волновых уравнений (44) и (45). [c.574]

Разделение уравнений (1) и (2) можно произвести двумя ме тодами. Первый, предложенный Миндлином ) и Нейбером ), приводит к обобщенному представлению Папковича — Нейбера второй, предложенный Сандру ), является обобщением представления Галеркина. Займемся вторым методом, выражая перемещение и и поворот (О через две функции напряжений ф и Мы используем выражения, полученные в эластокинетике (формулы (15) и (16) 13.12), отбрасывая в них производные по вре [c.842]

Такое представление решения уравнения теории упругости было дано П. Ф. Папковичем (1932) и несколько позже Г. Нейбером. По сообщению П. Ф. Папковича, оно ранее было известно Г. Д. Гродскому ). Вектор перемещения (1.4) представлен суммой гармонического вектора В и гармонического скаляра Во или через четыре гармонические функции Во, Bs (5 = 1, 2, 3), где Вз — проекции В на оси декартовой системы координат. Другая форма записи решения (1.4), принадлеж ащая [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...