Величины — Измерения математическое 326 — Отклонения

Разброс значений х, наблюдается относительно математического ожидания М (х), которое представляет собой истинное значение измеряемой величины. Дисперсия — это мера отклонений случайных величин от математического ожидания чем больше D x), тем менее точны измерения. [c.115]

Дисперсия даст возможность определить разброс возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания, вызванный свойствами случайной величины или погрешностей измерений, Однако значение А —М Х) практического значения не имеет, а математическое отклонение сл чайной величины равно нулю вследствие компенсации положительных и отрицательных значений отклонений. Для устранения отмеченных недостатков принято рассматривать не сами отклонения, а их вторые степени. В этом случае большие отклонения сказываются на конечном результате оценки значительно больше, чем малые. В общем случае [c.143]

Под погрешностью измерения понимается отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины, которое определяется как алгебраическая разность этих величин. За истинное значение измеряемой величины принимается математическое ожидание многократных измерений. [c.10]

Случайная ошибка характеризуется нулевым математическим ожиданием в каждом сеансе измерений. Поэтому такая ошибка может привести только к случайному отклонению искомого решения от истинного. Величина этого случайного отклонения может быть уменьшена за счет увеличения объема выборки N. [c.154]

Измерение любой экспериментальной величины осуществляется при воздействии помех, поэтому исследователь имеет дело со случайными величинами. Кроме расчета статистических характеристик случайных величин (математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения и т. д., см. 2.2) основной задачей статистического анализа результатов исследования (наряду с дисперсионным и регрессионным анализами, см. 5.5) является проверка статистических гипотез. [c.104]

На самом деле, вполне вероятно, что в опыте отклонения результатов прямых измерений будут меньше их погрешности. Кроме того, не исключено, что эти отклонения будут частично компенсировать друг друга. Поэтому реальная погрешность косвенно измеряемой величины должна быть меньше максимальной погрешности. Очевидно, что эта погрешность должна оцениваться методами математической статистики и определяться не только характеристиками прямых измерений, но и выбранной доверительной вероятностью. [c.126]

Несмотря на счерпывающую характеристику исследуемой величины, распределение обладает тем неудобством, что характер функции нам неизвестен Или неизвестно ее конкретное числовое значение. Поэтому в качестве меры рассеяния исследуемой величины используют характеристику, показывающую, как сильно отклоняются отдельные наблюдения (измерения) от своего среднего. Эта новая характеристика называется генеральной дисперсией и представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения отдельного наблюдения от его генерального среднего [c.60]

Формирование выборок продукции для сертификации. Выборки единиц продукции из партии формируются для определения и (или) контроля среднего значения (математического ожидания) измеряемой величины как меры качества изготовления среднего квадратического отклонения (или дисперсии) измеряемой величины как меры однородности качества изготовления доли реализаций измеряемой случайной величины, находящейся в заданном допуске, и вероятности выполнения контрольных норм при различных методах измерения (пороговом или абсолютном) толерантных (допустимых) пределов и т. д. Достоверность оценки качества партии продукции определяется организацией отбора единиц продукции в выборку. [c.162]

Часто бывает полезно найти величину, выражающую средний разброс результатов. Ее можно получить из отклонения результатов отдельных измерений от среднего значения, и математически она представляется в виде [c.14]

Если можно принять, что среднее значение бесконечного числа измерений дает истинное значение некоторой величины, то самой лучшей оценкой этой величины при конечной серии из N измерений является ее среднее значение. При методе наименьших квадратов за наиболее вероятное значение величины принимают то ее значение, при котором сумма квадратов отклонений от него минимальна. Математически это выражается [c.15]

Случайные погрешности — это погрешности, величину которых для каждой отдельной детали предусмотреть невозможно, например, возникающие от неравномерной твердости заготовок, неточности зажима заготовки в приспособлении, колебания величины припуска, температурные колебания, и т. д. Фактическая величина отклонений размера детали будет зависеть от систематических и случайных погрешностей, и действительные размеры деталей одной партии будут переменными это явление называется рассеянием размеров. Погрешность обработки можно определить двумя методами расчетным и статистическим. Расчетный метод основан на выявлении соответствующих погрешностей в партии деталей и определении их количественных значений расчетом. Статистический метод основан на определении результативной погрешности путем измерения ряда обработанных деталей одной партии и последующей обработки результатов измерений методом математической статистики. [c.14]

Основой расчета для оценки состояния конструкции является наличие стохастической связи между изменением ширины раскрытия трещины и изменением напряженного состояния конструкций. Такая связь подтверждается достаточным количеством исследований. В результате расчета нужно оценить, является ли измеренное значение максимальной ширины раскрытия трещин сигналом о снижении несущей способности конструкции, или это одно из вероятных значений не связанных с этой первопричиной. Для этой цели предлагается использовать неравенство Чебышева. Это неравенство позволяет оценить верхнюю границу вероятности отклонения Р случайной величины X от своего математического ожидания МХ на заданную величину е [29] Р = ( Х — МХ > е) < < ВХ/г . При этом не накладывается никаких ограничений на закон распределения случайной величины, кроме конечности математического ожидания и дисперсии ВХ. [c.182]

Степень вариации в математической статистике оценивается коэффициентом вариации, численно равным среднему квадратичному отклонению, выраженному в процентах от средней измеренной величины [c.153]

Определим математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение оценок моментов инерции 1х я 1у с помощью МНК и интегрального метода. Величина мерного интервала принимает следующие значения 2 с, 10 с, 25 с и 40 с, а число измерений на мерном интервале постоянно и равно N = 20. При = 2 с условие применимости МНК выполняется, то есть в этом случае шаг измерения At = tT,/(N— ) существенно меньше периода собственных колебаний тела. Для каждого значения мерного интер- [c.148]

В табл.5.1 приведены математические ожидания и среднеквадратические отклонения оценок моментов инерции 1х и 1у, найденные МНК и интегральным методом, для различных значений мерного интервала. Поскольку количество измерений на мерном интервале постоянно и равно 20, то с изменением величины мерного интервала изменяется шаг измерения А1 = На основании данных, представленных в табл. 5.1, можно сделать следующие выводы. Во-первых, при малом шаге измерений е (0.105 с 0.525 с) МНК по сравнению с интегральным методом, даёт более точные результаты — математические ожидания оценок ближе к точным значениям при меньших среднеквадратических отклонениях. Во-вторых, при достижении шага измерения значений, близких к периодам колебаний измеряемых угловых скоростей = 25/ М — 1) = 1.316 с, точность МНК существенно ухудшается, и при дальнейшем увеличении шага измерений (А = 40/(Л — 1) = 2.105 с) МНК уже не даёт сколько-нибудь достоверных результатов. В-третьих, интегральный метод оценивания, независимо от величины шага измерения, позволяет получать достаточно точные результаты, и этот метод целесообразно использовать в случаях, когда МНК не даёт удовлетворительных результатов. [c.149]

В табл. 5.2 приведены математические ожидания и среднеквадратические отклонения оценок, полученных по МНК и интегральному методу, а также коэффициенты корреляции между этими оценками. При is равном 8 с и 16 с оценки по МНК расходятся и поэтому не приведены в таблице. Как и для внеатмосферного участка полёта метод наименьших квадратов даёт более точные оценки по сравнению с интегральным методом в случаях, когда шаг измерений существенно меньше периода колебаний измеряемых функций At = 0.011 с и At = 0.105 с). Точность оценивания по интегральному методу практически не зависит от величины шага измерений, исключение составляет только случай At — 0.011 с. За счёт использования усреднённых [c.155]

Настоящее приложение содержит руководства к 15-ти экспериментальным работам, иллюстрирующим теоретический ма-териал книги. Каждая практическая задача составлена по определенному плану. Вначале формулируется цель исследования, затем приводится рисунок, на котором дана принципиальная схема лабораторной установки, изображен ход лучей в оптической схеме, приведен перечень приборов. Далее следует подробное изложение задания для выполнения экспериментальной, расчетной и графической частей лабораторной работы. На основании этого задания экспериментатор должен изучить по указанным разделам настоящей книги физическую сущность изучаемых явлений, четко знать работу оптической и электрической схем, последовательность выполнения измерений и иметь представление об ожидаемых результатах. Перед началом измерений необходимо продумать форму записи, например составить таблицы результатов, в которых с целью исключения грубых ощибок и для оценки предельных отклонений измеряемых величин должна быть предусмотрена возможность записи нескольких значений. Количественную оценку погрещностей измерений следует проводить с применением элементарной математической статистики, согласно общепризнанным методам,, изложенным, например, в литературе [7]. [c.504]

Таким образом, при проведении средней окружности по указанному правилу утрачивается связь между конкретным отклонением радиуса детали и величиной изучаемого фактора. Следует отметить также и то обстоятельство, что в ряде случаев имеет место неоднозначность в количественной оценке погрешности обработки. В качестве примера можно привести измерение некруглости от прилегающей окружности (рис. 1.28, 6), когда в профиль детали можно вписать несколько прилегающих окружностей одинакового максимально возможного диаметрального размера, но разного расположения, что приводит к разной оценке некруглости. Все вышеизложенное говорит о том, что установление связи между действующими факторами и величинами погрешностей, определенных по той или иной методике измерения, препятствует вскрытию функциональных связей между факторами и погрешностями и проведению широких обобщений по результатам исследований, так как полученные зависимости будут справедливы лишь для деталей, точность которых определяется по той же методике. Поэтому при математическом описании механизма обр ования погрешностей необходимо устанавливать функциональные связи между величинами действующих факторов и такими геометрическими характеристиками детали, посредством 6 83 [c.83]

Существует ряд критериев для исключения грубых погрешностей при математической обработке результатов измерений. Чаще всего применяется критерий Райта (правило За) значения х], превышающие За после определения величины а с учетом всех отклонений, должны быть исключены. После исключения грубых погрешностей снова производится математическая обработка ряда измерений. [c.132]

Выделение из состава погрешности измерений ее математического ожидания М(Д) и среднего квадратического отклонения а(Д) особенно важно при определении с помощью формул (1.19) и (1.20) погрешностей сложных информационно-измерительных систем. Например, в ИИС (или ее части) (рис. 3.1) первичный преобразователь /, промежуточный преобразователь 2 и аналоговое вычислительное устройство 5, осуществляющее линейную математическую операцию над входным сигналом [(О. которым является измеряемая величина, например, ощупываемый иглой профиль поверхности, рассматриваемый как случайная функция. Здесь Хг(0 — входной сигнал преобразователя 2 К,(/) ( =1 2 3)—соответствующие выходные сигналы — внешние воздействия. Чтобы определить по формулам (1.19) и (1.20) погрешность [c.73]

В четвертой главе изложены математические модели средств измерений (СИ) количественных величин. Главной особенностью средства измерения, отличающего его от других технических устройств, является способность воспроизводить единицу измеряемой величины. Разумеется, эту единицу величины СИ воспроизводят не идеально, а с некоторым отклонением (погрешностью) от единицы государственного эталона. Эта особенность отражается в математической модели СИ введением коэффициента чувствительности, значение которого равно обратному значению размера единицы величины, воспроизводимой этим средством измерения. Учет инерционных, диссипативных и иных свойств СИ осуществляется совокупностью взаимосвязанных линейных динамических математических моделей линейное дифференциальное уравнение, передаточная, весовая, переходная функции и частотная характеристика. Такое разнообразие динамических математических моделей СИ обеспечивает возможность разработки более простых алгоритмов расчета количественных характеристик погрешности результата измерения. Модель цифрового СИ представлена дискретной весовой функцией. [c.4]

Алгоритмы определения характеристик результата измерения получим на основе структурной схемы математической модели формирования результата измерений, показанной на рис. 5.8. В качестве исходных данных этой структурной схемы выступают математические модели измеряемой величины, возмущений на входе и выходе АСИ, отклонения коэффициента чувствительности и нормированная весовая функция. [c.133]

Для построения алгоритмов определения характеристик результата измерения, получаемого с помощью ЦСИ, воспользуемся структурной схемой математической модели формирования результата измерения, приведенной на рис. 5.9. В качестве исходных данных этой структурной схемы выступают математические модели последовательность измеряемой величины и возмущений на входе и выходе ЦСИ, отклонение коэффициента чувствительности и нормированная дискретная весовая функция ЦСИ. [c.145]

Чем больше отклонение размера той или иной детали от среднего размера, тем меньше встречается таких деталей. Крутая или пологая форма кривой (см. рис. 20) характеризуется в основном математической величиной а (сигма), которая называется средней квадратичной величиной. Значение а является количественной характеристикой рассеивания размеров при обработке деталей при установленном технологическом процессе. Она вычисляется как корень квадратный из частного от деления су.м-мы квадратов отклонений от среднего арифметического значения на число измеренных деталей [c.49]

Правильную оценку к. т. р. чугуна можно получить после обработки экспериментальных данных с привлечением методов математической статистики. Если применить метод наименьших квадратов отклонения для расчетов погрешности измерения [160], то к. т. р. чугуна можно выразить следующей величиной [c.148]

Центральное математическое ожидание второго порядка На привлекается для измерения степени рассеяния отдельных значений статистической величины относительно ее математического ожидания М(Х). В качестве меры рассеяния берется положительное значение квадратного корня из Ха. Эта мера называется основным отклонением и обозначается буквой о, так что [c.118]

Выше отмечалось, что отклонения в измерениях или погрешности являются случайными, т. е. значение (размер) их для каждого отдельного измерения нельзя предвидеть. Поэтому представляется естественным применять к ним те общие законы для случайных явлений (или величин), которые рассматриваются в теории вероятностей и математической статистике [c.18]

Например, требуется оценить вероятность того, что измеряемая температура лежит в интервале 540—550 "С. Обработка результатов измерения дала следующие параметры распределения т( = 547°С и а--= 2,4° С. Определяем В=(550—547)/2,4= + 1,25 и (540—547)/ 2,4=—2,92. По табл. 2.1 определяем значения Ф(В) и Ф(Л) и затем Р р = ф( + 1,25) — —Ф(—2,92) = 0,8944-0,0018 = 0,8926. Таким образом, более 89 % всех измеренных значений температуры будет лежать в интервале от 540 до 550 °С. На практике часто пользуются симметричными интервалами, кратными а. Если взять интервал погрешностей (—а, а), или в абсолютных значениях измеряемой величины (т—а, т+а), и подсчитать по таблицам интеграл вероятности, то оказывается, что площадь под кривой, ограничиваемая этим интервалом (рис. 2.1), составляет около 68 % всей площади. Это значит, что из всех случаев измерения какой-либо величины 68 % полученных значений будет отклоняться от наиболее вероятного значения (математического ожидания) измеряемой величины не более чем на 0. Если взять за допустимый интервал отклонения 20, то в этом интервале будут находиться уже около 95 % всех измеренных значений, т. е. вероятность нахождения результатов измерений в интервале 2(т составляет 0,95. Для интервала 3а вероятность появления результатов измерений в этом интервале составляет 0,997. [c.9]

Рассмотрим в качестве примера применение стандартной градуировочной таблицы термопар типа Я. Сама таблица задана в форме полинома [38] (см. приложение V) седьмой степени в интервале температур от —50 до 630 °С и четвертой степени в интервале от 630 до 1064 °С. Вопрос об упрощении математической аппроксимации этой и других справочных таблиц будет рассмотрен ниже. На рис. 6.16 показаны отклонения показаний значительного числа современных термопар от стандартной таблицы Отклонения были измерены [27] в точках затвердевания цинка ( 419 °С), серебра ( 960 °С) и золота ( 1064°С), точность была оценена величиной 0,2°С. Очевидно, что квадратичной формулы вполне достаточно для описания отклонений в пределах погрешности измерений. Сопостав- [c.299]

Коэффициент вариации ш = al при моделировании задавался равным 0,01 0,2 0,5 1,0. Эти значения полностью охватывают диапазон величин w, встречающихся на практике (обычно w < < 0,25). В ходе математического моделирования [401 установлен одинаковый характер зависимостей п = f (к) при разных значениях W, поэтому в дальнейщем анализировались результаты, полученные при W = 1,0. На рис. 9 представлены результаты моделирования для W = 1,0. Как видно из рис. 10, предложенный критерий (25) для определения числа измерений дает большие отклонения от числа измерений, найденных по точной формуле (22) при л < 6. При п > 6 отличия числа измерений по формулам (22) и (25) находятся в пределах погрешностей измерительных приборов. Как показывают измерения, условие (22) выполняется при п 6. Поэтому недостаток критерия (25) в области малых п можно компенси- [c.45]

Ответ. Систематической постоянной погрешностью в называют отклонение математического ожидания М результатов измерений от истинного значения измеряемой величины, X. е. в - М - Q. Случайной погрешностью Д называют разность между результатом един1 ого наблюдения х и математическим ожиданием результатов измерений М, т. е. Д = д - Af, поэтому = х - в — А. [c.59]

Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, цапример, при поверке средств измерении. Измеряемая величина прп поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой систематической погрешности. [c.133]

Исследование суммарных погрешностей какого-либо технологического процесса производят путем измерения размеров партии обрабатываемых деталей. Величина партии должна достаточно полно характеризовать изучаемый процесс. Статистические характеристики процесса определяются путем математической обработки результатов измерений. Зоной рассеивания (размахом) отклонений V называют разность между наибольшим и наименьшим значениями отклонений размеров партии деталей V = Хтах — х,п1п- Для упрощения математической обработки зона делится на 6—10 интервалов. Среднее значение отклонений (центр группирования) X характеризует систематическую погрешность процесса [c.159]

Случайная составляющая — это составляющая погрешности, которая изменяется случайным образом в зависимости от множества случайных факторов, действия которых по-разному складываются при повторении изготовления детали или измерения какого-нибудь постоянного объекта. Случайная составляющая математически выражается центрированной случайной величиной (т. е. величиной, имеющей начало отсчета в точке МХ) или центрированной случайной функцией Х 1)-, величина этой составляющей определяется шириной х поля рассеивания, которую принято измерять количеством укладывающихся в ней средних квадратиче скнх отклонений Постоянную МХ можно трактовать как среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины X, а х — как средний взвешенный по вероятностям квадрат отклонений той же величины от МХ. Параметры МХ и ах приближенна определяют (оценивают) статистически по опытным данным. [c.14]

В [78] В. А. Кз ликовым рассматривается задача косвенных измерений точечных вероятностных характеристик (математического ожидания и среднего квадратического отклонения) изменяющихся величин, модель которых — случайный стационарный эргодический процесс, представляющий собой функцию других случайных стационарных эргодических процессов. Эта функция в общем виде подобна (4.2), но вместо величин (как в (4.2)), рассматриваются случайные процессы. В [78] рекомендованы методики расчета среднего квадратического отклонения и интервальной характеристики погрешностей измерений указанных измеряемых величин — математического ожидания и среднего квадратического отклонения изменяющихся величин, представляющих собой линейные или нелинейные функции других изменяющихся величин. [c.200]

Поскольку размер выборки ограничен, то значение lg т р, рассчитанное по результатам испытаний N образцов, может отличаться от генеральной характеристики gт p ., соответствующей испытаниям бесконечно большого числа образцов. В математической статистике показывается [1], что если величина х имеет нормальное распределение со стандартным отклонением а, то средние значения лГрр, полученные по выборкам из N измерений этой величины, также [c.13]

Объжт измерения. Как материальный объект, объект измерения является носителем измеряемой величины. Поскольку объект измерения характеризуется совокупностью величин, то в математической модели измерения объект измерения представляется математической моделью только измеряемой величины. В связи с этим под объектом измерения иногда подразумевают саму измеряемую величину и тем самым измеряемая величина как бы отрывается от материального объекта, соответствующее свойство которого она характеризует. Однако в процессе измерения объект измерения (как материальный объект) взаимодействует со средой и со средством измерения. Результатом такого взаимодействия может быть изменение измеряемой величины, которое, как было показано выше на частных примерах, можно трактовать как возмущение, искажающее измеряемую величину (возмущение на входе СИ) и как воз- .гущение, вызывающее отклонение коэффициента чувствительности СИ (отклонение размера единицы величины, воспроизводимой СИ). Таким образом, особенности объекта измерения и его взаимодействие со средой и с СИ можнб учесть введением в математическую модель формирования результата измерения соответствующего возмущения на входе СИ и отклонения коэффициента чувствительности СИ. [c.128]

Число, представляющее собой предписание, данное в чертеже, нельзя воспринимать как математически точное. Если не указан допуск, то любое отклонение от указанного значения является допустимым. Если, например, предписанная твердость измерительной поверхности К(.= 2, ненадежность метода контроля равна единице по Роквеллу, то твердости 61 или 63 будут также допустимы. Правильнее будет, если производственник присоединит к предписанной величине величину ненадежности измерения, устанавливая тем самым минимальные требования. [c.42]

Диапазон изменчивости антропометрического признака для определенной группы людей задается либо в долях среднего квадратического отклонения а по отношению к математическому ожиданию М, либо с помощью перцентилей, выраженных в процентах. Перцентилем называется сотая доля измеренного антропометрического признака всей подвергшейся измерениям совокупности людей. Антропометрические признаки (например, высота глаз над полом, размах рук, длина кисти и т.д.) для группы людей являются случайными величинами, поэтому они подчиняются нормальному закону распределения. Числовые значения антропометрических признаков для различных возрастньк, национальных, социальных и половых групп, соответствующие 1, 5, 50, 95 и 99-му перцентилям, приводятся в антропометрических атла- [c.246]

И следовательно, мы можем отклонения (154) выразить в этиа рабочих единицах. Если же, после вычисления математически ожиданий, будет необходимо выразить их в первоначальных едини цах измерения, то полученные математические ожидания следуе умножить на соответствующую степень величины разрядов (157) [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...